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第一章　空间向量与立体几何
一、 单项选择题
1 如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，E是CC′的中点，则下列结论中错误的是(　　)
A. ＋＝
B. －＝
C. ＋＋＝
D. ＋＋＝
2 已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，－2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则实数k的值是(　　)
A. 1 B. C. D.
3已知n为平面α的一个法向量，l为一条直线，m为直线l的方向向量，则“m⊥n”是“l∥α”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4 已知O为坐标原点，＝(1，2，－2)，＝(2，－1，4)，＝(1，1，4)，P是OC上一点，则当·取得最小值时，点P的坐标为(　　)
A. B.
C. D. (2，2，8)
5 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D的中点，F为CC1的三等分点(靠近C点)，则点E到平面BDF的距离为(　　)
A. B. C. D.
6 在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则BD的值为(　　)
A. B. C. D. 2
7 已知四边形ABCD和CDEF均为正方形，二面角A-CD-E的大小为，则异面直线AC与DF所成的角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
8 如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB＝2，若线段DE上存在点P，使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为(　　)
A. 4
B. 4
C. 2
D. 2
二、 多项选择题
9 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法中正确的是(　　)
A. 点B1的坐标为(5，4，3)
B. 点C1关于点B对称的点为(8，5，－3)
C. 点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3)
D. 点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，－5，0)
(第9题)　 (第10题)
10 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线BD1⊥平面A1C1D
B. 三棱锥P-A1C1D的体积为定值
C. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
D. 直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
11 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，∠BAA1＝∠DAA1＝∠BAD＝60°.若M为CC1的中点，则AM的长度为________.
12 已知O为坐标原点，＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，若点M在直线OC上运动，则·的最小值为________.
13 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝AC＝BC＝1，则异面直线BC1与A1B1所成的角为________；二面角ABC1C的平面角的余弦值是________．
四、解答题
14 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．
(1) 求直线FC到平面AEC1的距离；
(2) 求平面AEC1与平面EFCC1所成锐二面角的余弦值．
15如图，在三棱锥A-BCD中，已知CB＝CD＝，BD＝2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO＝2，E为AC的中点．
(1) 求直线AB与DE所成角的余弦值；
(2) 若点F在BC上，满足BF＝BC，设二面角F-DE-C的大小为θ，求sin θ的值．
16 如图，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB＝PA＝4，BE＝2.
(1) 求PD与平面PCE所成角的正弦值；
(2) 在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
第一章　空间向量与立体几何
本 章 复 习
1. B　由底面ABCD是平行四边形，得＋＝，故A正确；－＝－，故B错误；＋＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋＝，故D正确．
2. D　因为向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，－2)，所以ka＋b＝(k－1，k，－2)，2a－b＝(3，2，2).因为(ka＋b)⊥(2a－b)，所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，即3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝.
3. B　若 n为平面α的一个法向量， m⊥n，则l∥α或l α；若n为平面α的一个法向量，l∥α，则m⊥n，故“m⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件.
4. A　因为P是OC上的一点，所以设＝λ＝(λ，λ，4λ).因为＝(1，2，－2)，＝(2，－1，4)，所以＝－＝(1－λ，2－λ，－2－4λ)，＝－＝(2－λ，－1－λ，4－4λ)，则·＝18λ2－12λ－8＝18(λ－)2－10，所以当λ＝时，·取得最小值为－10，此时点P的坐标为.
5. A　以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，A1(0，0，1)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，C1(1，1，1)，所以E，F(1，1，)，所以＝(－1，1，0)，＝，＝.设平面BDF的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，则x＝1，z＝－3，所以n＝(1，1，－3)，所以点E到平面BDF的距离为d＝＝＝.
6. A　过点B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N，则可得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1.因为平面ABC与平面ACD垂直，且两平面的交线为AC，所以BM⊥平面ACD，又ND 平面ACD，所以BM⊥ND.因为＝＋＋，所以||2＝(＋＋ )2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝＋12＋＝ ，即BD＝.
7. D　以A为坐标原点，AE为所在直线y轴，AB所在直线为z轴，在平面ADE内作AE的垂线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝1，因为四边形ABCD和CDEF均为正方形，二面角A-CD-E的大小为，所以∠ADE＝，所以A(0，0，0)，C(，，1)，D，F(0，1，1)，所以＝，＝，所以cos 〈，〉＝＝，所以直线AC与DF所成的角的正弦值为＝.
8. D　因为平面CDFG⊥平面ABCD，平面CDFG∩平面ABCD＝CD，FD⊥CD，FD 平面CDFG，所以FD⊥平面ABCD.又AD⊥CD，故以D为坐标原点，DA，DC，DF所在直线分别x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设CG＝a(a>0)，P(x，0，z)，则＝，即z＝.又B(2，2，0)，G(0，2，a)，所以＝，＝(－x，2，a(1－))，所以·＝(x－2)x＋4＋＝0，显然x≠0且x≠2，所以a2＝－4.因为x∈(0，2)，所以2x－x2∈(0，1]，所以当2x－x2＝1时，a2取得最小值12，所以CG的最小值为2.
9. BC　由题意，得点B1的坐标为(4，5，3)，点C1(0，5，3)关于点B(4，5，0)对称的点为(8，5，－3)，点A(4，0，0)关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，故A，D错误，B，C正确．故选BC.
10. ABD　对于A，因为A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，且B1D1 平面BB1D1，BB1 平面BB1D1所以A1C1⊥平面BB1D1，BD1 平面BB1D1，所以A1C1⊥BD1，同理DC1⊥BD1.因为A1C1∩DC1＝C1，且A1C1 平面A1C1D, DC1 平面A1C1D，所以直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确；对于B，因为A1D∥B1C，A1D 平面A1C1D，B1C 平面A1C1D，所以B1C∥平面A1C1D.因为点P在线段B1C上运动，所以点P到平面A1C1D的距离为定值．又△A1C1D的面积是定值，所以三棱锥P-A1C1D的体积为定值，故B正确；对于C，因为A1D∥B1C，所以异面直线AP与A1D所成角为直线AP与直线B1C的夹角. 易知△AB1C为等边三角形，当P为B1C的中点时，AP⊥B1C；当P与点B1或C重合时，直线AP与直线B1C的夹角为.故异面直线AP与A1D所成角的取值范围是，故C错误；对于D，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，设P(a，1，a)，则C1(0，1，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，所以＝(a，0，a－1)，＝(1，1，－1).由A可知＝(1，1，－1)是平面A1C1D的一个法向量，所以直线C1P与平面A1C1D所成 角的正弦值为＝＝ ，所以当a＝时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为，故D正确．故选ABD.
11. 2　因为＝＋＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋·＋·＝22＋22＋×42＋2×2×2×＋2×4×＋2×4×＝24，所以||＝2，即AM的长度为2.
12. －　因为点M在直线OC上运动，可设＝x，x∈R.因为＝(1，1，2)，所以＝x＝(x，x，2x)，即M(x，x，2x).又＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，所以A(1，2，3)，B(2，1，2)，所以＝(x－1，x－2，2x－3)，＝(x－2，x－1，2x－2)，所以·＝(x－1)(x－2)＋(x－2)(x－1)＋(2x－3)(2x－2)＝2(3x2－8x＋5)＝6(x－)2－，所以当x＝时，·的最小值为－.
13. 　 　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，所以CC1⊥BC，CC1⊥AC，AC⊥BC.以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，C1(0，0，1)，B1(0，1，1)，A1(1，0，1)，所以＝(0，－1，1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，1，0)，所以cos 〈，〉＝＝－，所以异面直线BC1与A1B1所成角为.设平面ABC1的法向量为n＝(x，y，z)则即令y＝1，则x＝1，z＝1，所以n＝(1，1，1)，显然平面CBC1的一个法向量为m＝(1，0，0)，则cos 〈n，m〉＝＝＝.因为二面角A-BC1-C为锐二面角，故二面角A-BC1-C平面角的余弦值是.
14. (1) 以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(1，0，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E，F.
所以＝，＝，＝，＝，＝(0，0，1).
因为＝＝，
所以FC∥EC1.
因为FC 平面AEC1，EC1 平面AEC1，
所以FC∥平面AEC1，
所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离．
设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，则x＝1，y＝2，
所以n＝(1，2，1).
又＝，
所以点F到平面AEC1的距离为＝＝.
(2) 设平面EFCC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即
令x1＝1，则y1＝2，
所以m＝(1，2，0)，
所以cos 〈m，n〉＝＝＝，
所以平面AEC1与平面EFCC1所成锐二面角的余弦值为.
15. (1) 如图，连接OC，因为CB＝CD，O为BD的中点，所以CO⊥BD.
以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
因为BD＝2，所以OB＝OD＝1，则OC＝＝＝2.
所以B(1，0，0)，A(0，0，2)，C(0，2，0)，D(－1，0，0).
因为E是AC的中点，所以E(0，1，1)，
所以＝(1，0，－2)，＝(1，1，1).
设直线AB与DE所成的角为α，
则cos α＝＝＝，
即直线AB与DE所成角的余弦值为.
(2) 因为BF＝BC，所以＝，
设F(x，y，z)，则(x－1，y，z)＝，
所以F.
所以＝(1，1，1)，＝，＝(1，2，0).
设平面DEF的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则令x1＝－2，则y1＝7，z1＝－5，
所以m＝(－2，7，－5).
设平面DEC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则令x2＝－2，则y2＝1，z2＝1，
所以n＝(－2，1，1)，
所以|cos θ|＝＝＝.
所以sin θ＝＝＝.
16. (1) 如图，建立空间直角坐标系，则B(4，0，0)，C(4，4，0)，E(4，0，2)，P(0，0，4)，D(0，4，0)，
所以＝(4，4，－4)，＝(4，0，－2)，＝(0，4，－4).
设平面PCE的法向量为m＝(x，y，z)，
所以则
令x＝1，则y＝1，z＝2，所以m＝(1，1，2).
设PD与平面PCE所成角为α，
则sin α＝|cos 〈m，〉|＝＝＝ ，
所以PD与平面PCE所成角的正弦值是.
(2) 由题意，设F(a，0，0)，0≤a≤4，
则＝(4－a，0，2)，＝(4，－4，2).
设平面DEF的法向量为n＝(x′，y′，z′)，
则即
令x′＝2，则y′＝，z′＝a－4，
所以n＝.
因为平面DEF⊥平面PCE，
所以m·n＝2＋＋2(a－4)＝0，
解得a＝，且a＝<4.
所以＝.

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