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2024-2025学年高二数学下学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019选择性必修第二册+选择性必修第三册全部内容。
5．难度系数：0.70。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）
A．气候温度高，海水表层温度就高
B．气候温度高，海水表层温度就低
C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
2．已知等比数列的各项均为正数，若，则（ ）
A．4 B． C． D．
3．现有7位学员与3位摄影师站成一排拍照，要求3位摄影师互不相邻，则不同排法数为（ ）
A． B． C． D．
4．某市卫健委用模型的回归方程分析年月份感染新冠肺炎病毒的人数，令后得到的线性回归方程为，则（ ）
A． B． C． D．
5．若数列满足（且），则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
6．已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表：
年份 2020 2021 2022 2023 2024
年份代号 1 2 3 4 5
成交额（万元） 50 60 70 80 100
若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是（ ）
A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元
7．函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
8．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．一组样本数据，其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为．分布如图所示，且，则（ ）
A．样本负相关 B．
C． D．处理后的决定系数变大
10．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数和为
B．
C．展开式中系数最大的项为第1350项
D．
11．已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某校学生中有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学爱好羽毛球或乒乓球.在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为 .
13．亚冬会期间，某校学生会组织甲，乙，丙，丁，戊5个志愿服务团，前往A，B，C这3个比赛场地进行志愿服务，若每个场地至少分配1个志愿服务团，每个志愿服务团只能在1个场地进行服务，并且甲团只能去A场地，则不同的分配方法种数为 ．
14．已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）某景区试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示：
12 12.5 13 13.5 14
14 13 11 9 8
(1)求该纪念品定价的平均值和销量的平均值；
(2)计算与的相关系数；
(3)由（2）的计算结果，判断能否用线性回归模型拟合与的关系，并说明理由.
参考数据：.参考公式：相关系数.
16．（15分）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.
(1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；
(2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
附：若随机变量，则；；.
17．（15分）2024年巴黎奥运会上，网球女单决赛中，中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．已知网球比赛为三局两胜制，在郑钦文与维基奇的单局比赛中，郑钦文获胜的概率为，且每局比赛相互独立．
(1)在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计．
（ⅰ）为多少？
（ⅱ）请利用上述数据，若郑钦文再次遇到维基奇，求比赛局数的分布列．
(2)如果比赛可以为五局三胜制，若使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率，求的取值范围？
18．（17分）近期，我国国产AI大模型深度求索（DeepSeek）在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为AI行业的发展提供了新的可能性．为了评估DeepSeek的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了200名用户进行调查，收集整理得到了如表的数据：
高满意度 低满意度
频繁使用DeepSeek 70 30
不频繁使用DeepSeek 50 50
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联；
(2)若已知样本中学生人数为120人，其中高满意度用户数为80人，教师人数为80人，其中高满意度用户数为40人．以样本频率估计总体的概率．
①若从全校使用DeepSeek的用户中每次抽取1名用户，直到抽出2名高满意度用户即停止抽取．求恰好第4次抽取后停止抽取的概率．
②若从全校使用DeepSeek的学生用户和教师用户中各随机抽取2名，设这4人中学生和教师的高满意度用户数分别为和，令，求的分布列．
参考公式：，其中，．
19．（17分）定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”．
(1)若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围．
(2)若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”．
①求b的取值范围；
②证明：．1—4 CBBA 5—8 ACDD
9【答案】AD
【详解】对于A，由经验回归方程的斜率为负，可知样本负相关，即A正确；
对于B，易知，
代入方程计算可得，即B错误；
对于C，由残差图可知，处理以后的残差比处理前的残差更集中，可知，即C错误；
对于D，处理以后的残差的绝对值更小，所以处理后的决定系数变大，即D正确.
故选：AD
10【答案】ABD
【详解】对于A，由展开式所有项的二项式系数和为，故A正确；
对于B，由，
则，故B正确；
对于C，由于第1350项系数为，显然负值不可能是最大系数，故C错误；
对于D，令，则，
令，
上两式作差可得，故D正确.
故选：ABD.
11【答案】BC
【详解】设，.
则.
所以在上单调递增.
对A：由，故A错误；
对B：由，故B正确；
对C：由，故C正确；
对D：当时，，所以，故D错误.
故选：BC
12【答案】
【详解】依题意同时爱好羽毛球和乒乓球的概率为：，
设“该同学爱好羽毛球”为事件，“该同学爱好乒乓球”为事件.
则,,
所以.故答案为：.
13【答案】
【详解】由题设，5个团去往3个场地，可按人数分组为、两种，
按分组，
若甲一人成组，则其它4人的分组有种，再把两组安排到有种，
若甲所在的组有两人，则选一人与甲去往有种，余下3人分成两组有种，再把两组安排到有种，
所以共有种；
按分组，
若甲一人成组，则其它4人的分组有种，再把两组安排到有种，
若甲所在的组有三人，则选两人与甲去往有种，余下2人分成两组安排到有种，
所以共有种；
综上，共有种分配方法.故答案为：
14【答案】
【详解】当时，，因为，
当时，，
两式相减可得，即，当时不适合此式，
所以，所以，
当时，，
当时，，
若对任意恒成立，
所以，即实数的取值范围为.故答案为：.
15【答案】(1)13；11(2)(3)可以用线性回归模型拟合与之间的关系，理由见解析
【详解】（1）由题可知，......................................................2
；.........................................................................................................4
（2）计算得，
故；........................................................................10
（3）由（2）可知，与的相关系数的绝对值近似为0.992，大于0.75且非常接近1，
说明与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与之间的关系............................13
16【答案】(1)甲能够获得奖励，理由见详解(2)乙所说为假
【详解】（1）甲能够获得奖励，理由如下：
设此次闯关活动的分数记为.
由题意可知，因为，...........................................................................................................1
且，.............................................................2
所以，则；而，..............................................................................3
且，..........................................................5
可知前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分，
所以甲能够获得奖励.................................................................................................................................................7
（2）假设乙所说为真，则，.......................................................................................................................8
，...................................................................10
而，所以，从而，
而，..................................................14
所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假......................................................................................................................................15
17【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析(2)
【分析】（1）（ⅰ）计算两次交手记录郑钦文获胜的频率即可；
（ⅱ）按照独立事件和互斥事件的概率公式求，再利用即可求出分布列；
（2）按照独立事件和互斥事件的概率公式分别求出两种情况下的郑钦文获胜的概率，再解关于的不等式即可.
【详解】（1）
（ⅰ）根据两次交手记录，郑钦文共胜2局，负3局，因此的估计值为．...................................1
（ⅱ）由题知，可取值为、，....................................................................................................................2
，，.....................................................................4
所以的分布列为
2 3
0.52 0.48
.................................................................................................................................................................................6
（2）三局两胜制郑钦文最终获胜概率，...........................8
五局三胜制中郑钦文最终获胜的概率
..................................................................................10
所以，化简得，.........................................................12
因为，，所以，即，所以，...........................................................13
所以使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率的取值范围是．......................................15
18【答案】(1)认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联
(2)① ；②答案见解析
【分析】（1）根据计算公式计算即可得出结论；
（2）①由题意转化为前3次抽取中恰有1次抽取的是高满意度用户，第4次恰好抽取的是高满意度用户，利用独立事件同时发生的乘法公式求解；②分别求出对应取值的概率，据此计算对应取值的概率，列出分布列即可.
【详解】（1）零假设为：DeepSeek的使用频率与用户满意度之间无关联．
根据表中数据，，..........................................................4
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联．................................................................................6
（2）（1）由题知，样本中DeepSeek高满意度用户的频率为，..................................................................7
设事件“恰好第4次抽取后停止抽取”，
需在前3次抽取中恰有1次抽取的是高满意度用户，第4次恰好抽取的是高满意度用户，
则．
即恰好第4次抽取后停止的概率为．............................................................................................................10
（2）由题知，样本中学生的高满意度用户频率为，教师的高满意度用户频率为．
又，，，
，，，
的所有可能取值为0，1，2，...........................................................................................................................12
则
，
．..........................................................................15
所以随机变量的分布列为：
0 1 2
P
....................................................................................................................................................................................17
19【答案】(1)；
(2)①；②证明见解析.
【分析】（1）由给定的定义把问题转化为方程有唯一零点，再构造函数，利用导数探讨函数的性质求解即可.
（2）①根据给定的定义将问题转化为方程有两个不同的零点求解；②由①中信息，利用极值点偏移求解.
【详解】（1）由与为“契合函数”，得，使
，...................................................................................................................2
令，依题意，方程有唯一解，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
当时，，时，，，..............................................................................4
又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或，
所以实数a的取值范围是.................................................................................................................5
（2）①由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”，
得存在，使，
即关于的方程有两个相异正根，.......................................................................................6
令函数，
求导得，......................................................................................................7
由，得，得当时，；当时，，
则函数在上递增，在上递减，则，
当从大于0的方向趋近于0时，；当时，，..........................................................9
因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点，
所以b的取值范围是................................................................................................................................10
②由（1）知，当时，，令，
求导得，.........................13
令，求导得，
当时，，函数在上单调递减，，，
函数在上单调递减，，因此当时，，.........................................15
而，则，又，于是，
又，函数在上递减，则，
所以................................................................................................................................................................17

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