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2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019选择性必修2+选择性必修3全部
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设是定义域为R的可导函数，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，该同学记录了5天的数据：
x 5 6 8 9 12
y 17 20 25 28 35
经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（ ）
A．样本中心点为 B．
C．时， 残差为 D．相关系数
3．已知事件，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．某班星期二上午有五节课，下午有三节课，安排的课程有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育，其中数学是上午或下午连续的两节课，其余课程各一节，现将体育课安排在下午的第三节，则不同的安排方案有（ ）
A．120 B．480 C．600 D．720
5．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的正态曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
7．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．关于 的展开式，下列说法中正确的是（ ）
A．各项系数之和为1
B．常数项为60
C．第二项与第四项的二项式系数相等
D．有理项共有4项
10．下列说法正确的有（ ）
A．若随机变量，则
B．残差和越小，模型的拟合效果越好
C．根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05
D．数据4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位数为8
11．函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在处的切线的斜率为1
B．当时，在上单调递增
C．存在，在上有唯一零点
D．对任意，在上均存在零点
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若随机变量服从二项分布，，则 .
13．已知函数，其中，则曲线在点处的切线方程为 ．
14．已知数列共有项，其中项为，项为.若数列满足对任意中的的个数不少于的个数，则称数列为“规范数列”.当，时，“规范数列”的个数为 ，记表示数列是“规范数列”的概率，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下：
会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40
体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4
并计算得：
(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明；
(2)求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）；
(3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释.
(参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：)
16．（15分）
记为数列的前项和，已知，当时，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
17．（15分）
已知函数（为自然对数的底数）.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若有极小值且极小值不小于0，求实数的取值范围.
18．（17分）
甲、乙2名同学最近100次的投篮情况如下：
甲 乙
投中 50 60
未投中 50 40
用频率估计概率，解答下列问题．
(1)若从甲、乙2人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率．
(2)设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投．规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局．甲、乙每次投中与否相互独立．
①求甲投了第3次后停止比赛的概率；
②求乙投了第4次后停止比赛的概率．
19．（17分）
如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积.
(1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积；
(2)当时，求证：；
(3)求证：.1—4 ACDC 5—8 BBAD
9【答案】ABD
【解析】对于A，令时，则展开式中各项系数之和为1，故A正确；
对于B，展开式的通项为，
令，∴，展开式中的常数项为，故B正确；
对于C，第二项二项式系数,第四项的二项式系数,第二项与第四项的二项式系数不相等，故C错误；
对于D，展开式的通项为，当时，，所以展开式的有理项共有4项，故D正确.
故选：ABD.
10【答案】ACD
【解析】对于A，随机变量，由知，
，A正确；
对于B，因为残差平方和越小，模型的拟合效果越好，而残差和小，残差平方和不一定小，B错误；
C，由可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05，C正确；
对于D，对数据从小到大重新排序，即：，共8个数字，
由，得这组数据的第70百分位数为第6个数8，D正确.
故选：ACD
11【答案】AC
【解析】对A：当时，，
，故在处的切线的斜率为1，故A正确；
对B：当时，，
作出函数在上的图象如图示，
可以看到在有两交点，
即有两个零点，不妨假设，
当时，，递增，
当时，，递减，
当时，，递增，
故当时，在上不是单调递增函数，故B错误；
对C：当，即时，与的图象只有一个交点，
即存在，在上有唯一零点，故C正确.
对D：，，
令，则，
令，，
令，得，
故当时，，递减，
当时，，递增，
所以当时，取到极小值，
即当时，取到极小值，
又，即，
又因为在上，递减，故，
当时，取到极大值，
即当时，取到极大值，
又，即，故，
当时，，
所以当，即时，在上无零点，故D错误；
故选：AC.
12【答案】7
【解析】由于X服从二项分布，所以，故.
故答案为：7
13【答案】
【解析】因为，所以，
则，，
所以所求切线的方程为.
故答案为：.
14【答案】 5
【解析】（1）当时，满足要求的“规范数列”有
；；；； ；
所以当，时，“规范数列”的个数为.
（2），，时，具有“规范数列”数列特征的数列的个数为，
当，，时，由已知数列共有项，其中项为，项为，
所以满足条件的数列的个数为，
若数列为“规范数列”，则第一项为，
若第一项为，第二项为时，“规范数列”个数为，
当第一项为，第二项为，第三项必然为，此时“规范数列”个数为，
所以.
故，
因为函数在上单调递增，
所以当时，取最小值，，
故答案为：；.
15【详解】（1）由表可知：（2分）
所以= , （4分）
因为与的相关系数接近1,（5分）
所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系.（6分）
（2）由题可知： =（8分）
，（9分）
所以（10分）
（3）由(2)可知：根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加2个小时，
预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际增加值0.8千克较为接近，（11分）
因此实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值；（12分）
造成一定差异的原因可能是由于样本数据过少，
或者造成体重减少的原因还受其他因素影响，
比如睡眠，饮食、锻炼强度以及效果等.（13分）
．
16【详解】（1）由题意得，当时，有，（1分）
即（2分）
因为，所以对任意都成立（3分）
故数列是首项为1，公比为2的等比数列，从而．（4分）
（2）由，可得，（5分）
则（7分）
（8分）
（9分）
当时，符合上式，（10分）
故．（11分）
所以
（12分）
（13分）
（15分）
17【详解】（1），则，，（1分）
显然是增函数，（2分）
又，（3分）
所以，（4分）
，（5分）
切线方程为，即；（6分）
（2）由已知，有极小值，则有解，（7分）
由，得，
设的解为，
时，，递减，时，，递增，（8分）
因此为的极小值，
由得，（9分）
极小值，（10分）
记，
易知函数是减函数，，（11分）
当时，，当时，，（12分）
所以当时，，（13分）
当时，，当时，，（14分）
而的极小值不小于0，所以的取值范围是.（15分）
18【详解】（1）甲同学的投篮命中率为，（1分）
乙同学的投篮命中率为．（2分）
从甲、乙中随机选择1人投篮1次，投中的概率为．（4分）
（2）①甲投了3次，则乙投了2次．
由题意可得甲比乙多投中2次，有2种情况．
第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次，即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，第二次投篮没投中，其概率为．（6分）
第二种情况：甲投中了2次，乙投中了0次，即甲第一、三次投篮投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，或甲第二、三次投篮投中，第一次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，其概率为，（8分）
故所求概率为．（9分）
②乙投了4次，则甲投了4次．
记甲、乙各投1次为一轮，则甲、乙共投了四轮．
在每轮比赛中，记事件为乙投中的次数比甲多1次，即乙投中，甲没投中，其概率，（10分）
记事件为甲、乙投中的次数相等，即甲、乙都没投中或都投中，其概率，（12分）
记事件为乙投中的次数比甲少1次，即乙没投中，甲投中，其概率．（13分）
投了第四次后停止比赛，即投了四轮后乙投中的次数比甲多2次，有2种情况．
第一种情况：四轮比赛中，事件各发生2次，即第一至四轮依次为或，或，其概率为．（14分）
第二种情况：四轮比赛中，事件发生3次，事件发生1次，即第一至四轮依次为，或，其概率为．（16分）
所求概率为．（17分）
19【详解】（1）由，得.（1分）
由题意可得所求面积.（2分）
令，则是常数）（3分）
所以，
即曲线在上与轴围成的封闭图形的面积为.（4分）
（2）令，可得（是常数），（5分）
所以，（6分）
要证，只需证，（7分）
令，
当时，，（8分）
所以在上单调递减，所以当时，，（9分）
所以，即.（10分）
（3）由（2）得，当时，.
因为，所以.（12分）
即.
所以.
.
.
.（14分）
累加可得
，（15分）
即，
所以.（17分）

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