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2024级高一下学期期中考试数学试题
一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数z满足，则（ ）
A. B. 2 C. D.
2．已知向量，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
3. 一个圆台的上、下底面的半径分别为和，表面积为，则它的体积为（ ）
A. B. C. D.
4．设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若,，，，，则
5．非零向量，满足：，，则与夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
6.如图，在四棱锥中，四边形ABCE是梯形，
且点F在棱上，且平面，则=（ ）
7.四边形四个顶点在一个平面上，，，，，则的值为( )
14
8.已知点是内一点，若．过点作直线分别与、交于点、，且（），（），则的最小值是( )
2 3
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.
9．已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A．复数的虚部等于 B．
C． D．若是实数，是纯虚数，则
10. 如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，
水是定量的（定体积为），固定容器底面一边于地面上，
再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，
其中正确的是（ ）
A. 没有水部分始终呈棱柱形 B. 水面所在四边形的面积为定值
C. 棱总与水面所在的平面平行 D. 当容器倾斜如图所示时，（定值）
11.下列命题正确的（ ）
A．已知，若与的夹角是钝角，则
B．△ABC中，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为1,2,4.
C．在中,为常数，若，且，则的面积取最大值时，
D．在中，，，设是的内心，若，则
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
如图是一个水平放置的平面图形的直观图，它是一个
底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，
那么原平面图形的面积为 .
13．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则
14.中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动,是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为10的整块正方体玉石内部套雕出一个可以
任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长
均相等的三棱锥)，若不计各层厚度和损失，则最内层
正四面体的棱长最长为
四、解答题：本小题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量和，则,, ,求：
(1)的值；
(2)与的夹角的余弦值．
16.已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）.
(1)设复数，求；
(2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
17．在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
(3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
18.如图，在正方体中，E为的中点.
(1)求证：∥平面；
(2)若为的中点，求证：平面∥平面．
19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为．
(1)已知，求；
(2)在中，若，求．2024级高一下学期期中考试数学试题答案
1——8 DBCD CBBC 9.BD 10.ACD 11.BCD
10.【详解】依题意将容器倾斜，随着倾斜度的不同可得如下三种情形，
对于A：依题意，水面，而平面平面，平面，则，同理，而，，又平面，平面平面，因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，故A正确；
对于B：水面是矩形，线段的长一定，从图1到图2，再到图3的过程中，线段长逐渐增大，则水面所在四边形的面积逐渐增大，故B错误；
对于C：因为，平面，平面，因此平面，
即棱总是与水面所在的平面平行，故C正确；
对于D :当容器倾斜如图3所示时，有水部分的几何体是直三棱柱，其高为，体积为，
又，，所以，故D正确.
11.A、因与的夹角是钝角，则，即，得，
又当与共线时，有，得，不合题意，则，的取值范围为.故A错误
B.由正弦定理，得，则，
由于有唯一解，则或，解得或，
所以整数构成的可以为1，2，4.故B正确
C.在中，由及余弦定理，得，即，则，
又，则有，即，又，因此，
则，当时取等号，∴面积取最大值时．故C正确
D.以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：
设内切圆的半径为，则，解得
故，则
因为，所以，
即，解得，故. 故D正确
13. 14.
15.（1）∵,∴
（2）∵,
∴
16.（1）解：因为，则，
所以为纯虚数，
所以，解得.
所以，
因此.
（2）解：因为，
则，
因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，
则，解得.
因此实数的取值范围是.
17.（1），，
即，
，，
又，，，
（2），，
，
，， 的周长为．
（3）在锐角三角形ABC中，，
因为根据正弦定理，所以，
因为三角形周长为，
又因为，所以，
所以，
因为，即，所以，
即，，
所以.
18.(1)连结交于，连结．
∵为正方体，底面为正方形，
∴为的中点，∵为的中点，
在中，是的中位线，所以，
又平面，平面，∴∥平面；
(2)∵为的中点，为的中点，
∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴∥平面；
由(1)知∥平面，又∵，
∴平面∥平面．
19．（1）因为 ，所以 .
（2）
解得：
如图，建系，则

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