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第十三章 三角形
13.3.1 三角形的内角
（第2课时）
1．探索并证明直角三角形的性质——直角三角形的两个锐角互余。
2．探索并证明直角三角形的判定——有两个角互余的三角形是直角三角形。
x=____
x=____
x=____
1．三角形内角和定理：_________________________.
2．直接说出下列图形中的x的值.
80
65
35
三角形的内角和等于180°
利用三角形的内角和定理，可以得到一些特殊三角形的内角的关系。
探究：在△ABC 中，∠C =90°，∠A 与∠B有什么关系呢？请将下面的解答过程补充完整.
解： ∠A 与∠B________.
理由如下：
在△ABC 中，
∠A+∠B +∠C=________，
∵ ∠C =90°
即∠A+∠B +______=180°，
∴∠A+∠B =______.
互余
180°
90°
90°
符号语言：
在直角三角形ABC 中
∵∠C =90°
∴∠A+∠B =90°
直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角互余．
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，
直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
例1：如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，比较∠CAE 与∠DBE 的大小.
解：在Rt△ACE中，
∠CAE =90°∠AEC
在Rt△BDE 中，
∠DBE＝90°∠BED
∵∠AEC =∠BED
∴∠CAE =∠DBE
思考：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余。反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由，
A
B
C
解：有两个角互余的三角形是直角三角形，理由如下：
由三角形内角和定理，得
∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝90°．
∴有两个角互余的三角形是直角三角形．
符号语言：
∵∠A+∠B=90°
∴∠C=90°
∴△ABC是直角三角形
直角三角形的判定：
有两个角互余的三角形是直角三角形．
A
B
C
例2：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠1＝∠B.
试说明：△ABC是直角三角形．
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°
∴∠1＋∠C＝90°，
又∵∠1＝∠B，
∴∠B＋∠C＝90°，
∴∠BAC＝90°
∴△ABC是直角三角形
直角三角形的注意事项
（1）“直角三角形的两个锐角互余”这一性质的前提条件是“在直角三角形中”，所以应用时首先要判定三角形为直角三角形；
（2）在运用直角三角形的判定或其性质时，多结合“同角或等角的余角相等”“对顶角相等”等结论，可找出更多角的关系，有助于解决问题．
【知识技能类练习】必做题：
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
A
【知识技能类练习】必做题：
2．下列条件中不能使△ABC成为直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5 D．∠A＝2∠B＝3∠C
D
【知识技能类练习】必做题：
3．，，，与平行吗？为什么？
解：．理由如下
，
___．（___________）．
____．
在中，
（__________________________）．
，
________．（________________）．
．（_______________________）．
同位角相等，两直线平行
垂直定义
直角三角形的两个锐角互余
等角的余角相等
【知识技能类练习】选做题：
4．如图，AB//CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，则△ACE是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
B
【综合拓展类练习】
5 ．如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.
解：(1)∠1＝∠2. 理由如下：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴△ABD和△BCE是直角三角形，
∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，
∴∠1＝∠2
（1）猜想∠1与∠2的关系，并说明理由；
【综合拓展类练习】
解： (2)结论仍然成立．理由：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠D＝∠E＝90°，
∴∠1＋∠CBE＝90°，∠2＋∠DBA＝90°.
∵∠DBA＝∠CBE，
∴∠1＝∠2
(2)如果∠ABC是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？说明理由．
5 ．如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.
直角三角形
判定
性质
直角三角形的两个锐角互余
有两个角互余的三角形是直角三角形
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C.若∠BOD＝38°，则∠A＝ ．
52°
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，在中，D为上一点，，，请判断的形状；
解：是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
【知识技能类作业】选做题：
4．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
C
【综合拓展类作业】
5．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.
(1)求证：CF//AB；
(2)求∠DFC的度数．
证明：(1)∵∠1＋∠2＝90°,∠1＝∠2,∠3＝45°
∴∠3＝∠1＝45°，
∴CF//AB
(2)∵∠D＝30°，∠1＝45°，
∴∠DFC＝180°－30°－45°＝105°中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第五课时《13.3.1 三角形的内角（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课时内容选自人教版八年级上册第十三章《三角形》第5课时，是在学习三角形内角和定理（三角形内角和为180°）基础上的延伸与拓展。重点探究直角三角形的性质推论——“直角三角形的两个锐角互余”，以及其逆命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”的证明与应用。这个推论是三角形内角和定理在特殊三角形中的具体应用，为后续学习直角三角形的判定、三角函数等知识奠定基础，在几何知识体系中起到承上启下的作用。
学习者分析 学生已掌握三角形内角和定理，能进行简单的角度计算与等量代换。并了解直角三角形的概念，但对其角的特殊关系缺乏系统认知。具备初步的逻辑推理能力，但对“定理→推论”的推导过程可能存在理解障碍，尤其在将文字命题转化为几何符号语言时需要引导。
教学目标 1．探索并证明直角三角形的性质——直角三角形的两个锐角互余。 2．探索并证明直角三角形的判定——有两个角互余的三角形是直角三角形。
教学重点 1．直角三角形的性质与判定。 2．直角三角形的性质与判定在角度计算与证明中的应用。
教学难点 1．直角三角形的性质与判定的推导过程与证明。 2．在复杂图形中识别直角三角形并灵活应用直角三角形的性质与判定解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．探索并证明直角三角形的性质——直角三角形的两个锐角互余。 2．探索并证明直角三角形的判定——有两个角互余的三角形是直角三角形。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．三角形内角和定理：________________. 答案：三角形的内角和等于180° 2．直接说出下列图形中的x的值. 答案：80，65，35 导入：利用三角形的内角和定理，可以得到一些特殊三角形的内角的关系。学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过回顾三角形内角和定理，为探究直角三角形的两锐角互余及直角三角形的判定做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 探究：在△ABC 中，∠C =90°，∠A 与∠B有什么关系呢？请将下面的解答过程补充完整. 解： ∠A 与∠B________. 理由如下： 在△ABC 中， ∠A+∠B +∠C=________， ∵ ∠C =90° 即∠A+∠B +______=180°， ∴∠A+∠B =______. 预设：互余，180°，90°，90° 归纳：直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角互余． 符号语言： 在直角三角形ABC 中 ∵∠C =90° ∴∠A+∠B =90° 指出：直角三角形可以用符号“Rt△”表示， 直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ． 例1：如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，比较∠CAE 与∠DBE 的大小. 解：在Rt△ACE中， ∠CAE =90°∠AEC 在Rt△BDE 中， ∠DBE＝90°∠BED ∵∠AEC =∠BED ∴∠CAE =∠DBE 思考：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余。反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由， 解：有两个角互余的三角形是直角三角形，理由如下： 由三角形内角和定理，得 ∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∵∠A＋∠B＝90°， ∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝90°． ∴有两个角互余的三角形是直角三角形． 归纳：直角三角形的判定： 有两个角互余的三角形是直角三角形． 符号语言： ∵∠A+∠B=90° ∴∠C=90° ∴△ABC是直角三角形 例2：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠1＝∠B. 试说明：△ABC是直角三角形． 证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90° ∴∠1＋∠C＝90°， 又∵∠1＝∠B， ∴∠B＋∠C＝90°， ∴∠BAC＝90° ∴△ABC是直角三角形 归纳：直角三角形的注意事项 （1）“直角三角形的两个锐角互余”这一性质的前提条件是“在直角三角形中”，所以应用时首先要判定三角形为直角三角形； （2）在运用直角三角形的判定或其性质时，多结合“同角或等角的余角相等”“对顶角相等”等结论，可找出更多角的关系，有助于解决问题．学生活动3： 学生先独立思考老师提出的问题，然后小组合作探究并班内交流汇报，最后听老师的点评和讲解活动意图说明： 引导学生探究并证明直角三角形的性质：直角三角形的两锐角互余及直角三角形的判定方法：有两个角互余的三角形是直角三角形，并通过例题让学生会用直角三角形的性质及判定解决问题。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：13.3.1 三角形的内角（第2课时） 一、直角三角形的性质 二、直角三角形的判定教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( ) A．30° B．45° C．60° D．75° 答案：A 2．下列条件中不能使△ABC成为直角三角形的是( ) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5 D．∠A＝2∠B＝3∠C 答案：D 3．，，，与平行吗？为什么？ 解：． ， ___________．（___________）． ___________． 在中，（___________）． ， ______________________．（___________）． ．（___________）． 答案：；垂直定义；；直角三角形的两个锐角互余；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行 选做题： 4．如图，AB//CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，则△ACE是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案：B 【综合拓展类练习】 5 ．如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E. （1）猜想∠1与∠2的关系，并说明理由； （2）如果∠ABC是钝角，如图②，（1）中的结论是否还成立？说明理由． 解：(1)∠1＝∠2. 理由如下： ∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴△ABD和△BCE是直角三角形， ∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°， ∴∠1＝∠2 (2)结论仍然成立．理由： ∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠D＝∠E＝90°， ∴∠1＋∠CBE＝90°，∠2＋∠DBA＝90°. ∵∠DBA＝∠CBE， ∴∠1＝∠2
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C.若∠BOD＝38°，则∠A＝ ． 答案：52° 2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 3．如图，在中，D为上一点，，，请判断的形状； 解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 选做题： 4．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 答案：C 【综合拓展类作业】 5．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F. (1)求证：CF//AB； (2)求∠DFC的度数． 证明：(1)∵∠1＋∠2＝90°,∠1＝∠2,∠3＝45° ∴∠3＝∠1＝45°， ∴CF//AB (2)∵∠D＝30°，∠1＝45°， ∴∠DFC＝180°－30°－45°＝105°
教学反思 在教学过程中，注重引导学生自主推导直角三角形两锐角互余，通过例题强化对直角三角形性质的应用。同时关注学生在复杂图形中应用直角三角形的性质及判定的能力。在练习提高过程中，有部分学生出现误用“两角互余”证明非三角形图形为直角三角形，或忽略直角三角形前提使用推论的情况。可增加判断正误练习强化条件意识，利用几何画板动态演示锐角变化。
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同步探究学案
课题 13.3.1 三角形的内角（第2课时） 单元 第十三章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．探索并证明直角三角形的性质——直角三角形的两个锐角互余。 2．探索并证明直角三角形的判定——有两个角互余的三角形是直角三角形。
重点 1．直角三角形的性质与判定。 2．直角三角形的性质与判定在角度计算与证明中的应用。
难点 1．直角三角形的性质与判定的推导过程与证明。 2．在复杂图形中识别直角三角形并灵活应用直角三角形的性质与判定解决实际问题。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．三角形内角和定理：________________. 2．直接说出下列图形中的x的值. x=______ x=______ x=______
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助利用三角形的内角和定理，研究在关直角三角形的性质及判定方法。 探究：在△ABC 中，∠C =90°，∠A 与∠B有什么关系呢？请将下面的解答过程补充完整. 解： ∠A 与∠B________. 理由如下： 在△ABC 中， ∠A+∠B +∠C=________， ∵ ∠C =90° 即∠A+∠B +______=180°， ∴∠A+∠B =______. 归纳：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角______． 符号语言： 在直角三角形ABC 中 ∵∠C =______ ∴∠A+∠____ =90° 注意：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成__________ 例1：如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，比较∠CAE 与∠DBE 的大小. 思考：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余。反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由， 归纳：直角三角形的判定：有两个角_______的三角形是直角三角形． 符号语言： ∵∠A+∠B=_______ ∴∠____=90° ∴△ABC是直角三角形 例2：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠1＝∠B. 试说明：△ABC是直角三角形． 归纳：直角三角形的注意事项 （1）“直角三角形的两个锐角互余”这一性质的前提条件是“在直角三角形中”，所以应用时首先要判定三角形为直角三角形； （2）在运用直角三角形的判定或其性质时，多结合“同角或等角的余角相等”“对顶角相等”等结论，可找出更多角的关系，有助于解决问题．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( ) A．30° B．45° C．60° D．75° 2．下列条件中不能使△ABC成为直角三角形的是( ) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5 D．∠A＝2∠B＝3∠C 3．，，，与平行吗？为什么？ 解：． ， ___________．（___________）． ___________． 在中，（___________）． ， ______________________．（___________）． ．（___________）． 选做题： 4．如图，AB//CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，则△ACE是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【综合拓展类练习】 5 ．如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E. （1）猜想∠1与∠2的关系，并说明理由； （2）如果∠ABC是钝角，如图②，（1）中的结论是否还成立？说明理由．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C.若∠BOD＝38°，则∠A＝ ． 2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在中，D为上一点，，，请判断的形状； 选做题： 4．在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【综合拓展类作业】 5．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F. (1)求证：CF//AB； (2)求∠DFC的度数．
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