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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第02讲 一元二次方程
知识点 1 一元二次方程的相关概念
一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项.
【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件.
一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.
判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代人这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根.
知识点 2 一元二次方程的解法
基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解.
1. 直接开平方法（基础）
例：形如（a≠0）的一元二次方程：
当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根；
当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根；
当＜0时，则方程无实数根.
2. 配方法（基础）
配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解.
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边；
2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；
4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解.
3. 公式法
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)；
2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；
3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：；
4）最后求出.
【补充说明】求根公式的使用条件：
4. 因式分解法
依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0.
步骤：
1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；
2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
4）求解.
【易错易混】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0.
知识点 3 一元二次方程根的判别式
根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即.
根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定.
1）方程有两个不相等的实根:；
2）方程有两个相等的实根：；
3）方程无实根.
【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根．
【易错易混】
1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程；
2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根.
知识点 4 一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝
【补充说明】
1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：.
2）当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为+＝， ＝.
3）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是.
4）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值.
知识点 5 一元二次方程的应用
用一元二次方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
一元二次方程的常见问题及数量关系：
常见问题 数量关系
变化率问题
利润问题 利润=售价-进价； 利润率=利润/进价×100% 总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量.
循环问题 单循环（如握手问题）：n（n－1） （其中n为人数） 双循环（如写信问题）：n（n－1） （其中n为人数）
面积问题
(a 2x)(b 2x) （x为空白部分的宽） (a x)(b x) （x为阴影部分的宽）
考点一：一元二次方程的相关概念
例1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】关于的方程是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．或
【变式1-2】将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】已知是关于的一元二次方程（其中为实数）的一个非零实数根，若记为，则与的关系是 ．
【变式1-4】若m是方程 的一个根，则 的值为 ．
考点二：一元二次方程的解的估算
例2．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（ ）
3.1 3.2 3.3 3.4
0.5
A． B． C． D．
【变式2-1】在估算一元二次方程的根时，小明列表如下：
x 1
由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2-3】如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ．
1.2 1.3 1.4 1.5
0.36 0.75
【变式2-4】小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程：
第一步：


所以
第二步：


所以 ．
(1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分．
(2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少
考点三：一元二次方程的解法
例3．解方程：
(1)；
(2)．
【变式3-1】解下列方程：
(1)
(2)
【变式3-2】解方程：
(1)
(2)
(3)
【变式3-3】解方程：
(1)；
(2)下面是小蒋同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
解方程：，
解：方程两边同除以，得第一步
移项，合并同类项，得第二步
系数化为，得第三步
任务：
小蒋的解法从第_____步开始出现错误；
请写出此题的正确解题过程．
【变式3-4】解下列方程：
(1)；
(2)．
考点四：配方法的应用
例4．在实数范围内，代数式的值不可能为（　　）
A． B． C． D．
【变式4-1】已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例如：求代数式的最小值？解答过程如下：
解：．
，
当时，的值最小，最小值是0，
，
当时，的值最小，最小值是1，
的最小值为1．
根据上述方法，可求代数式当 时有最 （填“大”或“小”）值，为 ．
【变式4-3】我们知道：对于任何实数，
①，；②，．
请模仿上述方法解答：
(1)求证：对于任何实数，都有；
(2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小．
【变式4-4】阅读材料，回答下列问题：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题．
【初步思考】观察下列式子：
（1）；
，
，
代数式的最小值为；
【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题：
（1）求的最小值；
【拓展提高】（2）求的最大值．
考点五：换元法解一元二次方程
例5．若关于的一元二次方程有一个根为2020，则方程必有根为（ ）
A．2020 B．2021 C．2019 D．2022
【变式5-1】已知关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），那么方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．无法求解
【变式5-2】已知方程的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式5-3】若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是 ．
【变式5-4】阅读下列材料：
为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．
利用以上学习到的方法解方程：．
考点六：根的判别式
例6．关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是（ ）
A．当，，时，方程一定有两个不相等的实数根；
B．当，，时，方程一定没有实数根；
C．当，时，方程一定没有实数根；
D．当，，时，方程一定有实数根．
【变式6-1】已知一元二次方程和．在探究两个方程的根的情况时，甲同学认为：若， 则两个方程都有两个不相等的实数根；乙同学认为：若m是其中一个方程的根， 则是另一个方程的根；以下对两位同学的看法判断正确的是（ ）
A．甲乙都正确 B．甲乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【变式6-2】关于x的一元二次方程x2－mx－1=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【变式6-3】已知一次函数的图像不过第三象限，则方程的根的个数为 ．
【变式6-4】已知方程，
(1)求证：对任意实数m，方程总有两个实数根；
(2)任给一个m值，使得方程有两个不同的正实数根，并求出方程的两根．
考点七：根据一元二次方程根的情况求参数
例7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．3
【变式7-1】若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
【变式7-3】定义新运算：，例如：．若方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【变式7-5】关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若为正整数，求此方程的根．
考点八：一元二次方程根与系数的关系
例8．关于的一元二次方程的两个根是，，则的值为（ ）
A．8 B． C． D．2
【变式8-1】已知，是方程的两根，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【变式8-2】已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，且，则实数的值为 ．
【变式8-3】若一元二次方程的两根为m，n，则 ．
【变式8-4】法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．
定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”．
(1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值；
(2)若是“倍根方程”，求m与n的关系；
(3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明，
考点九：一元二次方程的应用1
例9．实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）．
素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建．
素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口．
任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？
任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
【变式9-1】如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向运动，同时点从点出发以每秒的速度也向运动，一个点到达点则另一个点也停止运动，设运动时间为秒．
(1)用含的式子表示、的长，并指出的取值范围；
(2)连接，为何值时，的面积为．
【变式9-2】2024年7月，受台风影响，我市某地遭受特大暴雨，受灾严重．我市迅速启动救援，拟建一批临时安置房．如图所示，现有一面长为米的墙，欲利用该墙搭建一间矩形临时安置房．已知目前有可搭建总长为米围墙的建筑材料（损耗忽略不计）．设边长为x米．
(1)用含x的代数式表示的长；
(2)矩形安置房总占地面积可能为平方米吗？请说明理由．
【变式9-3】如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位）
(1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m；
(2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽；
(3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【变式9-4】如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为米和米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门，设长米．
(1)求的长度（用含的代数式表示，并求出的取值范围）．
(2)若饲养场的面积为平方米，求的值．
考点十：一元二次方程的应用2
例10．2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
(1)若每个模型降价5元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
(2)在每个模型盈利不超过25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
【变式10-1】某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱元，若按每箱元出售，则每天可销售箱．现准备提价销售，经市场调研后发现：每箱每提价元，每天的销量就会减少箱．设该水果售价为每箱元．
(1)用含的代数式表示提价后平均每天的销售量为______箱；（化为最简形式）
(2)既要考虑经销商的利润，保证经销商每天可获得元利润，又要让利于消费者，则这批水果应按每箱多少元销售？
【变式10-2】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若某天该商品每件降价5元，当天可获利多少元？
(2)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【变式10-3】2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红．
(1)据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？
(2)市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【变式10-4】为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题．
素材1 某款中央空调每台进价为20000元．
素材2 团购方案：团购2台时，则享受团购价30000元/台，若团购数量每增加1台，则每台再降500元． 规定：一个团的团购数量不超过11台．
问题解决 问题1：当团购3台时，求出每台空调的团购价． 问题2：设团购数量增加x台，请用含x的代数式表示每台空调的团购价． 问题3：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为58500元．
拓展训练一：整体代入求一元二次方程的解
1．关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知实数满足，则的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．2
3．若关于x的一元二次方程的解是，，则的解是 ．
4．为了解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，
当时，，∴，∴；
当时，，∴，∴；
故原方程的解为．
以上方法叫换元法，利用换元法可以达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照上述方法求出方程的解为 ．
5．阅读下列材料：
已知实数、满足，试求的值．
解：设，则原方程可化为，即；
解得．
，
．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：
(1)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ．
(2)已知实数、满足，求的值．
(3)解方程．
拓展训练二：一元二次方程的特殊解法
1．我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如，
①换元法求解四次方程：
设，则原方程可变为，解得，，
当时，即，∴；
当时，即，∴；
∴原方程有四个根：，，，．
②因式分解法求解三次方程：
将其变形为；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴原方程有三个根：，，
(1)仿照以上方法解方程：
①；
②；
(2)已知：，且，则的值为________．
2．解方程．
3．解方程：
(1)；
(2)；
(3)
4．阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
5．解方程：．
拓展训练三：一元二次方程根与系数的关系综合
1．阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数、、满足，，求、、的值．
解法1：由已知得，①．②
将①代入②，整理得．③
由①、③可知，、是关于的方程④的两个实数根．
，即．而，，，
将代入④，得．，即．，．
解法2：，、设，．①
，．②
将①代入②，得．
整理，得，即．，．
将、的值同时代入①，得，．，．
以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数、满足，，则、是关于的一元二次方程的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题。若实数、满足，则可设，，一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．
下面给出两个问题，解答其中任意一题：
(1)用另一种方法解答范例中的问题．
(2)选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数、、满足，，求证：．
2．类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．
学习再现：
设一元二次方程的两个根分别为和，
那么，
比较系数得，．
类比推广：
（）设的三个根分别为，，，求的值．
问题解决：
（）若的三个根分别为，，，则的值是______．
拓展提升：
（）已知实数满足，且，求正数的最小值．
3．已知关于x的一元二次方程有两个正实数根，，且．
(1)求k关于n的表达式；
(2)若n为正整数，求k的取值范围．
4．关于x的一元二次方程…①和…②．
(1)若，且方程①有两实根，，方程②有两实根，，求代数式的最小值；
(2)是否存在实数a，使得方程①和②恰有一个公共的实数根？若存在，请求出实数a的值；若不存在请说明理由．
5．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．
(1)直接写出方程的衍生点的坐标为______；
(2)已知关于的方程．
①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②求该方程衍生点的坐标；
③已知不论为何值，关于的方程的 生点始终在直线上，求b，c的值．
拓展训练四：一元二次方程的应用综合
1．根据以下素材，探索完成任务
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示
素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板．
素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒
目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （）
利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？
目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？
2．如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)两平行线与之间的距离是__________．
(2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值．
(3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值．
3．在一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实数根的个数，在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当取何值时，取最小值，最小值为多少？
解答：
．
，即，
因此的最小值为，
此时，解得，符合题意
当时，
(1)已知函数，的最大值为多少？
(2)已知函数，的最小值为多少？
(3)如图，已知，，是线段上一点，，，，当为何值时，取最小值，最小值是多少？

4．如何利用闲置纸板箱制作储物盒
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材 如图，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示．
素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为长方形纸板．
长方形纸板① 长方形纸板②

小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式
裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，则长方形纸板宽为______．
目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究．
初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．
储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．
5．如图，在中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒的速度沿匀速运动，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当时，直接写出P，Q两点间的距离．
(2)是否存在t，使得的面积是面积的？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)当为直角三角形时，求t的取值范围．
拓展训练五：一元二次方程的新定义问题
1．若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论：
①如果是的倒方程的一个解，则．
②一元二次方程与它的倒方程有公共解．
③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解．
④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．
上述结论正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．对实数，，定义运算“”为：．已知关于的方程，若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ：若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 ．
3．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)根据上述定义，是“______倍根方程”；
(2)若关于x的方程是“三倍根方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）；
(4)由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到的最小值是______．（参考公式：，x、y均为正数）
4．阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，；
材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)若实数a，b满足：，则_______，_______；
(2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值；
(3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围．
5．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
(1)“全整根方程”的“最值码”是______．
(2)若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值．
(3)若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
1．若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为（ ）
A． B．8 C． D．
2．某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年月份的每平方米元下降到月份的每平方米元，且今年房价每月的下降率保持一致，则每月的下降率为（　　）
A． B． C． D．
3．已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（ ）
A．1或5 B．1或 C． D．5
6．已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ．
7．边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程的两根，则该直角三角形的斜边长为 ．
8．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示：
二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法
（说明：a，b，m，n，，均为常数）
有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ．
9．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
10．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令，则y的取值范围是 ．
11．解一元二次方程时，两位同学的解法如下：
甲同学： 或 ∴或 乙同学： ，， ∵ ∴此方程无实数根
(1)你认为他们的解决是否正确？直接写出判断结果．
甲同学的解法______，乙同学的解法______．（填“正确”或者“不正确”）
(2)请选择合适的方法解一元二次方程．
12．“当你背单词的时候，阿拉斯加的鲟鱼正跃出水面；当你算数学的时候，南太平洋的海鸥掠过海岸；当你晚自习的时候，地球的极圈正五彩斑斓．但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人，和遇不到的风景，都终将在生命里出现……”这是某直播平台推销某本书时的台词，所推销书的成本为每套20元，当售价为每套40元时，每天可销售100套．为了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售10套．设每套辅导书的售价为x元，每天的销售量为y套．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)不忘公益初心，热心教育事业，公司决定从每天利润中捐出200元帮助云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到1800元，且要最大限度让利消费者，求此时每套书的售价为多少元？
13．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．
(1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）；
①；②；③
(2)若是“邻根方程”，求的值；
(3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由．
14．我们把形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为，
，；再如为十字分式方程，可化为，．应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则__________，_____．
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值．
15．关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围．
(2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
(3)若方程的两个实数根为，满足，求此时的值．/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第02讲 一元二次方程
知识点 1 一元二次方程的相关概念
一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项.
【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件.
一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.
判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代人这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根.
知识点 2 一元二次方程的解法
基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解.
1. 直接开平方法（基础）
例：形如（a≠0）的一元二次方程：
当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根；
当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根；
当＜0时，则方程无实数根.
2. 配方法（基础）
配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解.
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边；
2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；
4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解.
3. 公式法
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)；
2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；
3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：；
4）最后求出.
【补充说明】求根公式的使用条件：
4. 因式分解法
依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0.
步骤：
1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；
2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
4）求解.
【易错易混】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0.
知识点 3 一元二次方程根的判别式
根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即.
根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定.
1）方程有两个不相等的实根:；
2）方程有两个相等的实根：；
3）方程无实根.
【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根．
【易错易混】
1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程；
2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根.
知识点 4 一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝
【补充说明】
1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：.
2）当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为+＝， ＝.
3）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是.
4）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值.
知识点 5 一元二次方程的应用
用一元二次方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
一元二次方程的常见问题及数量关系：
常见问题 数量关系
变化率问题
利润问题 利润=售价-进价； 利润率=利润/进价×100% 总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量.
循环问题 单循环（如握手问题）：n（n－1） （其中n为人数） 双循环（如写信问题）：n（n－1） （其中n为人数）
面积问题
(a 2x)(b 2x) （x为空白部分的宽） (a x)(b x) （x为阴影部分的宽）
考点一：一元二次方程的相关概念
例1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、含有两个未知数，是二元一次方程，故本选项错误；
B、是一元一次方程，故本选项错误；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误．
故选：C．
【变式1-1】关于的方程是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的二次项系数不为零，最高次项的次数为，求解即可．
【详解】解：的方程是一元二次方程，
，且，
解得：，
故选：C．
【变式1-2】将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a，b，c是常数，且，分别方程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解．
【详解】解：方程化为一元二次方程的一般形式为：，则二次项系数，一次项系数和常数项分别是；
故选：B．
【变式1-3】已知是关于的一元二次方程（其中为实数）的一个非零实数根，若记为，则与的关系是 ．
【答案】
【分析】此题重点考查学生对一元二次方程的根的应用，把握非零实数根与题意是解题的关键．把k代入方程，然后把方程两边同时除以k得出，最后整体代入即可得出与的关系．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程（其中为实数）的一个非零实数根，
则，
把方程两边同时除以k，得：，
整理得：，
∴，
故答案为：．
【变式1-4】若m是方程 的一个根，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式的求值等知识点，先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后代入计算即可得解，熟练掌握一元二次方程的解并能灵活运用是解决此题的关键．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【详解】解：把代入方程得，
，
，
故答案为：．
考点二：一元二次方程的解的估算
例2．根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（ ）
3.1 3.2 3.3 3.4
0.5
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果．
【详解】解：由表格可知：当时，，当时，，
∴当时，必然存在一个，使，
∴（，，，为常数）一个解的范围是；
故选D．
【变式2-1】在估算一元二次方程的根时，小明列表如下：
x 1
由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根与二次函数关系．根据题意可知函数值正负之间即为一个根的范围．
【详解】解：∵，，
∴一元二次方程的一个根x的大致范围是：，
故选：C．
【变式2-2】如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查了方程的解，将关于的方程化为，由表格可知，当或时，，由此可得关于的方程的实数根，掌握方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：关于的方程可化为，
由表格可知，当或时，，
∴关于的方程的实数根是，，
故选：．
【变式2-3】如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ．
1.2 1.3 1.4 1.5
0.36 0.75
【答案】 1.3 1.4
【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间．
【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间，
即：．
故答案为：1.3，1.4．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
【变式2-4】小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程：
第一步：


所以
第二步：


所以 ．
(1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分．
(2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少
【答案】(1)见解析
(2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3
【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤．
（1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格；
（2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴补充表格如下：
第一步：

3
所以
第二步：


所以 ．
（2）解：由（1）可得：，
∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3．
考点三：一元二次方程的解法
例3．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法．
（）利用直接开平方法求解即可；
（）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
，
，
∴，；
（2）解：，
，
或，
∴，．
【变式3-1】解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，即，
∴，则或，
∴，；
（2）解：，即，
∴，即，
则或，
∴，．
【变式3-2】解方程：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)；
(2)，
(3)，．
【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，公式法，以及因式分解法．
（1）利用完全平方公式得，再直接开方，解一元一次方程即可；
（2）找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；
（3）方程右边利用平方差公式因式分解后，移项，再提取公因式进得因式分解，得到两个一元一次方程，解之即可．
【详解】（1）解：∵，
配方得，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
【变式3-3】解方程：
(1)；
(2)下面是小蒋同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
解方程：，
解：方程两边同除以，得第一步
移项，合并同类项，得第二步
系数化为，得第三步
任务：
小蒋的解法从第_____步开始出现错误；
请写出此题的正确解题过程．
【答案】(1)，
(2)一 ，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．
（1）运用因式分解法求解即可；
（2）在第一步中，方程两边同除以，需要，故第一步开始出现错误；
运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：在第一步中，方程两边同除以，需要，故小蒋的解法从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
，
移项，得，
因式分解，得，
或，
，．
【变式3-4】解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
（1）利用公式法解方程即可；
（2）把原方程变形后利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：
，，，
，
∴，
∴，
（2）解：
整理得：
配方得：
则
∴，
考点四：配方法的应用
例4．在实数范围内，代数式的值不可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查配方的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法得，逐个判断选项即可．
【详解】解：∵，
∴选项D不可能，
故选：D．
【变式4-1】已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是配方法、平方的非负性及三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握配方法在三角形的三边关系中的应用．
先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．
【详解】解：，
，
，
，，
，，
，，
三角形的三条边为，，，
，
，
又这个三角形的最大边为，
．
故选：．
【变式4-2】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．
例如：求代数式的最小值？解答过程如下：
解：．
，
当时，的值最小，最小值是0，
，
当时，的值最小，最小值是1，
的最小值为1．
根据上述方法，可求代数式当 时有最 （填“大”或“小”）值，为 ．
【答案】 3 小 3
【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴当时，代数式的最小值是3．
故答案为：3，小，3．
【变式4-3】我们知道：对于任何实数，
①，；②，．
请模仿上述方法解答：
(1)求证：对于任何实数，都有；
(2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是解本题的关系．
（1）根据非负数的性质解答；
（2）利用作差法比较大小即可．
【详解】（1）证明：，
；
（2）解：，
，
，．
．
【变式4-4】阅读材料，回答下列问题：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题．
【初步思考】观察下列式子：
（1）；
，
，
代数式的最小值为；
【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题：
（1）求的最小值；
【拓展提高】（2）求的最大值．
【答案】（1）3；（2）5
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据二次项与一次项的特点凑成完全平方式，利用平方数的非负性是解题的关键；
（1）根据，凑成完全平方式，得到，利用平方数的非负即可求得最小值；
（2）根据，凑成完全平方式，得到，利用平方数的非负即可求得最大值．
【详解】解：（1）
；
∵，
∴，
∴的最小值为3；
（2）
；
∵，
∴，
∴的最大值为5．
考点五：换元法解一元二次方程
例5．若关于的一元二次方程有一个根为2020，则方程必有根为（ ）
A．2020 B．2021 C．2019 D．2022
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键．设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，即可求出结论．
【详解】解：由得到，
设，
所以，
而关于x的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程有一根为．
故选：B．
【变式5-1】已知关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），那么方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．无法求解
【答案】B
【分析】本题主要考查了方程的解，整体思想的运用，已知方程的解，对比所求方程，两者在结构上是一致的，因此只需要把看作一个整体对应已知方程的解，即可求解．
【详解】解： ，，是方程的解，
令，，满足方程，即．
，，
方程的解是：，．
故选：B．
【变式5-2】已知方程的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】首先由方程可得，设，可得，再根据方程的解是，，可得，，据此即可解答．
【详解】解：由方程可得，
设，可得，
方程的解是，，
方程的解是，，
，，
解得，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．
【变式5-3】若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是 ．
【答案】，
【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程的解是，，可得出关于的方程的解为或，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的方程的解是，，
∴关于的方程的解为或，
解得：或，
∴关于y的方程的解为，．
故答案为：，．
【变式5-4】阅读下列材料：
为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．
利用以上学习到的方法解方程：．
【答案】，，，
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键：1、换元法：把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化；2、换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
利用换元法解一元二次方程即可．
【详解】解：将原方程变形为，
设，则，原方程化为，
解得：，，
当时，，解得：；
当时，，解得：或；
原方程的解为，，，．
考点六：根的判别式
例6．关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述，其中表述正确的是（ ）
A．当，，时，方程一定有两个不相等的实数根；
B．当，，时，方程一定没有实数根；
C．当，时，方程一定没有实数根；
D．当，，时，方程一定有实数根．
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此此题可根据“若方程，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根”进行排除选项即可．
【详解】解：A、由，可得：，，所以，则方程有两个相等的实数根，故不符合题意；
B、当时，满足，，，此时，即方程有两个不相等的实数根，故该选项错误，不符合题意；
C、当时，满足，，此时，即方程有两个不相等的实数根，故该选项错误，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即方程一定有实数根；故该选项正确，符合题意；
故选D．
【变式6-1】已知一元二次方程和．在探究两个方程的根的情况时，甲同学认为：若， 则两个方程都有两个不相等的实数根；乙同学认为：若m是其中一个方程的根， 则是另一个方程的根；以下对两位同学的看法判断正确的是（ ）
A．甲乙都正确 B．甲乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，公共根，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根的判别式是解题的关键．根据根的判别式，根的定义，计算判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴两个方程都有两个不相等的实数根，故甲同学的看法正确；
若是方程 的一个根，
∴，
∴，
∴是方程的一个根；
若是方程 的一个根，
∴，
∴，
∴是方程的一个根；
故乙同学的看法正确，
故选：A．
【变式6-2】关于x的一元二次方程x2－mx－1=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题以考查一元二次方程根的判别式知识点，解题的关键是通过计算判别式的值来判断根的情况．
根据一元二次方程根的判别式公式，确定方程中a，b，的值，代入公式计算，再根据与0的大小关系判断根的情况．
【详解】对于一元二次方程，其根的判别式，
在方程中，，
将a，b，的值代入判别式中，可得：
因为任何数的平方都大于等于0，即，所以，也就是．
当时，一元二次方程有两个不相等的实数根．所以方程有两个不相等的实数根，
故答案选：A．
【变式6-3】已知一次函数的图像不过第三象限，则方程的根的个数为 ．
【答案】1或2
【分析】本题考查了一次函数的图像，一元二次方程根的情况，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
由一次函数的图像不过第三象限，得，分类讨论，当时，方程为一元一次方程，有1个根；当时，方程为一元二次方程，根据判断即可．
【详解】解：∵一次函数的图像不过第三象限，
∴，
当时，，方程为一元一次方程，所以方程根的个数为1个；
当时，，由于，
∴，
∴方程有2个不相等的实数根，
综上，方程根的个数为1或2．
故答案为：1或2．
【变式6-4】已知方程，
(1)求证：对任意实数m，方程总有两个实数根；
(2)任给一个m值，使得方程有两个不同的正实数根，并求出方程的两根．
【答案】(1)证明见解析
(2)当时，（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了根的判别式和解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
（1）先根据根的判别式求出，再由判别式证明即可；
（2）把代入方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）已知方程，
其中，
，
对任意实数m，方程总有两个实数根．
（2）当时，
原式变为，
整理得，
则或，
解得．
考点七：根据一元二次方程根的情况求参数
例7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．3
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，求出，然后由得到，进而求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
解得，
∵，
∴，
∴m的值可以是0．
故选：A．
【变式7-1】若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程有两个实数根据得到，然后这个不等式即可求解．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得，
故选：B．
【变式7-2】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为： 1．
【变式7-3】定义新运算：，例如：．若方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了实数运算和理解能力．利用新运算的运算法则得到，再根据判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
【详解】解：根据运算法则，由得：，
，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为： ．
【变式7-5】关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若为正整数，求此方程的根．
【答案】(1)且
(2)，
【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，则二次项系数不为，且；
（2）由（1）可得的取值，解方程即可．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：且．
（2）解：为正整数，且，
．
原方程为，
解得，．
当为正整数时，该方程的根为或．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的个数与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键．
考点八：一元二次方程根与系数的关系
例8．关于的一元二次方程的两个根是，，则的值为（ ）
A．8 B． C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据根与系数关系定理，得，则，解答即可．
【详解】解：根据一元二次方程根与系数关系定理，得，
则．
故选：A．
【变式8-1】已知，是方程的两根，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．
利用一元二次方程根与系数的关系式得，，就可以算出结果．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴．
故选：C．
【变式8-2】已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，且，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系将已知条件转化为关于a的方程。
由一元二次方程根与系数的关系可知，再整体代入中，求出a的值．
【详解】解：∵是的两个实数根，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
【变式8-3】若一元二次方程的两根为m，n，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系、代数式求值，先将一元二次方程的解代入方程中得，再根据一元二次方程根与系数关系得到，，然后变形所求代数式，进而代值求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为m，n，
∴，，，即，
∴
，
故答案为：．
【变式8-4】法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、；那么两个根的关系为：，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．
定义：倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”．
(1)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值；
(2)若是“倍根方程”，求m与n的关系；
(3)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，请说明，
【答案】(1)
(2)或
(3)见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，新定义“倍根方程”的意义，理解“倍根方程”的意义和掌握根与系数的关系是解决问题的关键．
（1）设方程的两个根为，，由倍根方程的定义可知，利用根与系数的关系即可求得的值；
（2）根据倍根方程的定义即可找出，之间的关系；
（3）设与是方程的解，根据根与系数之间的关系消去即可得出答案．
【详解】（1）解：设方程的两个根为，，
∵一元二次方程是“倍根方程”，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵方程的一个根为2，
则另一个根为1或4，
当另一个根为1时，则，
∴，即：，
当另一个根为4时，则，
∴，即：；
（3）解：设与是方程的解，
，，
消去得：．
考点九：一元二次方程的应用1
例9．实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）．
素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建．
素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口．
任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？
任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】任务1：；任务2：不能，见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙最长可利用，舍掉不符合题意的数据．
任务1：根据可以砌长的墙的材料，即总长度是，，则，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可；
任务2：利用根的判别式进行判断即可．
【详解】任务1：解：设的长为米，
由题意，得，
解得，（舍去），
所以，
任务2：解：由题意得，
方程无解，
不能围成的长方形菜园．
【变式9-1】如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向运动，同时点从点出发以每秒的速度也向运动，一个点到达点则另一个点也停止运动，设运动时间为秒．
(1)用含的式子表示、的长，并指出的取值范围；
(2)连接，为何值时，的面积为．
【答案】(1)，，
(2)1
【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键．
（1）根据各数量之间的关系用含的代数式表示出各线段的长度；
（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
（秒）,
；
（2）解：
解得，（舍）
∴当为1秒时，的面积为．
【变式9-2】2024年7月，受台风影响，我市某地遭受特大暴雨，受灾严重．我市迅速启动救援，拟建一批临时安置房．如图所示，现有一面长为米的墙，欲利用该墙搭建一间矩形临时安置房．已知目前有可搭建总长为米围墙的建筑材料（损耗忽略不计）．设边长为x米．
(1)用含x的代数式表示的长；
(2)矩形安置房总占地面积可能为平方米吗？请说明理由．
【答案】(1)米
(2)矩形安置房总占地面积能为288平方米此时，的长为米．
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练运用矩形的面积公式建立方程是解题的关键．
（1）利用BC边长可建围墙的总长边长，可用含的代数式表示的长；
（2）根据矩形安置房总占地面积能为288平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合墙长为米，即可确定结论．
【详解】（1）解：∵可建围墙的总长为米，且边长为米，
∴边长为：米；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，符合题意．
答：矩形安置房总占地面积能为288平方米此时，的长为米．
【变式9-3】如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位）
(1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m；
(2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽；
(3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键．
（1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长；
（2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米；
（3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题．
【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口，
不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形，
（），
故答案为：；
（2）解：由（1）可得，车棚面积为：
解得：或，
又距院墙7米处，规划有机动车停车位，
，将代入得：，满足题干条件，
自行车车棚的宽为：，
自行车车棚的长为：；
（3）解：不能，理由如下：
要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得：
，
整理得：，
，
故此方程没有实数根，
不能围成面积为的自行车车棚．
【变式9-4】如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为米和米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门，设长米．
(1)求的长度（用含的代数式表示，并求出的取值范围）．
(2)若饲养场的面积为平方米，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用、一元一次不等组的求解，根据实际情境确定变量的取值范围，对方程解合理取舍是解题的关键．
（1）由得，即可得出答案；
（2）根据矩形的面积等于长宽建立方程，求解并检验即可．
【详解】（1）解：由图可知，,
长米，
米，
，
，且，
．
（2）解：饲养场的面积为平方米，
则，
即，
解得，
，
舍去，
．
考点十：一元二次方程的应用2
例10．2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
(1)若每个模型降价5元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
(2)在每个模型盈利不超过25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
【答案】(1)30个，1050元
(2)20元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键．
（1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润；
（2）设每个模型降价元，则每件利润元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程，解方程，再进行取舍即可．
【详解】（1）解：（个）；
（元）．
答：平均每天可以售出30个模型，此时每天获利1050元；
（2）设每个模型应降价元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又每个模型盈利不超过25元，
．
答：每个模型应降价20元．
【变式10-1】某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱元，若按每箱元出售，则每天可销售箱．现准备提价销售，经市场调研后发现：每箱每提价元，每天的销量就会减少箱．设该水果售价为每箱元．
(1)用含的代数式表示提价后平均每天的销售量为______箱；（化为最简形式）
(2)既要考虑经销商的利润，保证经销商每天可获得元利润，又要让利于消费者，则这批水果应按每箱多少元销售？
【答案】(1)
(2)应按每箱元销售
【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，找出等量关系列一元二次方程是解题的关键；
（1）利用平均每天的销售量提高的价格，即可用含的代数式表示出提价后平均每天的销售量；
（2）根据每天的销售利润每箱的销售利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，即可确定的值．
【详解】（1）解：由题意得：（箱），
故答案为：；
（2）解：依题意得，，
解得，，
∵要让利于消费者，
∴．
答：若超市销售该水果每天想要获得元的利润，则应按每箱元销售．
【变式10-2】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若某天该商品每件降价5元，当天可获利多少元？
(2)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【答案】(1)1800元
(2)每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元
【分析】（1）根据“盈利=单件利润销售数量”即可得出结论；
（2）根据“盈利=单件利润销售数量”即可列出关于 x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．
本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解： （元）
答：若某天该商品每件降价5元，当天可获利1800元．
（2）由题意得：
化简得：，即，
解得：
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
【变式10-3】2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红．
(1)据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？
(2)市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【答案】(1)
(2)20元
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．
（1）设月平均增长率为x，根据题意，得出6月份的销售量8月份销售量，列出方程求解即可；
（2）设售价降低y元，根据总利润=单件利润×销售量，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设月平均增长率为x，根据题意得：
，
解得：（舍去），
答：月平均增长率为．
（2）解：设售价降低y元，
，
解得：，
当时，，
当时，，
∵，
∴为了尽量减少库存，售价应降低20元．
【变式10-4】为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题．
素材1 某款中央空调每台进价为20000元．
素材2 团购方案：团购2台时，则享受团购价30000元/台，若团购数量每增加1台，则每台再降500元． 规定：一个团的团购数量不超过11台．
问题解决 问题1：当团购3台时，求出每台空调的团购价． 问题2：设团购数量增加x台，请用含x的代数式表示每台空调的团购价． 问题3：当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为58500元．
【答案】问题1：29500元；问题2：元；问题3：当一个团的团购数量为9台时，销售部的利润为58500元．
【分析】本题主要考查列代数式和一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的相等关系．
问题1：根据题意原售价基础上减去500元即可；
问题2：原售价减去每台下降的部分即可得出答案；
问题3：根据总利润每台利润销售数量列方程求解即可．
【详解】解：问题1：当团购3台时，每台空调的团购价为（元）；
问题2：设团购数量增加台，表示每台空调的团购价为（元）；
问题3：根据题意，得：，
整理，得：，
解得（舍去），，
答：当一个团的团购数量为9台时，销售部的利润为58500元．
拓展训练一：整体代入求一元二次方程的解
1．关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用换元法解方程是解题的关键．
设，则方程可化为，，是方程的解；方程可化为，得或，从而求出的值即可．
【详解】解：设，则方程可化为，
∴，是方程的解，
则方程可化为，
∴或，即或，
∴或，即，．
故选：．
2．已知实数满足，则的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，由此即可得．
【详解】解：设，
∴，
∴，
∵，即，
∴，即，
解得或，
∴当，即时，此时方程无解，
∴，
故选：B．
3．若关于x的一元二次方程的解是，，则的解是 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，方程关于x的一元二次方程可以看做是关于的一元二次方程，根据题意可得该方程的解满足或，据此可得答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的解是，，
∴关于x的一元二次方程，即的解满足或，
∴或，
故答案为：或．
4．为了解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，
当时，，∴，∴；
当时，，∴，∴；
故原方程的解为．
以上方法叫换元法，利用换元法可以达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照上述方法求出方程的解为 ．
【答案】，，．
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是关键．
设，把方程转为，求出，再代入，求出的值．
【详解】解：，
，
设，原方程可化为：，
解得：，，
当时，，
，，
当时，，
，
原方程的解为：，，．
5．阅读下列材料：
已知实数、满足，试求的值．
解：设，则原方程可化为，即；
解得．
，
．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题：
(1)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ．
(2)已知实数、满足，求的值．
(3)解方程．
【答案】(1)，，，
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元二次方程，多项式的乘法，平方差公式与求方程的解；
（1）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解．
（2）设．由已知等式得出，结合可得答案；
（3）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案．
【详解】（1）解：设最小数为，则，
即：，
设，则，
，，
为正整数，
，
，舍去，
这四个整数为，，，．
故答案为：，，，．
（2）设．
，
，
，
，
，
；
（3），
，
设，则，
，
或，
，，
或，
∴．
拓展训练二：一元二次方程的特殊解法
1．我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如，
①换元法求解四次方程：
设，则原方程可变为，解得，，
当时，即，∴；
当时，即，∴；
∴原方程有四个根：，，，．
②因式分解法求解三次方程：
将其变形为；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴原方程有三个根：，，
(1)仿照以上方法解方程：
①；
②；
(2)已知：，且，则的值为________．
【答案】(1)①，．②，，
(2)
【分析】本题考查了解高次方程化一元二次方程，换元法解一元二次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键．
（1）①仿照题中所给方法，换元法求解四次方程即可．
②仿照题中所给方法，因式分解法求解三次方程即可．
（2）先公式法求解，根据题意对所给代数式进行“降次”，再将代入原式化简，得，再代入即可求解．
【详解】（1）解：①设，则原方程可变为，
解得，，
当时，即，
∴；
当时，即，
∴方程无解；
∴综上可得原方程有两个根：，．
②将变形为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴原方程有三个根：，，．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵
，
，
，
，
将代入上式可得，
故答案为：．
2．解方程．
【答案】，，，．
【分析】本题考查了解高次方程和一元二次方程，根据题意可知，则，转化为，设，则，求出或，即或，然后转化为一元二次方程或，最后求解检验即可，熟练掌握知识点的应用及换元思想是解题的关键．
【详解】解：根据题意可知，
∴，
，
，
令，
∴，
整理得：，
解得：或，即或，
整理得：或，
解得：，，，，
经检验：，，，是方程的解，
∴，，，．
3．解方程：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)，；
(3)，，，．
【分析】（1）移项后两边平方得出，求出，再方程两边平方得出，求出，再进行检验即可；
（2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；
（3）令，则，代入原方程，得，所以，，然后分两种情况分别解方程即可．
【详解】（1）
解：移项得，，
两边平方得，，
合并同类项得，，
∴，
两边平方得，，
整理得，，
∴，
解得：，，
经检验，，不是原方程的解，
∴原方程的解为：．
（2）
解：方程两边同时乘以得，
整理得，，
解得，，
∴，，
经检验，，时，，
∴原方程的根为：，．
（3）
解：
令，代入原方程得，，
∴，
解得：，，
当时，，即： ，
∴，解得：，，
当时，，即： ，
∴，解得：，，
经检验都为原方程的解
∴原方程的解为：，，，．
【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键；还考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根．
4．阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可；
（2）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可．
【详解】（1）设，
则，
可化为：，
即，
故答案为：；
（2）设，则，
原方程可化为：，
整理得，
，
或，
或，
当时，，
解得，
当时，无解，
检验，当时，左边右边，
是原方程的解，
故原方程的解为：．
【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．
5．解方程：．
【答案】
【分析】移项得出＝1+，两边平方得出3x﹣5＝1+x+2+2，整理后得出2＝2x﹣8，再两边平方得出4（x+2）＝（2x﹣8）2，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：，
∴＝1+，
两边平方得：3x﹣5＝1+x+2+2，
整理得：2＝2x﹣8，
两边平方，得4（x+2）＝（2x﹣8）2，
整理，得x2﹣9x+14＝0，
解得：x＝2或7，
经检验x＝2不是原方程的解，x＝7是原方程的解，
所以原方程的解是x＝7．
【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
拓展训练三：一元二次方程根与系数的关系综合
1．阅读下列范例，按要求解答问题．
例：已知实数、、满足，，求、、的值．
解法1：由已知得，①．②
将①代入②，整理得．③
由①、③可知，、是关于的方程④的两个实数根．
，即．而，，，
将代入④，得．，即．，．
解法2：，、设，．①
，．②
将①代入②，得．
整理，得，即．，．
将、的值同时代入①，得，．，．
以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数、满足，，则、是关于的一元二次方程的两个实数根，然后利用判别式求解．
以上解法2是采用均值换元解决问题。若实数、满足，则可设，，一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．
下面给出两个问题，解答其中任意一题：
(1)用另一种方法解答范例中的问题．
(2)选用范例中的一种方法解答下列问题：
已知实数、、满足，，求证：．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】此题考查了利用换元法根据根与系数的关系构造一元二次方程，还涉及非负数的性质等内容，解决本题的关键是掌握用换元法构造一元二次方程．
（1）此题可以利用方程组的知识建立起与之间的关系，根据非负数的性质解答；
（2）利用换元法构造一元二次方程，然后利用根与系数的关系解答．
【详解】（1）解：由已知等式消去，得，
即，
，
故，，
于是由，得，
故，；
（2）证明：由已知得①
②
将①代入②得，
③
由①③可知，、是关于的方程④的两个实数根．
，
化简得，
而，
．
将代入④，
解得，
，
．
2．类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．
学习再现：
设一元二次方程的两个根分别为和，
那么，
比较系数得，．
类比推广：
（）设的三个根分别为，，，求的值．
问题解决：
（）若的三个根分别为，，，则的值是______．
拓展提升：
（）已知实数满足，且，求正数的最小值．
【答案】（）；（）；（）
【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解；
（）结合（）的结果，再根据即可求解；
（）由题意可得，，进而得是方程的两根，由和可得，即得，进而可得，据此即可求解；
本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：（）根据学习材料提示得，
，
，
，
∴，，
∴的值为；
（）∵的三个根分别为，，，
又∵，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（）∵，，
∴，，
∵是方程的两根，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴正数的最小值为．
3．已知关于x的一元二次方程有两个正实数根，，且．
(1)求k关于n的表达式；
(2)若n为正整数，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)，且（n为正整数）
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程：
（1）根据根与系数的关系得到 ，，再由得到，，则，据此可得答案；
（2）根据，结合n为正整数进行求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个正实数根，，
∴ ，，
∵，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵n为正整数，
∴，
∴，
∴，且（n为正整数）．
4．关于x的一元二次方程…①和…②．
(1)若，且方程①有两实根，，方程②有两实根，，求代数式的最小值；
(2)是否存在实数a，使得方程①和②恰有一个公共的实数根？若存在，请求出实数a的值；若不存在请说明理由．
【答案】(1)-3
(2)存在，值为或12
【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式．
（1）根据根与系数的关系得，，，，则，再根据两个方程都有实根，得的取值范围，即可求出最小值；
（2）设公共根为，代入原方程得到2个方程，将2个方程适当处理，再两个方程左右相比，消去得方程，即，解得或2，再分情况讨论，最后得到满足条件的值为或12．
【详解】（1）方程①有两实根，，方程②有两实根，，
，，，，
，
一元二次方程①和②都有两个实根且，
，
解得，
当时，有最小值为，
代数式的最小值为．
（2）假设存在实数，使得方程①和②恰有一个公共的实数根，设公共解为，
则，，
∴由可得，
代入得，
整理得方程，
即，
解得或2，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
满足条件的值为或12．
5．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．
(1)直接写出方程的衍生点的坐标为______；
(2)已知关于的方程．
①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②求该方程衍生点的坐标；
③已知不论为何值，关于的方程的 生点始终在直线上，求b，c的值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②；③
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．
（1）解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；
（2）①根据判别式即可判断方程的根的情况；②解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；③将变形，可得过定点，根据题意方程的两个根为，根据根与系数的关系即可求解．
【详解】（1）解：
∴
∴该方程的衍生点M的坐标为
（2）①∵方程为，
∴ ，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②
∴，
∴该方程的衍生点M的坐标为；
③解∶直线，过定点，
∴两个根为，
∴，
∴．
拓展训练四：一元二次方程的应用综合
1．根据以下素材，探索完成任务
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示
素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板．
素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒
目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （）
利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究．
目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？
目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？
【答案】（1）40；（2）；（3）
【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键．
（1）由储物位置的底面尺寸判断即可；
（2）设裁去小长方形的宽为，长为，列方程求解，再计算体积即可；
（3）根据面积公式进行计算即可．
【详解】解：（1）由题意储物位置的底面尺寸如图2可得；；
故答案为：40；
（2）设裁去小长方形的宽为，长为，
则，
解得：（舍去），；
则体积为；
（3）由题意可得阴影部分的长为，
储物盒的底面长为，
则需要裁出的正方形为图中③，④两块，
裁出的正方形的边长为，
底面的宽为，
．
答：储物盒的底面积为．
2．如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)两平行线与之间的距离是__________．
(2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值．
(3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】此题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）过点作于点，由勾股定理可得出答案；
（2）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案；
（3）分两种情况，列出的方程可得出答案．
【详解】（1）过点作于点，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2）在中，
，，
，
，
Ⅰ．当四边形为平行四边形时，，
，
，
Ⅱ．当四边形为平行四边形时，，
，
，
综上所述当点、与 的某两个顶点围成一个平行四边形时，或；
（3）Ⅰ．当在边上时，边上的高是，
，
解得， 舍去），
Ⅱ．当在边上时，
，
解得．
综上所述或时，平行四边形的面积为．
3．在一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实数根的个数，在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当取何值时，取最小值，最小值为多少？
解答：
．
，即，
因此的最小值为，
此时，解得，符合题意
当时，
(1)已知函数，的最大值为多少？
(2)已知函数，的最小值为多少？
(3)如图，已知，，是线段上一点，，，，当为何值时，取最小值，最小值是多少？

【答案】(1)
(2)
(3)当时，取最小值，最小值是
【分析】（1）仿照题目所给的解题方法，将二次函数变换为一元二次方程，令求解即可；
（2）将变换为一元二次方程，令求解即可；
（3）设，则，勾股定理求得，再利用一元二次方程的计算求值即可．
【详解】（1）解：∵，
即，
，
解得，
即的最大值是；
（2）解：∵，
，
即，
，
解得：，即的最小值是，
时，，
解得：（经检验符合题意），
∴的最小值是；
（3）解：设，则，
，
，
∴，
设，即，
，
，
解得，
∴，
将代入方程得：，
解得（经检验符合题意），
∴当时，取最小值，最小值是．
【点睛】本题考查了一元二次方程方程根的判别式、勾股定理，读懂题意、利用求解是解题的关键．
4．如何利用闲置纸板箱制作储物盒
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材 如图，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示．
素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为长方形纸板．
长方形纸板① 长方形纸板②

小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒．
长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式
裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 将纸片四个角裁去个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．
目标 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，则长方形纸板宽为______．
目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究．
初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积．
储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．
【答案】目标1：，目标2：（1）储物盒的容积为立方厘米（2）玩具机械狗不能完全放入该储物
【分析】（1）由制作过程知小正方形的边长为，，再利用面积公式即可得出收纳盒的高为，进而即可得出答案；
（2）由盒子的底面积为得出底面边长，然后求出收纳盒的高为，与玩具机械狗的高比较大小，进而即可得出答案．
【详解】（1）解：储物区域的长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域，
则图中的四角裁去小正方形的边长为，
则收纳盒的宽小正方形的边长，
由图知，设上下宽为，左右宽为，
两个长方形之间的部分为，
，，
则，
所以收纳盒的高为，体积为，
答：储物盒的容积为立方厘米；

设盒子的另一底边长为，
盒子的底面积为，
，
，
收纳盒的高为，
此时，之间还有一段空隙，在此种情况下
，
玩具机械狗不能完全放入该储物；
当，之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为
玩具机械狗也不能完全放入该储物；
综上所述：玩具机械狗不能完全放入该储物．
答：玩具机械狗不能完全放入该储物．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，合理将实际问题转化成方程组是解决此题的关键．
5．如图，在中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒的速度沿匀速运动，当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当时，直接写出P，Q两点间的距离．
(2)是否存在t，使得的面积是面积的？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)当为直角三角形时，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)存在，或
(3)t的取值范围为：或
【分析】（1）由勾股定理可求出答案；
（2）由题意知：，由三角形面积公式可得出方程，解方程求出t的值即可；
（3）分三种情况，①当时，②当，③当时，画出图形，列出方程或不等式求解即可．
【详解】（1）由题意知：，
∵，
∴；
（2）存在，
当点Q在上，
由题意知：，
∴，
又，
∴，
解得：或，
∵时，Q点在上，经验证，不能满足的面积是面积的，
当时，点Q在上，
，
解得（舍去），
综上可得，或；
（3）解：①当时，
，
解得：；
②当，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得：；
③当时，如图，
这种情况是不存在；
综上，t的取值范围为：或．
【点睛】本题考查三角形综合题，考查了勾股定理三角形的面积，直角三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题．
拓展训练五：一元二次方程的新定义问题
1．若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论：
①如果是的倒方程的一个解，则．
②一元二次方程与它的倒方程有公共解．
③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解．
④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．
上述结论正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及根的判别式．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程与它的倒方程有公共解，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断．
【详解】解：①的倒方程为，
把代入方程得，
解得，故①错误；
②一元二次方程的倒方程为，则联立得：，
两式相减得到，
则，
由于，那么，
解得：，故有公共解，故②正确；
③若一元二次方程无解，则，
而倒方程为，那么根的判别式也为，
故它的倒方程也无解，故③正确；
④当时，一元二次方程的根的判别式，
也为一元二次方程，此方程的根的判别式，
所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意；
故选：C．
2．对实数，，定义运算“”为：．已知关于的方程，若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ：若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了新运算、一元二次方程根的判别式．解决本题的关键是根据新运算规定的运算规律把等式转化为一般的一元二次方程，然后再利用一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】解：，
，
又，
，
即，
若该方程有两个相等的实数根，则，
由得：，
由得：或，
；
若该方程有两个不等负根，则，
解得：．
故答案为：，．
3．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)根据上述定义，是“______倍根方程”；
(2)若关于x的方程是“三倍根方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）；
(4)由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到的最小值是______．（参考公式：，x、y均为正数）
【答案】(1)四
(2)
(3)
(4)1
【分析】本题考查一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“n倍根方程”的定义．
（1）先解方程，再根据“n倍根方程”的定义即可得出结论；
（2）根据三倍根方程的定义以及根与系数的关系列方程组解答即可；
（3）设与是方程的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案；
（4）根据（3）中发现的b、c之间的数量关系，借助参考公式即可求出答案；
【详解】（1）解：，
，
解得和，
∵，
∴一元二次方程是“四倍根方程”；
故答案为：四；
（2）解：由题意可设：与是方程的解，
∴，
解得：，
∴m的值为；
（3）解：∵关于x的方程是“n倍根方程”，
∴可设与是方程的解，
∴，
消去得：，
（4）解：由参考公式：（x、y均为正数）可得，
∴，
故答案为：1．
4．阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，；
材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)若实数a，b满足：，则_______，_______；
(2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值；
(3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键：
（1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可；
（3）构造一元二次方程，得到是它的两个实数根，得到，将进行配方，求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得a，b是方程的两个根，
∴；
故答案为：；
（2）由题意，得：，，
∴，
∴，
当时，，解得：，
∴，
∴，
∴；
当时，，解得：，
∴，
∴，
∴；
综上：或；
（3）∵，
∴，
又∵，
∴是一元二次方程的两个实数根，，
∴，
∴
；
∵，
∴，
∴，
∴；
∴．
5．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
(1)“全整根方程”的“最值码”是______．
(2)若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值．
(3)若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，正确理解全整根方程、全整根伴侣方程、最值码的定义是解题的关键．
（1）根据“最值码”定义求解即可．
（2）根据定义可得，进而可得，解方程即可得到答案．
（3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值．
【详解】（1）解：在关于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程” 的“最值码”是．
故答案为：．
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，
解得；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
故的值为2．
1．若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，完全平方公式，熟练掌握定理和灵活进行公式变形是解题的关键．
根据根与系数的关系得出，，再根据，代入求解即可求出答案．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：
故选：A．
2．某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年月份的每平方米元下降到月份的每平方米元，且今年房价每月的下降率保持一致，则每月的下降率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每月的下降率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设每月的下降率为，
由题意得，，
解得，（不合题意，舍去），
∴每月的下降率为，
故选：．
3．已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用一元二方程的求根公式求出两根，进而用含的代数式表示出，即可得出结论．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
，
由求根公式，得，
∴或，
∵，，
∴，，
∴，
解得，
∴；
故选B．
4．已知方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查根的定义及根与系数的关系由题意得，，将代数式变形后再代入求解即可．
【详解】解：∵方程的两根分别为、，
∴，，，
∴，
∴
．
故选：A．
5．关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（ ）
A．1或5 B．1或 C． D．5
【答案】C
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据根与系数的关系得到，，整理代入，可求得的值，再根据判别式得出即可求解．
【详解】解：∵，是方程的两实根，
∴，，
，
∴，解得：，
∵，
∴，
整理得，
解得或（舍去），
∴；
故选：C．
6．已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，已知方程的一个根就将这个根代入方程求参数的值是解题关键．
根据题意将代入方程可得关于的方程，解方程即可求出的值．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴
解得：．
故答案为：．
7．边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程的两根，则该直角三角形的斜边长为 ．
【答案】13或10
【分析】本题考查的是解一元二次方程，完全平方公式等知识点，掌握根的判别式是解题的关键．
根据直角三角形的直角边是整数，得到方程的根是整数，因此根的判别式为平方数，然后对一元二次方程根的判别式进行讨论求出值，可得到直角三角形斜边的长．
【详解】解：设直角三角形两直角边长为，则，
∵方程的根为整数，
∴为完全平方数，
设
整理得，
①当时，
∴
解得（舍去）；
②当时，
∴
解得，
∴直角三角形的斜边长为；
②当时，
∴
解得，
∴直角三角形的斜边长为；
综上，该直角三角形的斜边长为13或10.
故答案为：13或10.
8．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示：
二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法
（说明：a，b，m，n，，均为常数）
有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①④/④①
【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案．
【详解】解：∵，
，
，
，
∴，
①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故正确；
②∵，
∴，
解得：，
∴；故错误；
③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴；故错误；
④当，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，所以c的值不可能是，说法正确；
综上所述：正确的结论有①④；
故答案为①④．
9．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
【答案】4051
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
将代入原方程，再结合根与系数的关系即可解决问题．
【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
则
，
故答案为：4051．
10．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令，则y的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解，熟知对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根是解题的关键．先根据一元二次方程根的判别式得到，再根据一元二次方程解的定义求出，进而推出，由此求解即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
此方程的一个实数根为b，
，
，
，
，
，即
，
故答案为：
11．解一元二次方程时，两位同学的解法如下：
甲同学： 或 ∴或 乙同学： ，， ∵ ∴此方程无实数根
(1)你认为他们的解决是否正确？直接写出判断结果．
甲同学的解法______，乙同学的解法______．（填“正确”或者“不正确”）
(2)请选择合适的方法解一元二次方程．
【答案】(1)不正确；不正确
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）甲同学解题过程中，方程右边的结果不为0，因此并不能得到或；乙同学解题过程中，，而不是；
（2）先把原方程化为一般式，再利用十字相乘法把方程左边分解因式，进而解方程即可．
【详解】（1）解：甲、乙两个同学的解法都不正确，理由如下：
甲同学的解题过程中，方程左边分解因式正确，但是方程右边的结果不为0，因此并不能得到或；
乙同学的解题过程中，而不是；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
12．“当你背单词的时候，阿拉斯加的鲟鱼正跃出水面；当你算数学的时候，南太平洋的海鸥掠过海岸；当你晚自习的时候，地球的极圈正五彩斑斓．但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人，和遇不到的风景，都终将在生命里出现……”这是某直播平台推销某本书时的台词，所推销书的成本为每套20元，当售价为每套40元时，每天可销售100套．为了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售10套．设每套辅导书的售价为x元，每天的销售量为y套．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)不忘公益初心，热心教育事业，公司决定从每天利润中捐出200元帮助云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到1800元，且要最大限度让利消费者，求此时每套书的售价为多少元？
【答案】(1)
(2)此时每套辅导书的售价为30元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．
（1）根据题意列出y关于x的一次函数即可．
（2）根据总利润为列出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：，
与之间的函数关系式为：；
（2）由题意可得：
整理得：，
解得：，，
要最大限度让利消费者，
，
答：此时每套辅导书的售价为30元．
13．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．
(1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）；
①；②；③
(2)若是“邻根方程”，求的值；
(3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)③
(2)或
(3)，见解析
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“邻根方程”的定义是解题关键．
（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可；
（3）设方程的两个根、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系即可得到，的数量关系．
【详解】（1）解：①解方程得：，，
，
方程不是“邻根方程”；
②解方程得：，
，
方程不是“邻根方程”；
③解方程得：，，
，
方程是“邻根方程”．
故答案为：③．
（2）解：解方程得：，，
该方程是“邻根方程”，
或，
解得：或．
（3）解：设的两个根为，，
由韦达定理得，．
∵为“邻根方程”，
∴，可得，
即，
代入得．
14．我们把形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为，
，；再如为十字分式方程，可化为，．应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则__________，_____．
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值．
【答案】(1)1；3
(2)
(3)2025
【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的定义、分式方程的解．
（1）依据题意，由，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由十字分式方程的两个解分别为，，从而，，再将分式变形为，代入计算可以得解；
（3）由，变形得，再根据十字分式方程的定义得，，则，，进而计算可以得解．
【详解】（1）解：由题意，∵，
∴，，
故答案为：1；3；
（2）解：∵十字分式方程的两个解分别为，，
∴，，
又∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
又∵关于x的十字分式方程的两个解分别为为，（，），
∴，，
∴，，
∴
．
15．关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围．
(2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
(3)若方程的两个实数根为，满足，求此时的值．
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据，解不等式即可得出答案；
（2）求出的值为6，解方程求出，代入方程求出的值即可；
（3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合求出的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：∵是符合条件的最大整数，
∴的值为6，
∴方程变形为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，
解得：，
∵，
∴；
当时，，
解得：，
∴的值为．
（3）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．

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