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参考答案
一、单项选择题（共8题，共40分）
1. 【答案】D
【解析】因为 ．
故选D．
2. 【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ．
又 ，
所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ．
3. 【答案】A
4. 【答案】C
【解析】解法一：设函数 的最小正周期为 ，由题图可得 且 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ．
由题图可知 ，且 是函数 的上升零点，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
解法二（五点法）：由函数 的图象知，
，解得 ，
所以函数 的最小正周期为 ．
5. 【答案】D
【解析】如图，连接 ，，
由 ， 分别为 ， 的中点知 ．
因为 ，，
所以 ，故A正确．
易知 ，，
所以 ．
又 ，
所以 ，故B正确．
易知 与平面 所成的角即为 与平面 所成的角，为 ，故C正确．
易知 与 所成角即为 与 所成角，为 ，故D错误．故选D．
6. 【答案】C
【解析】（）当 ，曲线 是圆， 与 有 个交点，不合．
（）当 时，曲线 是 条平行 轴的直线，此时 与 有 个交点，符合．
（）当 时，曲线 是焦点在 轴上椭圆，此时 与 有 个交点，符合．
（）当 时，曲线 是焦点在 轴上椭圆，此时 与 有 个交点，不合．
（）当 时，曲线 是双曲线，此时要使渐近线斜率 ，所以 ．
（）当 时，曲线 是等轴双曲线，渐近线斜率 ，正好两交点，符合．
所以综上所述，．
7. 【答案】A
8. 【答案】B
【解析】若对任意的实数 都有 成立，
则函数 在 上为减函数，
因为函数 ，
故
解得：．
二、多项选择题（共3题，共18分）
9. 【答案】B；C
【解析】由 得 ，
所以焦点坐标 ，
对A，直线 的方程为 ，
由 得 ，
所以 ，
所以 ；
故A错误．
因为 ，
所以 ，则直线 ， 的斜率斜率分别为 ，，
所以 ，，
由 解得 即 ．
由题意知，直线 的斜率存在，可设直线 的方程为 ，
由 消去 得 ，
所以 ，，故D错误．
又 ，故C正确．
对B，当 的斜率为 时，，故 ，
故D正确．
故选：BC．
10. 【答案】A；C
【解析】由 得 ，则 ，
即 ，
设 ，
，，
即 在 单调递增，在 单调递减，
即当 时，函数 取得极小值 ．
故选：AC．
11. 【答案】A；C；D
【解析】 ，画出函数图象，如图所示：
根据图象知：函数 的最小正周期为 ；函数 在 上先增后减；函数 的图象关于直线 对称；函数 的值域是 ．
三、填空题（共3题，共15分）
12. 【答案】 ；
【解析】由已知，．
因为 ，
所以 ，
，
，
所以以上 个式子累加可得，，
因为 ，所以 ．
13. 【答案】 ；
【解析】因为 在 上是奇函数，
所以 ，
所以 ．
又因为 为奇函数，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
，
，
满足奇函数条件，综上 ，．
14. 【答案】
【解析】因为六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，
所以由捆绑法，可得 ．
四、解答题（共5题，共77分）
15. 【答案】
(1) 记“取出的 张卡片上的数字互不相同”为事件 ，则 ．
(2) 随机变量 的可能取值为 ，，，．
，，
，，
所以随机变量 的分布列为
16. 【答案】
(1) 因 ，故 ，
令 ，得 ，由已知 ，解得 ，
又令 ，得 ，由已知 ，解得 ，
因此 ，从而 ，
又因为 ，故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
(2) 由（Ⅰ）知，，从而有 ，
令 ，解得 ，，
当 时，，故 在 为减函数；
当 时，，故 在 为增函数；
当 时，，故 在 为减函数；
从而函数 在 处取得极小值 ，在 处取得极大值 ．
17. 【答案】
(1) 由题设，得
解得 ，．
所以椭圆 的方程为 ．
(2) 由题意，设直线 的方程为 ．
由 得 ．
由 ，得 ．
设 ，，则
，．
①当 时，直线 的方程为 ．
令 ，得点 的横坐标 ．
同理可得点 的横坐标 ．
因为 ，
所以 ．
所以 为 的中点．
②当 时，，．
直线 的方程为 ，可求得 ．
所以直线 的方程为 ，从而 ．
此时依然有 ．
综上， 为 的中点．
18. 【答案】
(1) 因为 ，，，，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．
(2) 如图，
作 ，则 ，
又因为 ，，
所以 ，．
又 ，
如图建立空间直角坐标系 ．
不妨设 ，则，，，，
所以 ，．
所以 ．
设直线 与 所成角为 ， 为锐角，
所以 ，
所以所求角 ．
(3) 因为 为棱 的中点，
所以 ，．
又 ，
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，则 ．
于是 ．
又因为平面 的法向量为 ，
所以 ．
由题知，二面角 为锐角，所以其余弦值为 ．
所以二面角 的大小为 ．
19. 【答案】
(1) 因为 ，故 ，
又 ，，
所以 ，
，
；
(2) 因为 ，， 构成公差不为 的等差数列，
所以 ，即 ，
所以 ，
则 ，
因为公差 ，故 ，
所以 ，
因为 ，，
故 ，解得 ，
经检验，此时 ，， 的公差不为 ，
所以存在 ，使得 ，， 构成公差不为 的等差数列；
(3) 因为 ，
又 ，所以令 ，
因为 ，，，，
将上述不等式全部相加可得，，即 ，
因此要使得 ，只需 ，
故只要取正整数 ，就有 ，
综上所述，当 时，位能找到 ，使得 ．岷县第一中学2025届高三临考冲刺卷（练习卷）
高三 数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
A． B． C． D．
设 （，）是数列 的前 项和，且 ，，则 等于
A． B． C． D．
已知向量 ，，， 为向量 在向量 上的投影向量，则
A． B． C． D．
设函数 在 的图象大致如图，则 的最小正周期为
A． B． C． D．
如图，在正方体 中，， 分别为 ， 的中点，则下列说法中错误是
A． B．
C．直线 与平面 所成的角为 D．异面直线 与 所成的角为
已知曲线 与曲线 恰好有两个不同的公共点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
已知 ， 是第四象限角，则
A． B． C． D．
已知函数 满足对任意的实数 都有 成立，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.
如图所示，抛物线 ， 为过焦点 的弦，过 ， 分别作抛物线的切线，两切线交于点 ，设 ，，，则下列结论正确的是
A．若 的斜率为 ，则
B．若 的斜率为 ，则
C．点 恒在平行于 轴的直线 上
D． 的值随着 斜率的变化而变化
设 为函数 的导函数，已知 ，，则下列结论不正确的是
A． 在 单调递增 B． 在 单调递增
C． 在 上有极大值 D． 在 上有极小值
设函数 ，则下列结论正确的是
A．函数 的最小正周期为 B．函数 在 上是单调增函数
C．函数 的图象关于直线 对称 D．函数 的值域是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
在数列 中，，，则 ，通项公式 ．
已知函数 为定义在区间 上的奇函数，则 ， ．
在市数学竞赛中，A，B，C三间学校分别有 名、 名、 名同学获一等，将这六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，那么不同的排法共有 种．
解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（13分）袋中装着标有数字 ，，，， 的卡片各 张，从袋中任取 张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用 表示取出的 张卡片上的最大数字，求：
(1) 取出的 张卡片上的数字互不相同的概率；
(2) 随机变量 的分布列．
（15分）设 的导数 满足 ，，其中常数 ．
(1) 求曲线 在点 处的切线方程；
(2) 设 ，求函数 的极值．
（15分）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
(1) 求椭圆 的方程；
(2) 过点 作斜率为 的直线交椭圆 于点 ，，直线 ， 分别交直线 于点 ，．求证： 为 的中点．
（17分）如图，在三棱锥 中，，，，．
(1) 求证：；
(2) 求直线 与 所成角的大小；
(3) 若 为校 的中点，求二面角 的大小．
（17分）已知函数 ，其中 ，定义数列 如下：，，．
(1) 当 时，求 ，， 的值；
(2) 是否存在实数 ，使 ，， 构成公差不为 的等差数列？若存在，请求出实数 的值；若不存在，请说明理由；
(3) 求证：当 时，总能找到 ，使得 ．

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