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3．1.2　椭圆的简单几何性质
一、 单项选择题
1 椭圆x2＋＝1的短轴长为(　　)
A. 1 B. 2 C. D. 4
2 椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则实数m的值为(　　)
A. B. C. 2 D. 4
3 已知直线l：x＋y－1＝0经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点和上顶点，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. －1
C. D.
4 若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
5 设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若BF2＝F1F2＝4，则该椭圆的方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
6 椭圆E1：＋＝1与椭圆E2：＋＝1(0A. 长轴长相等 B. 短轴长相等
C. 离心率相等 D. 焦距相等
7 如图，椭圆＋y2＝1(a>1)与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，P是过左焦点F1且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点，O为坐标原点，若AB∥OP，则椭圆的焦距为(　　)
A.
B. 2
C. 1
D. 2
8设P(a，b)为椭圆＋＝1上一点，过点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为M，N，则矩形PMON面积的最大值为(　　)
A. 9 B. C. 9 D. 18
二、 多项选择题
9已知椭圆M：＋＝1，椭圆N：＋y2＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. 椭圆M与椭圆N的离心率相等
B. 椭圆M与椭圆N的焦距相等
C. 椭圆M与椭圆N的长轴长相等
D. 椭圆M的短轴长是椭圆N的短轴长的两倍
10 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2，0)的椭圆的方程是(　　)
A. ＋y2＝1 B. x2＋＝1
C. x2＋4y2＝1 D. 4x2＋y2＝16
三、 填空题
11若点P在椭圆C：＋＝1上，则点P的横坐标的取值范围是________．
12已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，B为短轴的一个端点，则△BF1F2的周长为________.
13 若椭圆E：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为P，则∠F1PF2＝________．
四、 解答题
14 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3；
(2) 椭圆的离心率为e＝，短轴长为8.
15 设m为实数，已知方程＋＝1表示椭圆．
(1) 求实数m的取值范围；
(2) 若m＝1，过椭圆的焦点作长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，求AB的长．
16已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．
(1) 求椭圆C的离心率；
(2) 记线段MP与椭圆C的交点为Q，求PQ的取值范围．
3．1.2　椭圆的简单几何性质
1. B
2. A　椭圆x2＋my2＝1，即x2＋＝1.因为椭圆的焦点在y轴上，所以>1.又长轴长是短轴长的两倍，所以2＝2×2，解得m＝.
3. D　由椭圆C：＋＝1(a>b>0)，知右焦点(c，0)和上顶点(0，b).因为直线l：x＋y－1＝0经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点和上顶点，所以c＝1，b＝1，所以 e＝＝＝.
4. C　由题意，得b＝c，即b2＝a2－c2＝c2，所以a＝c，所以椭圆的离心率为e＝＝.
5. A　由BF2＝F1F2＝4，得a＝2c＝4，所以a＝4，c＝2，则b2＝a2－c2＝12，所以椭圆的方程为＋＝1.
6. D　对于椭圆E1，它的长、短半轴长及半焦距分别为a1＝3，b1＝2，c1＝，对于椭圆E2，它的长、短半轴长及半焦距分别为a2＝，b2＝，c2＝，所以它们的长轴长不相等，短轴长不相等，离心率不相等，焦距相等．
7. D　由题意，得F1(－c，0)，A(a，0)，B(0，1)，则点P，所以直线AB的斜率kAB＝－，直线OP的斜率kOP＝＝－.由AB∥OP，得kAB＝kOP，所以－＝－，解得c＝1，所以椭圆的焦距为2c＝2.
8. B　由题意，得＋＝1，矩形PMON的面积S＝|ab|，则＋＝1≥2＝2·，所以S≤，当且仅当a2＝2b2＝9时取等号，所以矩形PMON面积的最大值为.
9. BD　椭圆M：＋＝1的长半轴长a＝，短半轴长b＝2，半焦距c＝3；椭圆N：＋y2＝1的长半轴长a′＝，短半轴长b′＝1，半焦距c′＝3.对于A，椭圆M的离心率e＝，椭圆N的离心率e′＝，故A错误；对于B，椭圆M与N的焦距都为6，故B正确；对于C，椭圆M与N的长轴长不相等，故C错误；对于D，椭圆M的短轴长是椭圆N的短轴长的两倍，故D正确．故选BD.
10. AD　椭圆＋y2＝1过点(2，0)，且a＝2，b＝1，c＝，离心率为，故A正确；椭圆x2＋＝1不过点(2，0)，故B错误；椭圆x2＋4y2＝1不过点(2，0)，故C错误；椭圆4x2＋y2＝16过点(2，0)，且a＝4，b＝2，c＝2，离心率为，故D正确．故选AD.
11. [－，]　因为椭圆C：＋＝1，所以椭圆上的点P的横坐标的取值范围是[－，].
12. 18　椭圆＋＝1的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，则半焦距c＝＝4，所以BF1＋BF2＝2a＝10，F1F2＝2c＝8，所以△BF1F2的周长为2a＋2c＝18.
13. 　在椭圆E：＋y2＝1中，a＝2，b＝1，在Rt△OPF2中，cos ∠OPF2＝＝＝.又∠OPF2∈，则∠OPF2＝，故∠F1PF2＝2∠OPF2＝.
14. (1) 由题意，得a＝5，c＝3，
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.
又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2) 由题意，得解得
又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
15. (1) 因为＋＝1表示椭圆，
所以解得－1即实数m的取值范围为(－1，2)∪(2，5).
(2) 当m＝1时，椭圆方程为＋＝1，
所以焦点坐标为(±，0).
将x＝±代入椭圆方程可得y2＝1，即y＝±1，
所以AB＝|1－(－1)|＝2.
16. (1) 由题意，得c＝，a2＝b2＋c2，
且×2a×2b＝2ab＝12，即ab＝6，
解得a＝3，b＝2，
所以椭圆C的离心率e＝＝.
(2) 由题意，得PQ＝MP－MQ＝5－MQ.
设Q(x1，y1)，则＋＝1，
所以MQ＝＝＝.
因为x1∈[－3，3]，
所以当x1＝时，(MQ)min＝；
当x1＝－3时，(MQ)max＝4，
所以PQ的取值范围为.

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