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4.1认识三角形 练习
一、单选题
1．坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（ ）
A． B． C． D．
2．下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10
3．如图，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，，，．则下列结论：①；②平分；③；④．正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，为锐角，，则下列角中，的余角为（ ）
A． B． C． D．
7．等腰三角形的两条边分别为3和7，则这个三角形的周长是（ ）
A．13 B．17 C．20 D．13或17
8．下列能表示的边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，、是的两条高，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点，分别在，上，，垂足为点，，若，，，则点到直线的距离为（ ）
A．3 B． C． D．2
11．如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是锐角三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对
二、填空题
13．如图，已知，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，．则下列结论正确的有 （写序号）．
①；：平分；．
14．在中，，则的长度可能是 ．（写出一个符合要求的值即可）
15．等腰三角形的一边等于5，另一边等于12，则它的周长是 ．
16．如图，等腰中，，为腰的中线，将的周长分成长和的两段，则等腰的腰长为 ．
三、解答题
17．如图：已知和一块含角的直角三角尺．
(1)如图，三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数；
(2)如图，三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，若，求的度数．
18．已知等腰三角形．
(1)若其两边长分别为2和3，求的周长；
(2)若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18，求的腰长．
19．如图，在中，，于，平分
(1)若，求的度数．
(2)若，求的长．
20．如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题：
(1)作边上的高；
(2)过点画的垂线，垂足为；
(3)过点画的平行线，交于点；
(4)点到直线的距离是线段___________的长度．
《4.1认识三角形 练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A B C A B B A C
题号 11 12
答案 A B
1．D
【分析】此题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边得到，进而求解即可．
【详解】解：根据题意得，
∵
∴
∴
∴段的长可能为．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可．
【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意；
C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意；
故选：B．
3．A
【分析】本题主要考查了平行线的性质（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补 ）以及直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质，准确找到角之间的关系是解题的关键．利用平行线的性质，结合直角三角形的角的关系，先求出与相关角的度数，进而得出的度数 ．
【详解】解：∵，，
∴，
，
∴在中，，
∵，（两直线平行，内错角相等 ）．
∴，
故选：A ．
4．B
【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定和性质，直角三角形两锐角互余等知识的判定，掌握以上知识是关键．根据垂线的定义，平行线的判定和性质，结合图形判定即可．
【详解】解：∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵与的数量无法确定，即与不一定相等，
∴不能判定平分，故②错误；
∵，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，共3个，
故选：B ．
5．C
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，掌握平行线的性质求角度的计算是关键．
根据题意，得到，根据平行线的性质得到，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
，
∴，
∵，
∴，
故选：C ．
6．A
【分析】本题考查余角定义、垂直定义、直角三角形的两个锐角互余，根据余角定义逐个分析即可求解．
【详解】解：∵为钝角，
∴，，
故选项C、D不符合题意；
如图，延长n交与点D
∵，
∴，，
∴，与互余，
故选项A符合题意，选项B不符合题意，
故选A．
7．B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时．根据三角形的三边关系，知3，3，7不能组成三角形，应舍去．
【详解】解：当3是腰时，则，不能组成三角形，应舍去；
当7是腰时，则三角形的周长是．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握高的定义是解题的关键．
从所对的顶点A向或的延长线作垂线段即可．
【详解】解：A．不是任何边上的高，故不符合题意；
B．是的边上的高，故符合题意；
C．是的边上的高，故不符合题意；
D．不是任何边上的高，故不符合题意；
故选B．
9．A
【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，关键是列出的方程．
根据三角形的面积公式列出的方程进行解答便可．
【详解】解：∵、是的两条高，
∴，
又∵，，，
∴
∴，
∴，
故选：A．
10．C
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键．
首先证明，再证明，最后运用面积法可求出点F到直线的距离．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
设点F到直线的距离为h，且，，，
∴，
∴，
∴，
故选：C
11．A
【分析】本题考查了三角形高的计算，掌握三角形面积的计算方法是关键．
根据题意得到，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
，
∴，
故选：A ．
12．B
【分析】本题主要考查三角形的分类．根据三角形按边分类，即可求解．
【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形），
∴P是等腰三角形；Q是等边三角形，
∴只有乙说法正确，
故选：B．
13．①④/④①
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，垂直定义等，根据平行线的判定即可判断结论①；利用直角三角形的性质和判定可判断结论④；再由直角三角形性质可得：，，可判断结论②；再根据，，可判断结论③．
【详解】解：∵，
∴，
故结论①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故结论④正确；
∵，，
∴，，
故结论②错误；
∵，，
∴与不一定相等，
故结论③错误．
综上分析可知：正确的结论有：①④．
故答案为：①④．
14．4（答案不唯一）
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出的范围，即可求解．
【详解】解：在中，，，
，即，
长度可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
15．29
【分析】此题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题关键在于掌握已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
题目给出等腰三角形有两条边长为5和12，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：①因为等腰三角形，当腰为12时，，，所以能构成三角形，周长是：．
②当腰为5时，，所以不能构成三角形；不满足三边关系，舍掉．
故答案为：29．
16．或
【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用．
题中没有指明哪部分的周长大，故应该分两种情况进行分析，从而求解．
【详解】解：①当，时，
∵为腰的中线，
∵
∴，
，
∴，
②当，时
∵
∴，
，
∴，
故答案为：或．
17．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余．解决本题的关键是根据平行线的性质和直角三角形的两个锐角互余找角之间的关系．
（1）设，则，根据平行线的性质可知，根据平角的定义可知，解方程即可求出的度数．
（2）根据两直线平行同旁内角互补可得：，根据直角三角形的两个锐角互余可得：，所以可得：，又因为，可以求出．
【详解】（1）解：设，则，
，
，
由已知可得：，
，
解得：，
；
（2）解：，
，
即，
又，
，
．
18．(1)的周长为8或7
(2)这个等腰三角形的腰长为12
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中线.
（1）分类讨论：当该等腰三角形的腰长为2，底边长为3时和当该等腰三角形的腰长为3，底边长为2时，先利用三角形三边关系验证是否成立，再求周长即可．
（2）已知给出的9和18两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为x，分两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：分类讨论：当该等腰三角形的腰长为2，底边长为3时，
∵，
∴该等腰三角形成立，
∴此时这个等腰三角形的周长为；
当该等腰三角形的腰长为3，底边长为2时，
∵，
∴该等腰三角形成立，
∴此时这个等腰三角形的周长为．
综上可知这个等腰三角形的周长为7或8．
（2）设三角形的腰为x，如图：
是等腰三角形，，是边上的中线，
∴
则有、或、，
分下面两种情况：
当，即，
∴，
此时，即，
∴三边长分别为6，6，15，
∵，不符合三角形的三边关系，
∴舍去；
当，即，
∴，
此时，即，
∴三边长分别为12，12，3．
综上可知：这个等腰三角形的腰长为12．
19．(1)
(2)4.8
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，与三角形的高有关的计算.
（1）根据三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；
（2）等积法求出的长即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，平分
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】本题主要考查了画平行线，画垂线，画三角形的高，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）过点C作交延长线于D，则即为所求；
（2）根据垂线的画法画图即可；
（3）根据平行线的画法画图即可；
（4）可证明，再根据点到直线的距离的定义求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点C作交延长线于D，则即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求；
（4）解：∵，
∴，
∴点到直线的距离是线段的长度．

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