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3.1.1　椭圆及其标准方程
一、 单项选择题
1 椭圆＋＝1的焦点坐标为(　　)
A. (－2，0)和(2，0)
B. (0，－2)和(0，2)
C. (－，0)和(，0)
D. (0，－)和(0，)
2若椭圆＋y2＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为(　　)
A. 5 B. 2 C. 7 D. 6
3 若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)
A. (3，＋∞)
B. (－∞，－2)
C. (－∞，－2)∪(3，＋∞)
D. (－2，0)∪(0，3)
4椭圆的两个焦点坐标是(－4，0)和(4，0)，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
5 若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个焦点，则实数b的值为(　　)
A. －1 B.
C. －1或1 D. －或
6“方程＋＝1表示椭圆”是“－3A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7已知椭圆E：＋＝1，其左、右焦点分别为F1，F2.P是椭圆E上任意一点，则△PF1F2的周长为(　　)
A. 2 B. 4
C. 6 D. 以上答案均不正确
8 与椭圆＋＝1有相同的焦点，且经过点(5，3)的椭圆的标准方程是(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
二、 多项选择题
9若椭圆＋＝1的焦距为2，则实数t的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
10 若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下列结论中正确的是(　　)
A. 曲线C可能为圆
B. 若曲线C为椭圆，且焦点在x轴上，则1C. 若1D. 当m＝2时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，且焦距为
三、 填空题
11 椭圆C：＋＝1的焦距为________.
12 椭圆＋＝1上的一点到两个焦点的距离之和为________．
13 若P为椭圆C：＋＝1上的一点，F1，F2为椭圆C的两个焦点，且PF－PF＝16，则PF1＝________.
四、 解答题
14求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，且经过点(，－)；
(2) 经过两点(2，－)，(－1，).
15 如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.若PF1＝2＋，PF2＝2－，求椭圆的标准方程．
16 已知方程＋＝1.
(1) 若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
(2) 若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
(3) 若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围．
3．1.1　椭圆及其标准方程
1. B　在椭圆＋＝1中，a＝3，b＝，则c＝＝2，且椭圆的焦点在y轴上，所以焦点坐标为(0，－2)和(0，2).
2. C　在椭圆＋y2＝1中，a＝5，由椭圆的定义知点P到另一个焦点的距离为2a－3＝7.
3. D　因为＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，所以解得－24. C　由椭圆的定义，得2a＝10，则a＝5.因为椭圆的两个焦点坐标是(－4，0)和(4，0)，所以椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故椭圆的标准方程是＋＝1.
5. C　椭圆C的方程可化为x2＋＝1，其焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，代入直线l：2x＋by＋3＝0中，解得b＝1或b＝－1.
6. A　若方程＋＝1表示椭圆，则解得－37. C　在椭圆＋＝1中，a＝2，b＝，则c＝＝1，所以△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝2a＋2c＝4＋2＝6.
8. B　椭圆＋＝1的焦点坐标是(±4，0).又点(5，3)在椭圆上，所以由椭圆的定义，得2a＝＋＝4，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝40－16＝24，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
9. CD　由题意，得c＝1.若焦点在x轴上，则4－t＝1，解得t＝3；若焦点在y轴上，则t－4＝1，解得t＝5.综上，t＝3或t＝5.故选CD.
10. AB　对于A，当5－m＝m－1，即m＝3时，曲线C：x2＋y2＝2为圆，故A正确；对于B，若曲线C为椭圆，且焦点在x轴上，则解得111. 4　在椭圆＋＝1中，a2＝16，b2＝4，则c＝＝2，故焦距为2c＝4.
12. 6　在椭圆＋＝1中，a＝3，则椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为2a＝6.
13. 5　在椭圆C：＋＝1中，a2＝16，所以a＝4，所以PF1＋PF2＝2a＝8①.又PF－PF＝16，即(PF1＋PF2)(PF1－PF2)＝16，所以PF1－PF2＝2②，由①②，解得PF1＝5.
14. (1) 设椭圆的焦距为2c，长轴长为2a，短轴长为2b.
由题意，得c＝4，且焦点在x轴上，
则2a＝＋＝10，
所以a＝5，b2＝a2－c2＝9，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
15. 由椭圆的定义，得2a＝PF1＋PF2＝(2＋)＋(2－)＝4，即a＝2.
设椭圆的焦距为2c.
因为PF1⊥PF2，所以2c＝F1F2＝＝＝2，即c＝，
所以b＝＝1，
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
16. (1) 由题意，得
解得8故实数m的取值范围为(8，25).
(2) 由题意，得
解得－9故实数m的取值范围为(－9，8).
(3) 由题意，得
解得－9故实数m的取值范围是(－9，8)∪(8，25).

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