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泰安二中高二数学月考试题
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A＝{0，1，2}，B＝{x∈N|x2﹣3x＜0}，C＝{1，2}，则（ ）
A．A＝B B．A B C．A∩B＝C D．A∪B＝C
2.把一枚质地均匀的硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件 A，“第二次出现正
面”
为事件 B，则 P（B|A）等于（ ）
A． B．
C． D．
3.设 a＝e0.7，b＝30.8，c＝log3e，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
D．b＜c＜
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b a
x x a 4.若 f ln 为偶函数，则 a （ ）．
B． 0 A． 1 C． D．1
5．某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩 X 服从正态分布 N（92，92），将考试成
绩从高到低按照 16%，34%，34%，16%的比例分为 A，B，C，D 四个等级．若小明的数
学成绩为 100 分，则属于等级（ ）
（附：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.68，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.95）
A．A B．B C．C D．D
6. 函数 f x log x 2 a x 1 在 1, 上单调 递减的一个充分不必要条件是
（ ） A．a 1 B．a 0 C．a 1 D．a 2
7．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有 10 个纸箱，其中 5 箱英语书、2 箱数学书、3 箱语
文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失的是哪一箱，现从剩下的 9 箱中任意打开
两箱，两箱都是英语书的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．任给两个正数 x，y，使得不等式 恒成立，则实数 a 的取值范围
是
（ ）
A．﹣e≤a＜0 B．a≥﹣e C． D．
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分。
9.若 ，则下列正确的是（ ）
A．a0＝2024 B．
C．a0﹣a1+a2﹣a3+ +a2024＝1
D．a1﹣2a2+3a3﹣…﹣2024a2024＝﹣4048
10.下列命题中正确的是（ ）
A．若 a＜b，则
B．若 0＜a＜ b，则
C．若 0＜a＜ b，且 a+b＝1，则 2a+2b的最小值为
D．若 0＜a ＜b，且 a+b＝1，则 a+lnb＜0
11．若函数 f（2x+2）为偶函数，f（x+1）为奇函数，且当 x （0，1]时，f（x）＝lnx，则
（ ）
A．f（x）为偶函数
B．f（e）＝1
C．
D．当 x [1，2）时，f（x）＝﹣ln（2﹣x）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
14.某无人机爱好者在 2025 年春节，设计了利用红、橙、黄、绿、紫五种颜色的无人机群呈
现如图的方形阵，方形阵分为 A，B，C，D，E，F 六个区域，呈现要求是：同一区域为
相同颜色的无人机群，且相邻区域的无人机群颜色不能相同，B 区域必须是红色无人机
群，则不同的呈现方式共有 种．
四、解答题：本小题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤。
15．（13 分）已知 二项展开式中，第 4 项的二项式系数与第 3 项的二项式系
数
的比为 8：3．
（Ⅰ）求 n 的值；
（Ⅱ）求展开式中 x3 项的系数．
16.某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果．如表是某农户近
5
年种植药材的年收入的统计数据：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码 x 1 2 3 4 5
年收入 y（千元）
59 61 64 68 73
（1） 根据表中数据，现决定使用 y＝bx2+a 模型拟合 y 与 x 之间的关系，请求出此模型
的回归方程；（结果保留一位小数）
（2） 统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果．在本题中，若残差平方
和小于 0.5，则认为拟合效果符合要求．请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符
合要求，并说明理由．
参 考 数 据 及 公 式 ： ，
， ．
．设 t ＝ x2 ，则
17．（15 分）已知函数 f（x）＝2x3﹣3ax2+1（a R）．
（1） 讨论 f（x）的单调性；
（2） 若对 x∈（0，+∞），f（x）≥0 恒成立，求 a 的取值范围．
18．（17 分）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有 3 个红球和 3 个白球，这些球除颜色外
完全相同，游戏规定：每位参与者进行 n 次摸球，每次从袋中一次性摸出两个球，如果
每次摸出的两个球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖，有两种摸球方式：一是每
次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，中奖次数记为 X；二是每次摸球后
将球均放回袋中，再进行下一次摸球，中奖次数记为 Y．
（1）求第一次摸球就中奖的概率；（2）若 n＝2，求 X 的分布列和数学期望；
（3） 若 n＝10，函数 随机变量 ，求 Z 的数学期
望．
19．（17 分）已知函数 f（x）＝x（a﹣lnx），a R．
（1） 若 a＝2 时，曲线 f（x）与直线 y＝m（x+1）相切，求实数 m 的值；
（2） 若 x＝1 是 f（x）的极值点，函数 g（x）＝f（x）﹣2k 有且仅有一个零点，设 x1
和 x2为两个不相等的正数，且满足 f（x1）＝f（x2）．
①求 k 的取值范围；
②求证：x1+x2＜e．月考试题答案
1-----5 CACBB 6----8 CCA 9.BCD 10.BD 11.ACD 12.4 13.3/2 或 1/3 14.156
15.解：（I）∵第 4 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数的比为 8：3
∴ ∴n ＝ 1 0 ； ∴
（I I ）
，其通项公式为 Tr+1＝（﹣2）r× ×x5﹣r
令 5﹣r＝3，可得 r＝2 ∴展开式中 x3 项的系数为（﹣2）2× ＝180．
16.（1）根据农户近 5 年种植药材的平均收入情况的统计数据可得：
59 61 64 68 73
65，设 t x2 ，则 y bx2 a bt
a y 0 .6 x 2 58.4 . y bt 65 0.6 11 58.4 . 所以，回归方程为
（2）将 x 值代入可得估计值分别为 59，60.8，63.8，68，73.4，
59 59 2 则残差平方和为 61 60.8
2
64 63.8 2 68 68 2 73 73.4 2 0.24 .
因为 0.24 0.5，所以回归方程 y 0.6x2 58.4 拟合效果符合要求.
17.解：（1）f（x）＝2x3﹣3ax2+1 定义域为 R，f′（x）＝6x2﹣6ax＝6x（x﹣a），当 a＞0
时，令 f′（x）＞0，得 x＞a 或 x＜0，令 f′（x）＜0，得 0＜x＜a，函数的单调递增
区间是（﹣∞，0）和（a，+∞），单调递减区间是（0，a）；当 a＜0 时，令 f′（x）＞
0，得 x＞0 或 x＜a，令 f′（x）＜0，得 a＜x＜0，函数的单调递增区间是（﹣∞， a）
和（0，+∞），单调递减区间是（a，0）；当 a＝0 时，f′（x）＝6x2≥0 恒成立，函数在
（﹣∞，+∞）单调递增．综上可知，当 a＞0 时，函数的单调递增区间是（﹣∞， 0）
和（a，+∞），单调递减区间是（0，a）；当 a＜0 时，函数的单调递增区间是（﹣ ∞，
a）和（0，+∞），单调递减区间是（a，0）；当 a＝0 时，函数的单调递增区间是
（﹣∞，+∞），无减区间．
（2）若函数 f（x）＝2x3﹣3ax2+1≥0，对 x∈（0，+∞）恒成立，
即对 x∈（0，+∞）恒成立，
令，x∈（0， +∞），则 ，
当 0＜x＜1 时 F′（x）＜0，当 x＞1 时 F′（x）＞0，所以 F（x）在区间（0，
1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，
所以 F（x）在 x＝1 处取得极小值即最小值 F（x）min＝F（1）＝1，所以 a≤1，即实数
a 的取值范围为（﹣∞，1]．
18.解：（1）记“第一次摸球就中奖”为事件 A，则 ，
即第一次摸球就中奖的概率为 ；
（2） 若 n＝2，且第一次摸球后将球均不放回袋中，直接进行第二次摸球，则 X 的可能
取值为 0，1，2，
则 ，
，
，
则 X 的分布列为：
X 0 1 2
P
则 ；
（3） 若 n＝10，且每次摸球后均将球放回袋中，再进行下一次摸球，则每次中奖相互独
立，且由（1）知每次中奖的概率均为
，所 以
，
此时 Y 的可能取值为 0，1，2，…，10，
Z 的可能取值 为 f
， ， ，… ， ，
（0）， ，f （1），
，当 Y ＝ 9 时 ， ，
当 Y≤8
时，
当 Y ＝ 10 时 ， Z ＝ f （ 1 ） ＝ 0 ， 因 为
，i ＝0 ， 1 ， 2 ， …，
10， 所以
＝ ，
＝
又 E（Y）＝ ＝4，
所以
＝ ＝ ，
＝ ＝ ，即
．
19.解：（1）当 a＝2 时，f（x）＝x（2﹣lnx），f'（x）＝1﹣lnx，设切点坐标为（x0，x0
（2﹣lnx0）），又 f'（x0）＝1﹣lnx0，切线方程为 y﹣x0（2﹣lnx0）＝（1﹣lnx0）（x﹣
x0），又切线 y＝m（x+1）过点（﹣1，0），所以 0﹣x0（2﹣lnx0）＝（1﹣lnx0）（﹣1
﹣x0），整理得 x0+lnx0＝1，易知 y＝x+lnx 在（0，+∞）上单调递增，且当 x＝1 时，
y＝1+ln1＝1，所以 x0+lnx0＝1，当且仅当 x0＝1 时成立，所以 m＝f'（x0）＝f'（1）＝
1，即所求实数 m 的值为 1；
（2）①f'（x）＝a﹣lnx﹣1（x＞0），
因为 x＝1 是 f（x）的极值点，所以 f′（1）＝a﹣1＝0，解得 a＝
1，经检验符合题意，则 f（x）＝x（1﹣lnx），f′（x）＝﹣lnx，当 0＜
x＜1 时，f′（x）＞0，当 x＞1 时，f′（x）＜0，所以函数 f（x）在
（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所
以 f（x）max＝f（1）＝1，又当 x→0 时，f（x）＞0 且 f（x）→0，当 x→+∞
时，f（x）→﹣∞，作出函数 f（x）的大致图象，如图所示，
函数 g（x）＝f（x）﹣2k 有一个零点，即函数 y＝f（x），y＝2k 的图象有一个交点，由
图可知 2k＝1 或 2k≤0，所以 k≤0 或 k＝ ，即 k 的取值范围是（﹣∞，0]∪{ }；
②证明：当 a＝1 时，f（x）＝x（1﹣lnx），由 f（x1）＝f（x2），不妨设 x1＜
x2，又 f（e）＝0，结合①，则 0＜x1＜1＜x2＜e，要证 x1+x2＜e，由 f（x1）
＝f（x2），得 x1（1﹣lnx1）＝x2（1﹣lnx2）＞x1，即证 x2（1﹣lnx2）+x2＜
e x1+x2＜e，
令 μ（x）＝x（1﹣lnx）+x，x∈（1，e），则 μ′（x）＝1﹣lnx＞0，故 μ（x）在区间
（1，e）内单调递增，所以 μ（x）＜μ（e）＝e，故 μ（x2）＜e，即
x1+x2＜e．综上，x1+x2＜
e．
11.】解：若函数 f（2x+2）为偶函数，可得 f（﹣2x+2）＝f（2x+2），即
为 f（﹣x+2）＝f（x+2），即 f（﹣x）＝f（x+4），又 f（x+1）为奇函
数，可得 f（﹣x+1）+f（x+1）＝
0，即有 f（﹣x）+f（x+2）＝0，所以 f（x+4）＝﹣f
（x+2），即有 f（x+2）＝
﹣f（x），可得 f（﹣x）＝
f（x），即 f（x）为偶函
数，故 A 正确；当 x
（0，1]时，f（x）＝lnx，
由 f（x+4）＝﹣f（x+2）
＝f（x），可得 f（x）的最
小正周期为 4， f（e）＝f
（﹣e）＝f（4﹣e）＝﹣f
（e﹣2）＝﹣ln（e﹣2），
故 B 错误； f（4
﹣ ）＝f（﹣ ）＝f（ ）＝ln ＝﹣1，故 C 正确；当 x
11，2）时，2﹣x （0，1]，f（2﹣x）＝ln（2﹣ x），而
f（2﹣x）＝﹣f（﹣x）＝﹣f（x），则 f（x）＝﹣ ln（2﹣
x），x 11，2），故 D 正确．

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