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【刷真题战期末】浙教版七年级下册期末全真模拟测试卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七下·广平期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(　　)
A． B． C． D．
2．（2024七下·紫金期末）光线在相同介质中的传播速度是相同的，在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的．如图，， ，则的度数为（ ）
A．129° B． C． D．101°
3．（2024七下·贵阳期末）计算 的值是（ ）
A．9 B． C．-6 D．
4．（2023七下·濮阳期末） 2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”.为了了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图所示的统计图表：
则下列说法正确的是（　　）
A．本次调查活动共抽取300人
B．m的值为84
C．n的值为27
D．扇形统计图中“2次”部分所对圆心角为60°
5．（2021七下·龙凤期末）已知关于x、y的二元一次方程组给出下列结论：①当k=5时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程6x+15y=16的解，则k=10；③无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（x、y均为整数），其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
6．（2021七下·松江期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（　　）
A．线段PB的长是点P到直线a的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
7．（2023七下·柯桥期末）如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
8．（2019七下·焦作期末）已知a＝96，b＝314，c＝275，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
9．（2021七下·硚口期末）某车间每天能生产甲种零件120个或者乙种零件100个.3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，要在27天内生产最多的成套产品，问甲、乙两种零件各生产几天？设甲种零件生产 天，乙种零件生产 天，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·平南期末）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EFHC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①ADBC；②GK平分∠AGC；③∠DGH=37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2022七下·萍乡期末）若x+y=3，xy=1，则x2+y2=　 　．
12．（2022八下·南山期末）因式分解： =　 　.
13．（2021七下·林口期末）下列调查中，调查方式选择正确的是　 　．
①为了了解一批灯泡的使用寿命，选择抽样调查．②为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查．③为了了解某1000枚炮弹的杀伤半径，选择全面调查．④为了了解一批袋装食品是否有防腐剂，选择全面调查．
14．（2024七下·庄浪期末）如图，，，平分，于点C，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有　 　．（填序号）
15．（2023七下·肥西期末）若关于x的分式方程无解，则实数　 　．
16．（2017七下·五莲期末）解方程组 时，应该正确地解得 ，小明由于看错了系数c，得到的解为 则a﹣b﹣c=　 　．
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023七下·金牛期末）计算下列各题：
（1）．
（2）．
（3）先化简，再求值：，其中．
18．（2023七下·镇海区期末）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）．
19．（2022七下·杭州期末）如图， 种小麦试验田是边长为 的正方形中减去一个边长为 的正方形蓄水池后余下的部分； 种小麦试验田是边长为 的正方形.
（1）设两块试验田都收获了 小麦，求 ， 两种小麦单位面积产量的比.
（2）当 时， ， 两种小麦单位面积产量哪个较大？
（3）若 ， 两种小麦单位面积产量相同，求 ， 满足的关系式.
20．（2021七下·靖宇期末）某出租车公司有两种不同型号的汽车，用两辆型车和一辆型车装满货物一次可运货10吨；用一辆型车和两辆型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆和型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）一辆型车和一辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案．
（3）若型车每辆需租金200元/次，型车每辆需租金240元/次．该物流公司最省钱的租车方案是　 　，最少租车费为 　 　元．
21．（2023七下·黔东南期末）随着社会的发展，私家车变得越来越普及，使用节能低油耗汽车，被抽样的该型号汽车，在耗油1L的情况下所行驶的路程（单位：km），结果如图所示．
（注：记A为12～12.5，B为12.5～13，C为13～13.5，D为13.5～14，E为14～14.5）
请依据统计结果回答以下问题：
（1）试求进行该试验的车辆数；
（2）请补全频数直方图；
（3）求扇形D的圆心角的度数．
22．（2023七下·上杭期末）点E在射线AD上，点F、G为射线BC上两个动点，满足，，AG平分∠BAD．
（1）如图1，当点G在F右侧时，求证：；
（2）如图2，当点G在F左侧时，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，P为BA延长线上一点，AM平分∠BAG，交BC于点M，AN平分∠PAM，交EF于点N，连接NG，若∠ANG与∠GAN互余，，求∠B的度数．
23．（2022七下·上城期末）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如下表：
类型 进价（元/个） 售价（元/个）
A款 m 120
B款 n 90
若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元.
（1）求m和n的值；
（2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？
（3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元，那么该日销售A、B两款足球各多少个？
24．（2023七下·瑶海期末）我们容易发现：；；．
（1）观察以上各式，请判断与之间的大小关系，并说明理由；
（2）利用（1）中的结论，当，时，求的最小值；
（3）根据（1）中的结论猜想与之间的大小关系，并说明理由．
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【刷真题战期末】浙教版七年级下册期末全真模拟测试卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024七下·广平期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：a2-b2=（a+b）（a-b）符合因式分解的定义，则①是因式分解；
a（x-y）=ax-ay是乘法运算，则②不是因式分解；
x2+2x+1=x（x+2）+1中等号右边不是积的形式，则③不是因式分解；
（x+1）（x+3）=x2+4x+3是乘法运算，则④不是因式分解；
故答案为：A．
【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可。
2．（2024七下·紫金期末）光线在相同介质中的传播速度是相同的，在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的．如图，， ，则的度数为（ ）
A．129° B． C． D．101°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】
根据光在水中是平行的线由平行线的性质：两直线平行时，内错角相等得；两直线平行时，同位角相等；两直线平行时，同旁内角互补，即可求解.
3．（2024七下·贵阳期末）计算 的值是（ ）
A．9 B． C．-6 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：3-2=。
故答案为：B。
【分析】根据(其中a≠0，且p为整数）进行计算即可。
4．（2023七下·濮阳期末） 2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”.为了了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图所示的统计图表：
则下列说法正确的是（　　）
A．本次调查活动共抽取300人
B．m的值为84
C．n的值为27
D．扇形统计图中“2次”部分所对圆心角为60°
【答案】C
【解析】【解答】解：总人数为40÷20%=200，故A错误；
m=200-54-40-20=86，故B错误；
n%=54÷200×100%=27%，故C正确；
20%×360°=72°，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用2次的人数除以所占的比例可得总人数，进而可求出m的值，利用4次及以上的人数除以总人数，然后乘以100%可得n的值，根据2次所占的比例乘以360°可得所占扇形圆心角的度数.
5．（2021七下·龙凤期末）已知关于x、y的二元一次方程组给出下列结论：①当k=5时，此方程组无解；②若此方程组的解也是方程6x+15y=16的解，则k=10；③无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（x、y均为整数），其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
【答案】A
【解析】解：∵当k=5时，方程组为，此时方程组无解；∴①正确；
∵解方程组得：，
把x=，y=代入6x+15y=16，方程左右两边相等，∴②正确；
∵解方程组得：，
又∵k为整数，
∴x、y不能均为整数，∴③正确．
故选：A．
【分析】①将k=5代入，得到方程组，求解即可做出判断；
②解方程组得：，把x=，y=代入6x+15y=16，即可做出判断；
③解方程组得： ，根据k为整数即可作出判断．
6．（2021七下·松江期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（　　）
A．线段PB的长是点P到直线a的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
【答案】C
【解析】【解答】解：A、根据点到直线的距离的定义：即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确；
B、根据垂线段最短可知此选项正确；
C、线段AP的长是点A到直线PC的距离，故选项错误；
D、根据点到直线的距离即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确．
故选C．
【分析】利用点到直线的距离的定义、垂线段最短分析．
7．（2023七下·柯桥期末）如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【答案】D
【解析】【解答】∠1的同位角是∠5，故选：D．
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角可得答案．
8．（2019七下·焦作期末）已知a＝96，b＝314，c＝275，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【答案】C
【解析】【解答】因为a＝ =312，b＝ ，c＝ =315，
所以，c>b>a
故答案为：C
【分析】根据幂的乘方可得：a＝ =312，c＝ =315，易得答案.
9．（2021七下·硚口期末）某车间每天能生产甲种零件120个或者乙种零件100个.3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，要在27天内生产最多的成套产品，问甲、乙两种零件各生产几天？设甲种零件生产 天，乙种零件生产 天，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知：
甲种零件生产 天，乙种零件生产 天，则甲种零件有 ，乙种零件有 ，
3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，则 ，即
故答案为：B.
【分析】 设甲种零件生产x天，乙种零件生产y天， 根据总时间为27天， 3个甲种零件与2个乙种零件配成一套， 列出二元一次方程组求解即可.
10．（2024七下·平南期末）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EFHC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①ADBC；②GK平分∠AGC；③∠DGH=37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【解答】解：①：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，故①正确；
②：∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
③：∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，
∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，
∵∠FGA=∠DGH，
∴90°-2∠FGA=16°，
∴∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；
④：设∠AGM=α，∠MGK=β，
∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，
∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误，
综上可知：正确的有 ①②③ ；
故答案为：B．
【分析】
根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据题意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论，故④错误；
逐一判断即可解答.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2022七下·萍乡期末）若x+y=3，xy=1，则x2+y2=　 　．
【答案】7
【解析】【解答】解：x2+y2=x2+2xy+y2﹣2xy，
=（x+y）2﹣2xy，
=9﹣2，
=7．
【分析】将所求的式子配成完全平方公式，然后将x+y和xy的值整体代入求解．
12．（2022八下·南山期末）因式分解： =　 　.
【答案】
【解析】【解答】解： = 。
故答案为： 。
【分析】此三项式中，有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项是两完全平方项底数乘积2倍的差，故可以用完全平方差公式直接分解。
13．（2021七下·林口期末）下列调查中，调查方式选择正确的是　 　．
①为了了解一批灯泡的使用寿命，选择抽样调查．②为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查．③为了了解某1000枚炮弹的杀伤半径，选择全面调查．④为了了解一批袋装食品是否有防腐剂，选择全面调查．
【答案】①②
【解析】【解答】解：①了解1000个灯泡的使用寿命，具有破坏性，适用于抽样调查，故①符合题意；
②了解某公园全年的游客流量，工作量大，时间长，故需要用抽样调查，故②符合题意；
③了解生产的一批炮弹的杀伤半径，具有破坏性的调查，适用于抽样调查，故③不符合题意；
④了解一批袋装食品是否含有防腐剂，具有破坏性的调查，适用于抽样调查，故④不符合题意；故答案为：①②．
【分析】根据抽样调查和全面调查的定义一一判断即可。
14．（2024七下·庄浪期末）如图，，，平分，于点C，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有　 　．（填序号）
【答案】①②④
【解析】【解答】解：，，
，故①正确；
延长、交于点G，如图所示：
平分，
，
，
，
∴，
∵，
∴，故②正确；
，，
，
，
，
当且仅当时，成立，故③错误；
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【分析】 本题主要考查平行公理，平行线的性质，角平分线的概念，垂直线的性质等知识点，延长、交于点G，由平行线的概念可知，平分，所以有，所以①正确，同理，所以，根据，可得，②正确；由平行线的概念，，，③错误；根据平行线的概念有，根据角平分线的性质有，所以，因为，所以，④正确．
15．（2023七下·肥西期末）若关于x的分式方程无解，则实数　 　．
【答案】或
【解析】【解答】解分式方程，即相加得去分母得，解得，当a=-1时，x无实数解且当 x=3即时，分式方程无实数解，故填-1或
【分析】分式方程无解，一定是出现数值使分式无意义。
16．（2017七下·五莲期末）解方程组 时，应该正确地解得 ，小明由于看错了系数c，得到的解为 则a﹣b﹣c=　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：把 与 代入得： ，
解得： ，
把 代入得：3c+14=8，
解得：c=﹣2，
则a﹣b﹣c=4﹣5+2=1．
故答案为：1
【分析】因为 是正确解，代入原方程组既可以求c的值 ，又可得3a 2b=2，因为看错了系数c，但a、b并没看错，因此错误解代入方程组的第一个方程可得 a + b = 1 ，进而求出a、b.
三、解答题(本大题有8个小题，每小题9分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023七下·金牛期末）计算下列各题：
（1）．
（2）．
（3）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：
，
当时，原式．
【解析】【分析】（1）运用零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方进行运算，进而即可求解；
（2）运用单项式乘单项式、积的乘方进行运算，进而即可求解；
（3）先运用整式的混合运算化简，进而代入求值即可。
18．（2023七下·镇海区期末）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【解析】【分析】（1）根据提公因式法因式分解即可；
（2）根据提公因式后，利用完全平方公式因式分解即可；
（3）先用整式的乘法将括号展开、合并同类项，再利用平方差公式因式分解即可.
19．（2022七下·杭州期末）如图， 种小麦试验田是边长为 的正方形中减去一个边长为 的正方形蓄水池后余下的部分； 种小麦试验田是边长为 的正方形.
（1）设两块试验田都收获了 小麦，求 ， 两种小麦单位面积产量的比.
（2）当 时， ， 两种小麦单位面积产量哪个较大？
（3）若 ， 两种小麦单位面积产量相同，求 ， 满足的关系式.
【答案】（1）解：根据题意得： 种小麦： ， 种小麦： ，
则 ， 两种小麦单位面积产量的比为 ： ；
（2）解：把 代入得： ， ，
，
种小麦单位产量较大；
（3）解：根据题意得： ，
整理得： ，
， ，
，
整理得： .
【解析】【分析】（1）由题意可得A种小麦单位面积产量为，B种小麦单位面积产量为，然后求比值即可；
（2）将a=2b分别代入、中进行计算，然后比较即可；
（3）令=，整理可得4a2-4b2=4(a+b)(a-b)=(a+b)2，则4(a-b)=a+b，化简即可.
20．（2021七下·靖宇期末）某出租车公司有两种不同型号的汽车，用两辆型车和一辆型车装满货物一次可运货10吨；用一辆型车和两辆型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆和型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）一辆型车和一辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案．
（3）若型车每辆需租金200元/次，型车每辆需租金240元/次．该物流公司最省钱的租车方案是　 　，最少租车费为 　 　元．
【答案】（1）解：设一辆A型车和一辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨，
由题意可得，，
解得，
答：一辆A型车和一辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨；
（2）解：由题意可得，
3a+4b=31，
∵a、b均为正整数，
∴，或，
∴该物流公司共有三种租车方案，
方案一：租A型车1辆，B型车7辆；
方案二：租A型车5辆，B型车4辆；
方案三：租A型车9辆，B型车1辆；
（3）租A型车1辆，B型车7辆；1880
【解析】【解答】解：（3）∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，
∴方案一：租A型车1辆，B型车7辆，费用为200×1+240×7=200+1680=1880（元）；
方案二：租A型车5辆，B型车4辆，费用为200×5+240×4=1000+960=1960（元）；
方案三：租A型车9辆，B型车1辆，费用为200×9+240×1=1800+240=2040（元）；
∵1880＜1960＜2040，
∴物流公司最省钱的租车方案是租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为1880元．
【分析】（1）设一辆A型车和一辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨，根据题意列出方程组求解即可；
（2）根据题意可得3a+4b=31，再利用二元一次方程的解法求解即可；
（3）根据（2）的方案，将数据代入计算，再比较大小即可。
21．（2023七下·黔东南期末）随着社会的发展，私家车变得越来越普及，使用节能低油耗汽车，被抽样的该型号汽车，在耗油1L的情况下所行驶的路程（单位：km），结果如图所示．
（注：记A为12～12.5，B为12.5～13，C为13～13.5，D为13.5～14，E为14～14.5）
请依据统计结果回答以下问题：
（1）试求进行该试验的车辆数；
（2）请补全频数直方图；
（3）求扇形D的圆心角的度数．
【答案】（1）解：进行该试验的车辆数为：9÷30%＝30（辆）
（2）解：B：20%×30＝6（辆），
D：30-2-6-9-4＝9（辆），
补全频数分布直方图如下：
（3）解：扇形D的圆心角的度数为360°×＝108°．
【解析】【分析】（1）利用“C”的频数除以对应的百分比可得总数；
（2）先利用总数求出“B”和“D”的频数，再作出频数直方图即可；
（3）先求出“D”的百分比，再乘以360°可得答案.
22．（2023七下·上杭期末）点E在射线AD上，点F、G为射线BC上两个动点，满足，，AG平分∠BAD．
（1）如图1，当点G在F右侧时，求证：；
（2）如图2，当点G在F左侧时，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，P为BA延长线上一点，AM平分∠BAG，交BC于点M，AN平分∠PAM，交EF于点N，连接NG，若∠ANG与∠GAN互余，，求∠B的度数．
【答案】（1）证明：∵AG平分∠BAD，∴
又∵，∴
∴，∴
∵，∴
∴．
∴
（2）证明：过点G作，交AD于点H，如图
∵，∴
∴，．
∵，∴．
（3）证明：∵AM平分∠BAG，∴设
∵AG平分∠BAD，∴∴，
∵AN平分∠PAM，
∴
∴
∴
∵，∴
∵
∴
∴
∵∠ANG与∠GAN互余，∴
∴，∴
∴，∴
【解析】【分析】（1）由角平分线的概念可得∠BAG=∠DAG，由已知条件可知∠BAG=∠BGA，则∠DAG=∠BGA，推出AD∥BC，由平行线的性质可得∠AEF=∠EFG，结合∠B=∠AEF可得∠DBF=∠EFG，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）过点G作GH∥AB，交AD于点H，由平行线的性质可得∠BAG=∠AGH，∠GEF=∠HGE，然后根据∠AGE=∠AGH+∠HGE进行证明；
（3）由角平分线的概念可设∠BAM=∠GAM=x°，则∠DAG=∠BAG=2x°，∠PAD=180°-4x°，∠PAM=180°-x°，∠MAN=∠PAN=90°-0.5x°，∠GAN=90°-1.5x°，∠EAN=3.5x°-90°，由平行线的性质可得∠B=∠PAD，根据∠B-∠ANG=∠EAN可得∠ANG，由∠ANG与∠GAN互余可得∠ANG+∠GAN=90°，代入求解可得x，进而可求出∠B的度数.
23．（2022七下·上城期末）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如下表：
类型 进价（元/个） 售价（元/个）
A款 m 120
B款 n 90
若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元.
（1）求m和n的值；
（2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？
（3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元，那么该日销售A、B两款足球各多少个？
【答案】（1）解：根据题意可得
解得
（2）解：
答：该商场可获利1200元.
（3）解：设销售A足球a个，B款足球b个，则
整理得
为9的倍数，且 ， 为正整数
当 时，
当 时，
销售A足球13个，B款足球9个，或销售A足球6个，B款足球18个
【解析】【分析】（1）根据购进10个A款足球和20个B款足球需2000元可得10m+20n=2000，根据购进20个A款足球和30个B款足球需3400元可得20m+30n=3400，联立求解即可；
（2）由A款足球个数×售价+B款足球个数×售价=总价结合共消费3600元得120x+90y=3600，根据(售价-进价)×数量=利润可得该商场的利润；
（3）设销售A款足球a个，B款足球b个，根据(售价-进价-成本)×数量=利润可得a与b的关系式，结合a、b为整数从整除角度可快速分析得a、b的取值，据此解答.
24．（2023七下·瑶海期末）我们容易发现：；；．
（1）观察以上各式，请判断与之间的大小关系，并说明理由；
（2）利用（1）中的结论，当，时，求的最小值；
（3）根据（1）中的结论猜想与之间的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
∴当且仅当时，取得最小值2；
（3）解：，理由如下：
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再求最小值即可；
（3）先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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