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3．1.1　椭圆及其标准方程
一、 单项选择题
1椭圆＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝2，则PF2的长为(　　)
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
2 若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)
A. (5，7) B. (5，＋∞)
C. (7，＋∞) D. (5，7)∪(7，＋∞)
3已知经过椭圆C：＋＝1的左焦点F1的直线交椭圆C于A，B两点，F2是椭圆C的右焦点，则△ABF2的周长为(　　)
A. 24 B. 12
C. 36 D. 48
4 若动点P(x，y)满足方程＋＝6，则动点P的轨迹方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. －＝1
5 已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，则PF1·PF2的最大值是(　　)
A. B. 9
C. 16 D. 25
6已知曲线C：x2＋y2＝16，从曲线C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，垂足为P′(若点P在x轴上，点P′即为点P)，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
7 已知椭圆＋＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P在椭圆上. 若PF1－PF2＝2，则△PF1F2的面积是(　　)
A. B. ＋1
C. D. ＋1
8 已知P为椭圆＋＝1上一点，M，N分别是圆(x＋3)2＋y2＝4和(x－3)2＋y2＝1上的点，则PM＋PN的取值范围是(　　)
A. [7，13] B. [10，15]
C. [10，13] D. [7，15]
二、 多项选择题
9 下列说法中，正确的是(　　)
A. 已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝4，则点P的轨迹是椭圆
B. 已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝2，则点P的轨迹是椭圆
C. 已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝1，则点P的轨迹是椭圆
D. 已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足PF1＋PF2＝3，则点P的轨迹是椭圆
10 已知点A(－1，0)，动点P(x，y)满足PA＋PB＝2，且动点P的轨迹是椭圆，则点B的坐标可能是(　　)
A. (0，0) B. (1，0)
C. (0，1) D. (1，1)
三、填空题
11已知点F1(－3，0)，F2(3，0)，且PF1＋PF2＝6，则点P的轨迹是________．
12 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
13 已知点F1(－2，0)，圆F2：(x－2)2＋y2＝36，M是圆F2上一动点，线段MF1的垂直平分线交MF2于点N，则点N的轨迹方程为________.
四、解答题
14 已知椭圆E：＋＝1的上、下焦点分别为F1，F2，M为椭圆E上任意一点，点N在F2M的延长线上，若MN＝MF1，求点N的轨迹方程．
15 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点M(1，)，F1，F2是椭圆C的两个焦点，F1F2＝2，P是椭圆C上的一个动点．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若点P在第一象限，且△PF1F2的面积为，求点P的坐标．
16 已知椭圆＋＝1上一点M(x0，y0)，且x0<0，y0＝2.
(1) 求x0的值；
(2) 求过点M且与椭圆＋＝1共焦点的椭圆的方程．
3．1.1　椭圆及其标准方程
1. B　由椭圆方程可得a＝3.由椭圆的定义，得PF2＝2a－PF1＝6－2＝4.
2. C　由题意，得a－5>2，解得a>7.
3. A　因为AF1＋AF2＝2a＝12，BF1＋BF2＝2a＝12，所以△ABF2的周长为24.
4. A　由动点P(x，y)满足方程＋＝6及椭圆的定义，得点P的轨迹是以(0，2)，(0，－2)为焦点的椭圆，且2a＝6，2c＝4，所以a＝3，c＝2，则b2＝a2－c2＝14，所以动点P的轨迹方程为＋＝1.
5. D　由题意，得PF1＋PF2＝10.因为PF1＋PF2≥2，所以10≥2，可得PF1·PF2≤25，当且仅当PF1＝PF2＝5时，等号成立，所以PF1·PF2的最大值是25.
6. A　设点P(x0，y0)，M(x，y)，则P′(x0，0).因为M是线段PP′的中点，所以又点P(x0，y0)在曲线C：x2＋y2＝16上，则x＋y＝16，所以x2＋(2y)2＝16，即＋＝1，故线段PP′的中点M的轨迹方程为＋＝1.
7. C　由题意，得PF1＋PF2＝2a＝4.因为PF1－PF2＝2，所以PF1 ＝3，PF2＝1.又F1F2＝2c＝2，则PF＋F1F＝PF，所以△PF1F2是以∠PF2F1为直角的直角三角形，所以S△PF1F2＝×2×1＝.
8. A　根据椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a＝10，所以7＝10－(1＋2)≤PM＋PN≤10＋(1＋2)＝13，即所求的取值范围是[7，13].
9. AD　对于A，PF1＋PF2＝4>F1F2＝2，所以动点P的轨迹是椭圆，故A正确；对于B，PF1＋PF2＝2＝F1F2，所以动点P的轨迹是线段F1F2，故B错误；对于C，PF1＋PF2＝1F1F2＝2，所以动点P的轨迹是椭圆，故D正确．故选AD.
10. AC　由题意可得PA＋PB＝2>AB，则点B在以点A为圆心，2为半径的圆内，且点A，B不重合，即点B在圆(x＋1)2＋y2＝4内．由点(0，0)，(0，1)在圆内，点(1，0)在圆上，点(1，1)在圆外，可知A，C正确，B，D错误．故选AC.
11. 线段F1F2　因为PF1＋PF2＝6＝F1F2，所以点P的轨迹为线段F1F2.
12. 3　设PF1＝r1，PF2＝r2.由椭圆的定义，得PF1＋PF2＝r1＋r2＝2a.又由PF1⊥PF2，得r＋r＝4c2，所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，即r1r2＝2b2，所以S△PF1F2＝r1r2＝×2b2＝b2.又因为△PF1F2的面积为9，所以b2＝9，解得b＝3(负值舍去).
13. ＋＝1 　圆F2：(x－2)2＋y2＝36的圆心坐标为(2，0)，半径为6.由垂直平分线的性质，得NF1＝MN，则NF1＋NF2＝MN＋NF2＝MF2＝6.又F1F2＝4，所以点N的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a＝6，2c＝4，即a＝3，c＝2，所以b2＝a2－c2＝9－4＝5，所以点N的轨迹方程为＋＝1.
14. 如图，由椭圆的定义可知MF1＋MF2＝2a＝2.
又MN＝MF1，
所以MF2＋MN＝MF2＋MF1＝2，
即NF2＝2，
所以点N的轨迹是以F2(0，－)为圆心，2为半径的圆，
故点N的轨迹方程为x2＋(y＋)2＝24.
15. (1) 由题意，得2c＝2，则c＝，
所以F1(－，0)，F2(，0)，
所以MF1＝＝＝，同理MF2＝，
所以2a＝MF1＋MF2＝4，即a＝2，
所以b＝＝1，
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2) 设点P(x，y)(x>0，y>0).
由S△PF1F2＝F1F2·y，得×2×y＝，
解得y＝.
又因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，
解得x＝1(负值舍去)，
所以点P的坐标为.
16. (1) 由题意，得点M(x0，2)在椭圆＋＝1上，则＋＝1，即x＝9.
又x0<0，所以x0＝－3.
(2) 易知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且c2＝9－4＝5，
故可设所求椭圆的方程为＋＝1(a2>5).
由(1) 知，点M的坐标为(－3，2)，
将其代入所设方程，得＋＝1(a2>5)，
解得a2＝15或a2＝3(舍去)，
故所求椭圆的方程为＋＝1.

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