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第三节　圆的方程
【课程标准】　1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
教|材|回|顾
1．圆的定义和圆的方程
定义 圆是平面上到________的距离等于________的点的集合
标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b)
半径为r
一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 充要条件：__________
圆心坐标：____________
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(2)|MC|＝r M在________，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(3)|MC|微|点|延|伸
1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则
2．圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
3．圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数，可用来设圆上的点的坐标．
小|题|快|练
1．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的曲线关于直线y＝x对称，那么必有(　　)
A．D＝E B．D＝F
C．E＝F D．D＝E＝F
2．(人A选一P85T1改编)圆心坐标为(2，－3)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝
B．(x＋2)2＋(y＋3)2＝
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
3．圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝4
4．(人A选一P85T3改编)已知A(1,0)，B(0,3)，则以AB为直径的圆的方程是______________________．
5．已知P(x，y)是圆x2＋y2＝1上的动点，则x2＋4y的最大值为________．
类型一 求圆的方程
【例1】　(1)已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－4x－2y＋7＝0
B．x2＋y2－8x－2y－9＝0
C．x2＋y2＋8x＋2y－6＝0
D．x2＋y2－4x＋2y－5＝0
(2)求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．
求圆的方程的常用方法
1．直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
2．待定系数法
(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
(2)选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
【训练1】　(1)(2025·辽宁大连模拟)过点(－1,1)和(1,3)，且圆心在x轴上的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2＝4 B．(x－2)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝5 D．(x－2)2＋y2＝10
(2)(2025·山东泰安检测)在平面内，M，N是两个定点，P是动点，若·＝4，则点P的轨迹为(　　)
A．椭圆 B．抛物线
C．直线 D．圆
类型二 与圆有关的最值问题
考向 ：借助几何性质求最值
【例2】　已知M(－1,2)，N是曲线C：x2＋y2－6x－2y＋9＝0上的动点，P为直线x＋2y＋2＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
将求解的式子进行变形，赋予其一定的几何意义解题，比如本题利用对称性求解．也可以从斜率、距离等几何意义出发求解．
考向 ：借助函数法求最值
【例3】　(1)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则·的最大值为________．
(2)已知x2＋y2＋x＋y＝0，求x＋y的取值范围为________．
建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用二次函数或基本不等式求最值是比较常用的．
【题组对点练】　
题号 1 2 3
考向
1.设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(　　)
A．6 B．25
C．26 D．36
2．已知A(2,0)，B(4,0)，若直线y＝k(x－1)上存在一点M，使得·＝0，则实数k的取值范围为(　　)
A．
B．∪
C．
D．∪
3．(2024·山东聊城一模)已知P是圆C：x2＋y2＝1外的动点，过点P作圆C的两条切线，设两切点分别为A，B，当·的值最小时，点P到圆心C的距离为(　　)
A． B．
C． D．2
类型三 与圆有关的轨迹问题
【例4】　已知定点M(1,0)，N(2,0)，动点P满足|PN|＝|PM|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．
求与圆有关的轨迹问题的常用方法
1．直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
2．定义法：根据圆、直线等定义列方程．
3．相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
【训练2】　如图所示，圆O1和圆O2的半径长都等于1，|O1O2|＝4.过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N为切点)，使得|PM|＝|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
第三节　圆的方程
必备知识·梳理
教材回顾
1．定点　定长　D2＋E2－4F>0　
2．(1)圆外　(2)圆上　(3)圆内
小题快练
1．A
2．D
3．A　解析　根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.
4．x2＋y2－x－3y＝0
5．4　解析　由题意得，x2＋4y＝1－y2＋4y＝－(y－2)2＋5，因为y∈[－1,1]，所以当y＝1时，x2＋4y取得最大值4.
关键能力·落实
【例1】　(1)B　解析　根据题意，圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则圆的圆心坐标为(4,1)，半径r＝×＝，则圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26，即x2＋y2－8x－2y－9＝0，故选B.
(2)解　解法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点，连接CA，CB，所以|CA|＝|CB|，即＝，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝.故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
解法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得解得故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
【训练1】　(1)D　解析　设圆的圆心为(a,0)，半径为r，则有解得故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.故选D.
(2)D　解析　如图建立平面直角坐标系，由M，N是两个定点，不妨设M(－c,0)，N(c,0)，设P(x，y)，则＝(x＋c，y)，＝(x－c，y)．由·＝4可得(x＋c)(x－c)＋y2＝4，即x2＋y2＝4＋c2.所以点P的轨迹为圆．故选D.
【例2】　3－1　解析　如图，曲线C：x2＋y2－6x－2y＋9＝0是以C(3,1)为圆心，以1为半径的圆，则根据圆的性质可知，|PN|的最小值为|PC|－1，设M关于直线x＋2y＋2＝0的对称点为H(m，n)，则可得解得即H(－3，－2)，连接HC，分别交直线x＋2y＋2＝0与圆C于点P，N，则|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PC|－1＝|PH|＋|PC|－1≥|HC|－1，当且仅当P，H，C三点共线时取等号，此时取得最小值3－1，所以|PM|＋|PN|的最小值为3－1.
【例3】　(1)12　解析　由题意，得＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
(2)[－2,0]　解析　配方：2＋2＝，令则x＋y＝cos θ＋sin θ－1＝sin－1∈[－2,0]．
【题组对点练】　
1．D　解析　(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方，因为P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，所以(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2,0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，即[(x－5)2＋(y＋4)2]max＝[＋1]2＝36.故选D.
2．A　解析　因为·＝0，所以AM⊥BM，所以点M在以AB为直径的圆上，所以以AB为直径的圆与直线y＝k(x－1)有公共点．因为以AB为直径的圆的圆心为(3,0)、半径为1，所以≤1，解得－≤k≤，故选A.
3．A　解析　设|PC|＝m，则|PA|＝|PB|＝，cos∠APC＝＝，cos∠APB＝2cos2∠APC－1＝2×－1＝＝，所以·＝(m2－1)·＝＝m2＋－3≥2－3，当且仅当m2＝，即m2＝，即m＝时等号成立，此时|PC|＝，故选A.
【例4】　解　(1)设动点P的坐标为(x，y)，因为M(1,0)，N(2,0)，且|PN|＝|PM|，所以＝·，整理得x2＋y2＝2，所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设点Q的坐标为(x，y)，点A的坐标为(xA，yA)，因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，所以＝2，即(x－xA，y－yA)＝2(6－x，－y)，解得又点A在轨迹C上运动，由(1)有(3x－12)2＋(3y)2＝2，化简得(x－4)2＋y2＝，即点Q的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝.
【训练2】　解　以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)．由已知|PM|＝|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.连接O1M，O2N，PO1，PO2，则O1M⊥PM，O2N⊥PN.因为两圆的半径长均为1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，化简，得(x－6)2＋y2＝33，所以点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.(共35张PPT)
第三节
第八章　平面解析几何
圆的方程
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
求圆的方程
解析
解
解
解析
解析
类型二
与圆有关的最值问题
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
类型三
与圆有关的轨迹问题
解
解
解
R
赢在欲点
y
P
M
N
0
X
M
0
N
C
X
P
H
x+2y+2=0
P
M
N
1
2
y个
P
M
1
N
0
X
1
0
2微练(六十六)　圆的方程
　基础过关
一、单项选择题
1．以点A(3,4)为圆心，且与y轴相切的圆的标准方程为(　　)
A．(x＋3)2＋(y－4)2＝16
B．(x－3)2＋(y＋4)2＝16
C．(x－3)2＋(y－4)2＝9
D．(x－3)2＋(y＋4)2＝9
2．(2025·泰州模拟)若点P(1,1)在圆C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞) B．
C． D．(－2,2)
3．已知曲线y＝x2－x－2与x轴交于A，B两点，圆M经过A，B，C(2,4)三点，则圆M的方程为(　　)
A．x2＋y2－x－4y－2＝0
B．x2＋y2－3x＋2＝0
C．x2＋y2＋2x－4y－8＝0
D．x2＋y2＋x－y－18＝0
4．(2025·焦作开学考试)已知圆经过点A(4,4)，B(－2,4)，C(4，－4)，则该圆的半径为(　　)
A．4 B．5
C．8 D．10
5．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(－4,0)，B(2,0)，点P满足＝2，则点P的轨迹的圆心坐标为(　　)
A．(4,0) B．(0,4)
C．(－4,0) D．(2,0)
6．已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，则该圆的标准方程为(　　)
A．(x＋3)2＋y2＝25
B．(x－3)2＋y2＝25
C．(x±3)2＋y2＝25
D．(x＋9)2＋y2＝25
7．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝2，点P在直线l：x－y－3＝0上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是(　　)
A．|PA|的最小值为2
B．|PA|最小时，弦AB长为
C．|PA|最小时，弦AB所在直线的斜率为－1
D．四边形PACB面积的最小值为
二、多项选择题
8．已知圆C：(x－2)2＋y2＝1，点P(m，n)为圆C上的动点，则下列结论正确的是(　　)
A．的最大值为
B．m2＋n2的最大值为3
C．m2＋n2的最大值为9
D．无最大值
9．设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　　)
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3,0)
C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
三、填空题
10．已知圆M过曲线y＝－x2＋4与坐标轴的三个交点，则圆M的标准方程为________．
11．对圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，若点P到直线l1：3x－4y－9＝0和l2：3x－4y＋a＝0的距离之和与x，y无关，则a的取值范围为________．
12．若直线x－y－3＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，动点P在圆x2＋(y－1)2＝1上，则△ABP面积的取值范围是________．
四、解答题
13．已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1,3)，B(3，3)两点．
(1)求圆C的方程；
(2)若P为圆C上任意一点，定点M(8,0)，点Q满足＝3，求点Q的轨迹方程．
14．已知圆C1经过点A(1,3)和B(2,4)，圆心在直线2x－y－1＝0上．
(1)求圆C1的方程；
(2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求|PM|＋|PN|的最小值，以及此时点P的坐标．
　素养提升
15．(2025·山东模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上存在两动点A，B满足△ABC为正三角形，O为坐标原点，则|＋|的最大值为(　　)
A．2 B．2
C．2－ D．2＋
16．已知圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过点P所作圆C的两条切线互相垂直，则k的取值范围是____________．
微练(六十六)　圆的方程
1．C　解析　以点A(3,4)为圆心，且与y轴相切的圆的半径为3，故圆的标准方程是(x－3)2＋(y－4)2＝9.故选C.
2．C　解析　由题意得解得－23．A　解析　解法一：由题不妨设A，B两点的坐标分别为(－1,0)，(2,0)，设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点的坐标代入圆M的方程，可得解得即圆M的方程为x2＋y2－x－4y－2＝0.故选A.
解法二：由题不妨设A，B两点的坐标分别为(－1,0)，(2,0)．圆心既在线段AB的中垂线x＝上，又在线段BC的中垂线y＝2上，因而圆心坐标为，半径为＝，故所求圆的方程为2＋(y－2)2＝，即x2＋y2－x－4y－2＝0.故选A.
4．B　解析　因为＝(－6,0)，＝(0，－8)，·＝0，所以⊥，所以∠BAC＝90°，所以该圆的直径为|BC|＝＝10，所以半径为5.故选B.
5．A　解析　令P(x，y)，则＝2，两边平方并整理得(x－4)2＋y2＝16，所以圆心为(4,0)．故选A.
6．C　解析　如图，由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|OA|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝＝＝3.设点C的坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，所以a＝±3.故所求圆的标准方程为(x±3)2＋y2＝25.故选C.
7．B　解析　由圆的方程可知，圆心C(－1，0)，半径r＝，如图，连接PC.|PA|＝＝，当PC⊥l时，|PC|最小，此时|PA|最小．对于A，|PC|min＝＝2，所以|PA|min＝＝，故A错误；对于B，当|PA|最小时，S△PAC＝|PA|·r＝|PC|·|AB|，即××＝×2×|AB|，解得|AB|＝，故B正确；对于C，因为PC⊥l，PC⊥AB，所以AB∥l，所以kAB＝kl＝1，故C错误；对于D，四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝|PA|·r，所以当|PA|最小时，四边形PACB的面积最小，最小值为×＝2，故D错误．故选B.
8．AC　解析　如图，圆C：(x－2)2＋y2＝1的圆心为C(2,0)，半径为r＝1，设k＝，则km－n＝0，因为点P在圆上，所以≤1，解得－≤k≤，故的取值范围是，故A正确，D错误；因为m2＋n2的几何意义为P点到原点距离的平方，又点P到原点的距离的取值范围是[1,3]，所以m2＋n2的取值范围是[1,9]，故m2＋n2的最大值为9，故B错误，C正确．故选AC.
9．ABD　解析　圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，因为Δ＝36－40＝－4<0，所以2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，因为Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，所以经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选ABD.
10．x2＋2＝　解析　曲线y＝－x2＋4与坐标轴的三个交点分别为A(－2,0)，B(2,0)，C(0,4)，设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得所以过A，B，C的圆的方程为x2＋y2－3y－4＝0，即x2＋2＝.
11．[6，＋∞)　解析　由题知，圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1,1)，半径为1，因为点P(x，y)到直线l1：3x－4y－9＝0和l2：3x－4y＋a＝0的距离之和与x，y无关，所以其距离之和与点P(x，y)无关．如图所示，当l2：3x－4y＋a＝0在圆左上方(包含相切)时，点P到直线l1，l2的距离之和为平行直线l1，l2之间的距离，即此时与x，y的值无关，当直线l2与圆相切时，则＝1化简得|a－1|＝5，解得a＝6或a＝－4(舍去)，所以a≥6.
12．[，3]　解析　如图所示，因为直线x－y－3＝0与坐标轴的交点A(，0)，B(0，－3)，则|AB|＝＝2，圆x2＋(y－1)2＝1的圆心C(0,1)，半径为r＝1，则圆心C(0,1)到直线x－y－3＝0的距离为d＝＝2，所以圆x2＋(y－1)2＝1上的点P到直线x－y－3＝0的距离的最小值为d－r＝2－1＝1，距离的最大值为d＋r＝2＋1＝3，所以△ABP面积的最小值为×2×1＝，最大值为×2×3＝3，即△ABP面积的取值范围为[，3]．
13．解　(1)由题意可知，AB的中点为(2,3)，kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝2，它与x轴的交点为圆心C(2,0)，又半径r＝|AC|＝，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，由＝3，得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)，所以又点P在圆C上，故(x0－2)2＋y＝10，所以(3x－18)2＋(3y)2＝10，化简得点Q的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝.
14．解　(1)连接AB，由题意知AB的中点坐标为，kAB＝＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y＝5－x，联立解得即圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r＝1，其方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)注意到点C1(2,3)和点C2(－3，－4)在直线x＋y＝0的两侧，且直线x＋y＝0与两圆均相离，连接PC1，PC2，C1C2，所以|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－3≥|C1C2|－4＝－4，当M，N，P在线段C1C2上时取等号，此时点P为直线C1C2与x＋y＝0的交点，直线C1C2的方程为7x－5y＋1＝0，联立解得所以点P的坐标为.
15．D　解析　由题意可知△ABC是边长为1的正三角形，设AB的中点为M，则|CM|＝，又C(1,1)，所以点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－1)2＝，且|OC|＝.因为＋＝2，所以|＋|＝2||，因为|OM|≤|OC|＋|CM|＝＋，当且仅当点C在线段OM上时等号成立，所以||的最大值为＋，所以|＋|的最大值为2＋.故选D.
16．[－2，2]　解析　由x2＋y2－4x＝0，得(x－2)2＋y2＝4，所以圆C的圆心为C(2,0)，半径r＝2.设过点P所作圆C的两条切线的切点分别为A，B，如图，连接AC，BC，PC，则四边形PACB是边长为2的正方形，所以|PC|＝2.点P在直线y＝k(x＋1)上，则圆心C到直线y＝k(x＋1)的距离d＝≤2，解得－2≤k≤2，所以k的取值范围是[－2，2]．(共34张PPT)
圆的方程
微练(六十六)
基础过关
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素养提升
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