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第24章　解直角三角形评价卷
时间:90分钟　满分:100分
班级:　　　　　　学号:　　　　　　姓名:　　　　　　
成绩:　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=10,tan A=,则BC的长为(C)
A.8 B.9 C.6 D.12
2.点M(-sin 60°,cos 60°)关于原点对称的点的坐标是(B)
A.(,) B.(,-)
C.(-,-) D.(-,)
3.如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若∠A=26°,则
∠BDC的度数是(D)
A.26° B.38° C.42° D.52°
4.若△ABC的三边a∶b∶c=3∶4∶5,其中a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,则sin A+cos B的值为(C)
A. B. C. D.
5.如图所示,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距离灯塔45海里的A处,它沿北偏东30°方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处,此时与灯塔P的距离约为(参考数据:
sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈) (C)
A.27海里 B.50海里
C.75海里 D.15海里
6.如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC上,过点D作DF⊥BC交BA的延长线于F,连结AD,CF,若∠CFE=32°,∠ADB=45°,则∠B的大小是(C)
A.32° B.64° C.77° D.87°
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,点D是AC上一点,连结BD.若tan A=,tan∠ABD=,则CD的长为(C)
A.2 B.3 C. D.2
8.如图所示,点E是矩形ABCD中CD边上一点,△BCE沿BE折叠得
△BEF,点F落在AD上,若sin∠DFE=,则tan∠EBF的值为(B)
A. B.
C. D.
9.如图所示,将三角尺ABC和三角尺DEF叠放在一起,直角边AC与DE完全重合,已知AB长为16 cm.若三角尺DEF沿CB方向移动(如图②所示),此时测得OB长是6 cm,则移动距离CD是(C)
①
②
A.2 cm B.5 cm
C.(5-3)cm D.(8-5)cm
10.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图所示,在由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,
∠ABF>∠BAF,连结BE.设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n,tan α=tan2β,则n=(C)
A.5 B.4 C.3 D.2
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m,则小明沿垂直方向升高了　25　m.
12.△ABC中,∠A,∠B均为锐角,且(tan A-)2+|2cos B-1|=0,则
△ABC的形状是　等边三角形　.
13.如图所示,已知两点A(2,0),B(0,4),且∠1=∠2,则cos∠OCA=　　.
14.如图所示,桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处.已知:杠杆AB=6米,AO∶OB=2∶1,支架OM⊥EF,OM=3米,AB可以绕着点O自由旋转,当点A旋转到如图所示位置时∠AOM=45°,此时点B到水平地面EF的距离为　(3+)　米.(结果保留根号)
15.如图所示,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,已知点A(3,0),B(0,4),点C在x轴负半轴上,连结AB,BC,若tan∠ABC=2,以BC为边作等边三角形BCD,则D的坐标为　(-1-2,2+)或(-1+2,2-)　.
16.如图所示,已知直线y=-x+4分别与y轴、x轴交于A,B两点,过点B作BP⊥AB,点P在双曲线y=(k≠0)上,连结PA.若tan∠PAB=,则k= 　.
三、解答题(共46分)
17.(10分)计算:
(1)sin 45°+cos230°-+2sin 60°-(π-2 017)0;
(2)2cos 30°-tan 45°-+(sin 45°)-2.
解:(1)原式=.
(2)原式=2.
18.(12分)如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE∶ED=7∶5,连结CE并延长交AB于点F,AC=13,BC=8,cos∠ACB=.
(1)求tan∠DCE的值;
(2)求的值.
解:(1)∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,
在Rt△ADC中,AC=13,cos∠ACB==,
∴CD=5.由勾股定理,得AD==12.
∵AE∶ED=7∶5,∴ED=5,∴tan∠DCE==1.
(2)过D作DG∥CF交AB于点G,如图所示.
∵BC=8,CD=5,∴BD=BC-CD=3.
∵DG∥CF,
∴==,==,∴AF=FG.
设BG=3x,则FG=5x,
∴AF=7x,BF=FG+BG=8x,∴=.
19.(10分)如图所示,某建筑物CD高96 m,它的前面有一座小山,其斜坡AB的坡度为i=1∶1.为了测量山顶A的高度,在建筑物顶端D处测得山顶A和山底B的俯角分别为α,β.已知tan α=2,tan β=4,求山顶A的高度AE.(C,B,E在同一水平线上)
解:过点A作AF⊥CD,垂足为F(图略).
设AE=x m.
∵斜坡AB的坡度为i=1∶1,∴BE=AE=x m.
在Rt△BDC中,
∵∠C=90°,CD=96 m,∠DBC=β,
∴BC===24(m).
∴EC=EB+BC=(x+24)m.
∵AE⊥EC,FC⊥EC,AF⊥FC,∴四边形AECF是矩形.
∴AF=EC=(x+24)m.
在Rt△ADF中,
∵∠AFD=90°,∠DAF=α,
∴DF=AF·tan α=2(x+24)m.
∵DF=DC-CF=DC-AE=(96-x)m,
∴2(x+24)=96-x,解得x=16.
故山顶A的高度AE为16 m.
20.(14分)如图所示,某海域有两灯塔A,B,其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向,且A,B相距海里.一渔船在C处捕鱼,测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向.
(1)求B,C两处的距离.
(2)该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后,突发故障滞留于D处,并发出求救信号.此时,在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向,便立即以18海里/时的速度沿BD方向航行至D处救援,求渔政船的航行时间.
(注:点A,B,C,D在同一水平面内;参考数据:tan 65°≈2.1,tan 27°≈0.5)
解:(1)如图所示,过点A作AE⊥BC于点E.
由题意,可得∠ACE=∠ABE=30°,
∴AC=AB.
∵AE⊥BC,∴CE=BE.
∵AB=海里,
∴BE=CE=8海里,
∴BC=8×2=16(海里),
即B,C两处的距离为16海里.
(2)如图所示,过点D作DF⊥BC于点F,设CF=x海里.
∵∠DCF=65°,
∴DF=CF·tan 65°=2.1x海里.
由(1)可知,BC=16海里,
∴BF=(16+x)海里.
∵∠DBF=27°,
∴DF=BF·tan 27°=0.5(16+x)海里,
∴2.1x=0.5(16+x),解得x=5,
∴BF=BC+CF=21海里,
DF=10.5海里.
根据勾股定理,可得
BD==海里,
∴渔政船的航行时间为
÷18=(小时).
答:渔政船的航行时间为小时.第24章　解直角三角形评价卷
时间:90分钟　满分:100分
班级:　　　　　　学号:　　　　　　姓名:　　　　　　
成绩:　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=10,tan A=,则BC的长为( )
A.8 B.9 C.6 D.12
2.点M(-sin 60°,cos 60°)关于原点对称的点的坐标是( )
A.(,) B.(,-)
C.(-,-) D.(-,)
3.如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若∠A=26°,则
∠BDC的度数是( )
A.26° B.38° C.42° D.52°
4.若△ABC的三边a∶b∶c=3∶4∶5,其中a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,则sin A+cos B的值为( )
A. B. C. D.
5.如图所示,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距离灯塔45海里的A处,它沿北偏东30°方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处,此时与灯塔P的距离约为(参考数据:
sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈) ( )
A.27海里 B.50海里
C.75海里 D.15海里
6.如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC上,过点D作DF⊥BC交BA的延长线于F,连结AD,CF,若∠CFE=32°,∠ADB=45°,则∠B的大小是( )
A.32° B.64° C.77° D.87°
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,点D是AC上一点,连结BD.若tan A=,tan∠ABD=,则CD的长为( )
A.2 B.3 C. D.2
8.如图所示,点E是矩形ABCD中CD边上一点,△BCE沿BE折叠得
△BEF,点F落在AD上,若sin∠DFE=,则tan∠EBF的值为( )
A. B.
C. D.
9.如图所示,将三角尺ABC和三角尺DEF叠放在一起,直角边AC与DE完全重合,已知AB长为16 cm.若三角尺DEF沿CB方向移动(如图②所示),此时测得OB长是6 cm,则移动距离CD是( )
①
②
A.2 cm B.5 cm
C.(5-3)cm D.(8-5)cm
10.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图所示,在由四个全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,
∠ABF>∠BAF,连结BE.设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n,tan α=tan2β,则n=( )
A.5 B.4 C.3 D.2
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m,则小明沿垂直方向升高了　　m.
12.△ABC中,∠A,∠B均为锐角,且(tan A-)2+|2cos B-1|=0,则
△ABC的形状是　　.
13.如图所示,已知两点A(2,0),B(0,4),且∠1=∠2,则cos∠OCA=　　.
14.如图所示,桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处.已知:杠杆AB=6米,AO∶OB=2∶1,支架OM⊥EF,OM=3米,AB可以绕着点O自由旋转,当点A旋转到如图所示位置时∠AOM=45°,此时点B到水平地面EF的距离为　　米.(结果保留根号)
15.如图所示,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,已知点A(3,0),B(0,4),点C在x轴负半轴上,连结AB,BC,若tan∠ABC=2,以BC为边作等边三角形BCD,则D的坐标为　　.
16.如图所示,已知直线y=-x+4分别与y轴、x轴交于A,B两点,过点B作BP⊥AB,点P在双曲线y=(k≠0)上,连结PA.若tan∠PAB=,则k= 　.
三、解答题(共46分)
17.(10分)计算:
(1)sin 45°+cos230°-+2sin 60°-(π-2 017)0;
(2)2cos 30°-tan 45°-+(sin 45°)-2.
18.(12分)如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE∶ED=7∶5,连结CE并延长交AB于点F,AC=13,BC=8,cos∠ACB=.
(1)求tan∠DCE的值;
(2)求的值.
19.(10分)如图所示,某建筑物CD高96 m,它的前面有一座小山,其斜坡AB的坡度为i=1∶1.为了测量山顶A的高度,在建筑物顶端D处测得山顶A和山底B的俯角分别为α,β.已知tan α=2,tan β=4,求山顶A的高度AE.(C,B,E在同一水平线上)
20.(14分)如图所示,某海域有两灯塔A,B,其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向,且A,B相距海里.一渔船在C处捕鱼,测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向.
(1)求B,C两处的距离.
(2)该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后,突发故障滞留于D处,并发出求救信号.此时,在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向,便立即以18海里/时的速度沿BD方向航行至D处救援,求渔政船的航行时间.
(注:点A,B,C,D在同一水平面内;参考数据:tan 65°≈2.1,tan 27°≈0.5)

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