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安徽省怀宁县新安中学2024--2025高二下学期6月考试卷
数 学 试 题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．安徽年均降雨量近似服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．小明用摸球的方式决定周末去A或B地游玩，规则如下；箱子里装有质地和大小完全相同的4个红球和3个白球，从中任取4个小球，若取出的红球个数不少于白球个数，则去A地，否则去B地，则小明去A地游玩的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知函数在处有极值为10，则（ ）
A．18 B．11 C．11或18 D．10或18
5．下列说法中，不正确的是 （ ）
A．在1，3，6，7，9，10，12，15这组数据中，第50百分位数为8
B．分类变量A与B的统计量越大，说明“A与B有关系”的可信度越大
C．已知经验回归方程为且，则
D．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度越强
6．已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．2 B． C． D．
7．若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8. 已知双曲线E的中心为原点，是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点且AB的中点为，则双曲线E的渐近线的方程为
A． B．
C． D．
多项选择题：每小题6分，共18分．有选错的得0分，部分选对的部分分．
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．经验回归方程相对于样本点的残差为
B．某人在10次答题中，答对题数为，，则答对7题的概率最大
C．基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立
D．决定系数越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
10．已知函数及其导函数的定义域均为，若均为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． B．的图象关于点对称
C． D．
11．已知抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为4，若直线经过点交抛物线于，两点，分别过点，作抛物线的切线交于点，则（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．若，则的斜率为1
C．是直角三角形
D．的面积的最小值为64
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025北京题）已知，则 ．
13．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ．
14．甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分）已知数列中，，数列是等比数列，且公比.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前n项和为，求.
16．(2025上海高考题）已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
17．(15分）函数
(1)令，讨论函数的单调性；
(2)若，且在实数上恒成立，求的最大值．
18．(17分）11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10∶10.
(1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；
(2)求第一局比赛甲获胜的概率；
(3)现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.
19．(2025北京高考题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率
(2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望；
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C A D A C A BC ACD
题号 11
答案 BCD
, 13． 14．
15．（1）；（2）由（1）得，故.
16．（1）因为，故，故，故，故即为，
设，则，故在上为增函数，而即为，故，故原不等式的解为. （2）.，若，则时，，时，，故为的极小值点，无极大值点，故舍；若即，则时，，时，，故为的极大值点,若，则时，，无极值点，舍；若即，则时，，时，，故为的极大值点,综上，且.
17．（1）因为，所以，当时，恒成立，在上单调递增，当时，时，，当在上单调递减，
当在上单调递增，综上所述：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）结合（1）与题意可得，即，即，
从而得令所以令当时，在上单调递增当时，在上单调递减所以所以，即的最大值为．
18．（1）依题意，的所有可能取值为设打成后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且，所以，
.
故的均值为.
（2）设第一局比赛甲获胜为事件，则.
由（1）知，，由全概率公式，得
解得，即第一局比赛甲获胜的概率.
（3）由（2）知，故估计甲每局获胜的概率均为，根据五局三胜制的规则，
设甲获胜时的比赛总局数为，因为每局的比赛结果相互独立，所以的所有可能取值为，
因此可得；
故该场比赛甲获胜的概率.
19．(1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率.
（2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，，设为“从乙校抽取1人做对”，则，，设为“恰有1人做对”，故
依题可知，可取，，，，故. （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”，因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，故，即，故，同理有，，故，故.

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