资源简介

3.3.1　抛物线及其标准方程
一、 单项选择题
1 抛物线y＝－x2的准线方程是(　　)
A. x＝ B. x＝
C. y＝2 D. y＝4
2 抛物线x2－10y＝0的焦点到准线的距离是(　　)
A. B. 5 C. D. 10
3 下列抛物线中，焦点坐标为的是(　　)
A. y2＝x B. y2＝x
C. x2＝y D. x2＝y
4 以双曲线－＝1，其中a∈(0，2)的焦点为焦点的抛物线的标准方程为(　　)
A. y2＝±4x B. y2＝±8x
C. x2＝±4y D. x2＝±8y
5 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(m，－4)在抛物线上，则PF的长为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上．若点M的横坐标为1，且MF＝2，则p的值为(　　)
A. B. 1 C. 2 D. 4
7 抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x2－＝1的一条渐近线的距离为(　　)
A. 1 B. 2
C. D. 2
8图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB＝6，深度MO＝1，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则焦点F的坐标为(　　)
图1 图2
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
9 已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，O为坐标原点，点M(x0，y0)在抛物线C上，若MF＝5，则下列结论中正确的是(　　)
A. 点F的坐标为(1，0)
B. x0＝±4
C. y0＝3
D. OM＝4
10 顶点在坐标原点，且过点P(－3，4)的抛物线的标准方程是(　　)
A. y2＝－x B. y2＝x
C. x2＝y D. x2＝－y
三、 填空题
11 已知双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn＝________．
12 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是________cm.
13 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，2)，记抛物线C：y2＝4x上的动点P到准线的距离为d，则d－PA的最大值为________．
四、 解答题
14 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1) 准线方程为2y＋4＝0；
(2) 过点(3，－4)；
(3) 焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
15 已知抛物线C：y＝x2，焦点为F.
(1) 求焦点F的坐标及抛物线C的准线方程；
(2) 已知P是抛物线C上的一个动点，定点A(1，2)，则当点P在抛物线C上移动时，求PA＋PF的最小值．
16 如图是一抛物线型机械模具的示意图，该示意图的曲线部分是抛物线E的一部分，以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系. 已知模具的深度AC＝4 cm，口径长AB＝12 cm.
(1) 求抛物线E的标准方程；
(2) 为满足生产的要求，需将模具的深度减少1 cm，求此时该模具的口径长．
3．3.1　抛物线及其标准方程
1. C　将y＝－x2化为标准方程x2＝－8y，所以p＝4，所以抛物线的准线方程为y＝2.
2. B　由抛物线x2－10y＝0，得x2＝10y，则2p＝10，即p＝5，故焦点到准线的距离为p＝5.
3. C　对于抛物线y2＝x，有2p＝，即p＝，则抛物线y2＝x的焦点坐标为；同理可得抛物线y2＝x的焦点坐标为；抛物线x2＝y的焦点坐标为；抛物线x2＝y的焦点坐标为.
4. D　因为双曲线－＝1，其中a∈(0，2)的焦点坐标为(0，±2)，故所求抛物线方程为x2＝±8y.
5. D　由题意可知，抛物线的准线方程为x＝－1，点P在抛物线上，则4m＝(－4)2，解得m＝4，即点P(4，－4)，所以由抛物线的定义可得，PF＝4－(－1)＝5.
6. C　由题意，得抛物线的准线方程为x＝－，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以MF＝＋xm＝＋1＝2，解得p＝2.
7. C　由题意，得抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，双曲线x2－＝1的一条渐近线为y＝x，则焦点到渐近线的距离为d＝＝.
8. B　由题意可设抛物线方程为y2＝2px且p>0，显然点(1，3)在抛物线上，所以2p＝9，则＝，故焦点F的坐标为.
9. BD　对于A，抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1，故A错误；对于B，C，由抛物线定义可得MF＝5＝y0＋1，所以y0＝4，x＝16，解得x0＝±4，故B正确，C错误；对于D，OM＝＝4，故D正确．故选BD.
10. AC　因为点P(－3，4)在第二象限，所以抛物线的焦点在x轴的负半轴上或在y轴的正半轴上．当拋物线的焦点在x轴的负半轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0).因为点P(－3，4)在抛物线上，则42＝－2p×(－3)，解得p＝，所以抛物线的标准方程是y2＝－x；当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，因为点P(－3，4)在抛物线上，则(－3)2＝2p×4，解得p＝，所以抛物线的标准方程是x2＝y. 综上，抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝y.故选AC.
11. 　由题意，得抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，则m＋n＝1.又双曲线的离心率是2，所以＝＝4，所以m＝，n＝，所以mn＝.
12. 　如图，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，则点P(30，40)在该抛物线上，所以80p＝900，解得p＝，所以光源到反射镜顶点的距离为＝ cm.
13. 　由题意，设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，则F(1，0).由抛物线的定义知，d＝PF，所以d－PA＝PF－PA≤AF＝＝，所以当点P位于射线FA与抛物线的交点时，d－PA取最大值.
14. (1) 准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，则抛物线的焦点坐标为(0，2)，
所以所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2) 设所求抛物线的标准方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
则(－4)2＝3m，解得m＝，或32＝－4n，解得n＝－，
所以所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(3) 直线x＋3y＋15＝0交y轴于点(0，－5)，则以(0，－5)为焦点的抛物线标准方程为x2＝－20y；
直线x＋3y＋15＝0交x轴于点(－15，0)，则以(－15，0)为焦点的抛物线标准方程为y2＝－60x，
所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
15. (1) 将抛物线C：y＝x2化为标准方程为x2＝4y，
其焦点F的坐标为(0，1)，准线方程为y＝－1.
(2) 由抛物线的定义知，点P到焦点F的距离即为点P到准线的距离，
PA＋PF为点P到定点A(1，2)的距离与点P到准线的距离之和，
要使得PA＋PF最小，
则点P，A在一条垂直于准线的直线上，
故最小值即为点A(1，2)到准线y＝－1的距离为3，
所以PA＋PF的最小值为3.
16. (1) 设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0).因为AC＝4cm，AB＝12cm，
所以抛物线E过点(6，4)，
所以62＝2p×4，得2p＝9，
所以抛物线E的标准方程为x2＝9y.
(2) 若将模具的深度减少1cm，
设此时的口径长为 2acm(a>0)，
则a2＝9×3，解得a＝3，
所以此时该模具的口径长为6 cm.

展开更多......

收起↑