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福建省 2025 年中考数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.下列实数中，最小的数是
A. -1 B. 0 C. D. 2
2.中国古算诗词歌赋较多.古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式.下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是
3.若 在实数范围内有意义，则实数x的值可以是
A.-2 B.-1 C.0 D.2
4.福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1.云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌.图2为其示意图，它的主视图是
5.不等式 的解集在数轴上表示正确的是
6.在分别写有-1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是
A B C. D
7.某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上,∠BAC=∠EDF=90°,∠B=45°,∠DEF=60°.当AD∥BC时,∠ADE的大小为
A.5° B.15° C.25° D.35°
8.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程
A. B.
C. x(5-x)=6 D.
9.如图, PA与⊙O 相切于点A, PO 的延长线交⊙O 于点 C. AB∥PC,且交⊙O 于点 B.若 则 的大小为
A.30° B.
C.60° D.
10.已知点 在抛物线 上，若 ，则下列判断正确的是
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计.为方便记录，他将体重增加1.5kg 记作 ，那么体重减少1 kg应记作 .
12.某房梁如图所示,立柱AD⊥BC, E,F分别是斜梁AB,AC的中点.若AB=AC=8m,则DE的长为 m.
13.若反比例函数 的图象过点( ，则常数
14.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O 且与边AB, CD 分别相交于点 E,F.若 则△AOE 与△DOF 的面积之和为 .
15.某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩(百分制)按4：3：2：1的比例计算最终成绩.参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表：
项目 员工 听 说 读 写 最终成绩
甲 A 70 80 90 82
乙 B 90 80 70 82
由以上信息,可以判断A,B的大小关系是A B.(填“>”“=”或“＜”)
16.弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的.胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力 F的大小与弹簧伸长(或压缩)的长度x成正比，即F=kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数.如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克.
三、解答题：本题共9 小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(8分)
计算：
18.(8分)
如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上， 求证：
19.(8分)
先化简，再求值： 其中
20.(8分)
甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员.以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息.
信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩(单位：分)
日期 队员 2月10日 2月 21 日 3月5日 3月14 日 3月25 日 4月7日 4月17 日 4月27 日 5月8日 5月 20日
甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96
乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85
其中，甲、乙成绩的平均数分别是 方差分别是
信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线(单位：分)
年份 2020 2021 2022 2023 2024
获奖分数线 90 89 90 89 90
试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：
(1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；
(2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适；
(3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适 为什么
21.(8分)
如图， 是等边三角形，D是AB的中点， ,垂足为 C,EF 是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A,BE交CD 于点 G.
(1)求 的大小；
(2)求证: 是等边三角形.
22.(10分)
如图,矩形ABCD中,
(1)求作正方形EFGH,使得点 E,G分别落在边AD, BC上,点 F,H落在BD上；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)若 ，求(1)中所作的正方形的边长.
23.(10分)
在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过点A(1,t), B(2,t).
(1)求
(2)已知二次函数 的最大值为
(i)求该二次函数的表达式；
(ii)若 为该二次函数图象上的不同两点，且
求证：
24.(12分)
阅读材料，回答问题.
主题 两个正数的积与商的位数探究
提 出 问 题 小明是一位爱思考的小学生.一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“46×2=92;35×21=735;663×11=7293;186×362=67332”,猜想:m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个( 位的正整数.
分析 探究 问题1 小明的猜想是否正确 若正确，请给予证明；否则，请举出反例.
推广 延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情.为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为 则称这个数的位数是 n+1，数字是a. 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题. 命题:若正数A,B,C的位数分别为m,n,p,数字分别为a,b,c,且A×B=C,则必有c≥a且c≥b,或c＜a且c＜b.并且,当( 且 时，p = m+n-1;当c＜a且c＜b时,p =m+n. 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为 其中a，b，c均为正数. 由A×B=C,得 即 ( * ) 当c≥a且c≥b时, 所以 又 所以 由( *)知, 所以 当c≥a且c＜b时, ，所以 所以 与(*)矛盾，不合题意； 当c＜a且c≥b时,_____________①______________; 当c＜a且c＜b时,_____________②__________ 综上所述，命题成立.
拓展 迁移 问题2 若正数A，B的位数分别为m，n，那么 的位数是多少 证明你的结论.
(1)解决问题1;
(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；
(3)解决问题2.
25.(14分)
如图,四边形ABCD内接于⊙O,AD,BC的延长线相交于点E,AC,BD相交于点 F. G是AB上一点, GD交AC于点 H,且.
(1)求证:
(2)求证:
(3)若 求 的周长.
福建省 2025 年初中毕业及高中阶段各类学校招生考试
数学答案
一、选择题：本题考查基础知识与基本技能。每小题4分，满分40分。
1. A 2. D 3. D 4. A 5. C
6. B 7. B 8. C 9. C 10. A
二、填空题：本题考查基础知识与基本技能。每小题4分，满分24分。
11.-1 12.4 13.-2
14.1 15.> 16.0.8
三、解答题：本题共9小题，共86分。
17.本小题考查零指数幂、绝对值、算术平方根、二次根式的运算等基础知识，考查运算能力.满分8分.
解：
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考.
18.本小题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等.满分8分.
证明:∵∠CBE=∠CDF,∠ABC +∠CBE=180°,∠ADC +∠CDF=180°,
∴∠ABC=∠ADC.
在△ABC和△ADC中,
∴AB=AD.
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考.
19.本小题考查分式的基本性质、整式的运算、因式分解、二次根式的运算等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化思想等.满分8分.
解：
当 时，
原式
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考.
20.本小题考查平均数、方差、用频率估计概率等基础知识，考查运算能力、数据观念、模型观念、应用意识与创新意识，考查统计与概率思想等.满分8分.
解： 即
因为
所以
所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定.
(2)由已知得，获奖分数线的平均数为
从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适.
(3)选甲更合适.理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适.
注：本题第(3)问为开放性试题，无论选甲或选乙，只要言之有理即可.
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考.
21.本小题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等.满分8分.
解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∵D 是AB 的中点,
∵CE⊥BC,
∴∠BCE=90°,
(2)由平移可知:CD∥EF,
∴∠EAC=∠DCA=30°,
又∵∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°,
∴∠EAC=∠ECA,
∴AE=CE,∠AEC=120°,
又∵AB=CB,
∴BE 垂直平分AC,
由(1)知,∠GCE=60°,
∴∠EGC=60°,
∴∠GEC=∠GCE=∠EGC,
∴△CEG是等边三角形.
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考.
22.本小题考查尺规作图、矩形的性质、平行线分线段成比例、线段垂直平分线的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等基础知识，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、函数与方程思想等.满分10分.
解:(1)
如图，四边形EFGH 就是所求作的正方形.
(2)连接EG交 BD 于点 O.
∵四边形 EFGH是正方形，
∴OE=OG.
∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠A=90°,AD∥BC.
∴OB=OD.
在Rt△ABD中,AB=2,AD=4,
∵四边形 EFGH是正方形，
∴EG⊥FH,
∴∠DOE=∠DAB=90°.
又∵∠ODE=∠ADB,
∴△EOD ∽△BAD,
即
在Rt△EOH中,OE=OH,
即正方形EFGH的边长为
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考.
23.本小题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程、等式的基本性质、分式的基本性质、代数推理等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想等.满分10分.
解：(1)二次函数 的图象的对称轴为
因为点A(1,t),B(2,t)在该函数的图象上,所以 所以 所以
(2)(i)由(1)可得,b=-3a,
所以该函数的表达式为
函数图象的顶点坐标为
因为函数的最大值为
所以a＜0,且
解得a=-1,或a=4(舍去).
所以该二次函数的表达式为
(ii)因为点 在函数 的图象上，所以
由(i)知,点 关于直线 对称，不妨设 则 即
所以
=0,
所以
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考.
24.本小题考查判断命题的真假、科学记数法、整数指数幂、幂的运算、不等式的基本性质、代数推理等基础知识；考查抽象能力、推理能力、运算能力、应用意识与创新意识，考查应用所学知识分析、解决问题的综合实践能力；考查特殊与一般思想、分类与整合思想、化归与转化思想等.满分12分.
解：(1)小明的猜想不正确.
反例:3×4=12.
（2） 所以 所以 与(*)矛盾，不合题意；
所以 又 所以
由( *)知 所以p=m+n.
(3)当A的数字大于或等于B的数字时， 的位数是m-n+1;
当A的数字小于B的数字时， 的位数是m-n.
证明如下：
由已知，A，B的位数分别为m，n，
设 A,B,C的数字分别为a,b,c,C的位数为x,则B×C=A.
由小华的命题知，当a≥b时，必有a≥c，
此时,m=n+x- 1,所以x=m-n+ 1;
当a＜b时,必有a＜c,
此时,m=n+x,所以x=m-n.
综上所述，当A 的数字大于或等于B的数字时，的位数是m-n+1;
当A的数字小于B的数字时， 的位数是m-n.
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考.
25.本小题考查圆的有关性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形内角和定理及其推论等基础知识，考查推理能力、空间观念、几何直观、运算能力与创新意识，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等.满分14分.
解:(1)∵AB=AC,
∴ ∠ABC=∠ACB.
∴∠ACB=∠ADB,
∴∠ABC=∠ADB.
∵∠ADB=∠DBE +∠E,
∴∠ABC=∠DBE+∠E.
∴∠ABD=∠ACD.
∵BG=DG,
∴∠BDG=∠ABD=∠ACD,
又∵∠DHF=∠CHD,
∴△HDF∽△HCD,
由(1)知,∠ABC=∠DBE +∠E,
又∵∠ABC=∠DBE+∠ABD,
∴∠ABD=∠E,
∴∠BDG=∠E.
∴ ∠ADG=∠DBC.
∴∠DAC=∠DBC,
∴∠ADG=∠DAC,
∴AH=DH,
(3)由(2)知,AH=DH,
∴△AGH 的周长为 .设DE=m,则
由(2)可知,∠ACD=∠E.
又∵∠CAD=∠EAC,
∴△ACD∽△AEC,
又∵
说明：本参考答案仅给出一种解法供参考
∴EC=3.
过点C作CP⊥AE,垂足为P,则.
∵四边形ABCD 是圆内接四边形，
又∵∠ADC +∠CDP=180°,
∴∠CDP=∠ABC,
∴在Rt△DCP中, 即
∴PD=1,
在 中，
解得m=3,或m=-1(舍去).
∴△AGH 的周长为

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