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参考答案
一、单项选择题（共8题，共40分）
1. 【答案】C
2. 【答案】C
3. 【答案】C
【解析】抛物线 ： 的焦点为 和准线 ：，作图如下：
由 ，可得 ，过 作 于 ，设 与 轴交于 ，则 ，
结合图形可发现三角形 与三角形 相似，则有对应线段成比例．
因为 ，
所以 ，，．
4. 【答案】A
【解析】因为 是第三象限角，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
5. 【答案】C
【解析】因为等比数列 的公比 ，
所以 ，，
所以 ，又 ，所以 ．
6. 【答案】B
7. 【答案】C
【解析】由题意设 ，，
则 ，．
因为 ，
所以 ，
解得 ，，
所以 ，
设 ，
则
两式作差可得 ，
所以 ，
又 ，即 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以椭圆的离心率 为 ．
8. 【答案】D
【解析】依题意，当 时， 恒成立，
令 ，，则 ，
又 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ．
故选：D．
二、多项选择题（共3题，共18分）
9. 【答案】A；B；C
【解析】函数 的最小正周期为 ，故A选项正确．
由 ，解得 ，所以函数 在区间 上单调递增，故B选项正确．
由于 ，所以直线 是图象 的一条对称轴，故C选项正确．
向右平移 得到 ，故D选项错误．
10. 【答案】A；B；C
【解析】如图所示，该几何体可补形为正方体，以 为坐标原点，，， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系．
由正方体的性质易得 ，故A正确．
该几何体的外接球与正方体的外接球相同，其外接球半径为 ，故外接球的表面积为 ，故B正确．
由题意可得 ，，，，，
所以 ，．
设平面 的法向量为 ．
由 得
令 ，得 ，，则 ．
当 为 的中点时，，
则 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，故C正确．
设 ，
则 ，
故当 时， 取得最小值，
且最小值为 ，故D错误．
11. 【答案】B；C；D
三、填空题（共3题，共15分）
12. 【答案】 ；
13. 【答案】
【解析】因为六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，
所以由捆绑法，可得 ．
14. 【答案】②④
四、解答题（共5题，共77分）
15. 【答案】
(1) 由正弦定理，得 ，
则 ，
因为 ，
则 ，
又 ，
所以 ．
(2) 由（）知：，又 ，
所以 ，
又 ，
根据正弦定理，得 ，
又 ，
则 ，
所以 ，．
16. 【答案】
(1) 列联表为
(2) 根据上述列联表可以求得 ，所以有 的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系．
17. 【答案】
(1) 因为底面 是菱形，
所以 ，
又因为 ，，
所以 ，
又因为 ，，， 四点共面，且 ，
所以 ．
(2) 取 中点 ，连接 ， ,
因为 ，
所以 ，
又因为 ，且 ，
所以 ,
所以 ．
在菱形 中，
因为 ，， 是 中点，
所以 ，
如图，建立空间直角坐直角坐标系，已知 ，则 ，，，，，，
又 ，点 是棱 的中点，
所以点 是棱 中点，
所以 ，，，，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，
所以 ，
不妨令 ，则平面 的一个法向量为 ，
因为 ，
所以 是平面 的一个法向量，
因为 ，
所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ．
18. 【答案】
(1) ．
(2) ，，设 ，由 ，结合图形可得
，此时直线 可设为：，由
（负舍）
19. 【答案】
(1) 当 时，，，，
设 图象上任意一点 ，
切线 斜率为 ，
过点 的切线方程为 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为 ，
所以与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关．
(2) 由题意，函数 的定义域为 ，
因为 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，
即当 ， 恒成立，
所以 ，
因为当 ，，当且仅当 时取等号，
所以当 时，，
所以 ，
所以 的取值范围为 ．
(3) 时，零点个数为 ；，零点个数为 ； 时，零点个数为 ．
【解析】
(3) 时， 零点个数为 ；， 零点个数为 ； 时， 零点个数为 ，显然 不是 的零点，
所以 ，
令 ， 且 ，
则 ，
，，
所以 在 单调递减，在 ， 单调递增，
所以在 时， 有极小值 ；在 时，，
所以 如图：
所以 时，零点个数为 ；，零点个数为 ； 时，零点个数为 ．环县第一中学2024-2025学年度第二学期高三模拟考试
高三 数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
设集合 ，，，则
A． B． C． D．
已知复数 ，则复数 的共轭复数
A． B． C． D．
已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线交 于点 ，与抛物线的一个交点为 ，且 则
A． B． C． D．
已知 是第三象限角，且 ，则
A． B． C． D．
设等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则
A． B． C． D．
如图，在平行四边形 中，点 是 的中点，若 ，，则
A． B． C． D．
已知椭圆 ，点 ， 在椭圆上，直线 过原点 ，过点 且垂直于 的直线交椭圆于点 ，过 点且垂直于 轴的直线交椭圆于点 ，直线 交 于点 ，若 ，则椭圆 的离心率 为
A． B． C． D．
若函数 ，当 时， 恒成立，则 的取值范围
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.
记函数 的图象为 ，则下列结论正确的是
A．函数 的最小正周期为
B．函数 在区间 上单调递增
C．直线 是图象 的一条对称轴
D．将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到图象
如图，四边形 是边长为 的正方形，，，且 ， 为线段 上的动点，则下列结论中正确的是
A．
B．该几何体外接球的表面积为
C．若 为 的中点，则
D． 的最小值为
关于函数 ，则下列结论正确的是
A．存在正实数 ，使得 恒成立
B．函数 有且只有 个零点
C． 是 的极小值点
D．对任意两个正实数 ，，且 ，若 ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
若 展开式的二项式系数之和为 ，则 ，其展开式中的含 项的系数为 ．（用数字作答）
在市数学竞赛中，A，B，C三间学校分别有 名、 名、 名同学获一等，将这六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，那么不同的排法共有 种．
写出下列命题中所有真命题的序号 ．
①两个随机变量线性相关性越强，相关系数 越接近 ；
②回归直线一定经过样本点的中心 ；
③线性回归方程 ，则当样本数据中 时，必有相应的 ；
④回归分析中，相关指数 的值越大说明残差平方和越小．
解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（13分） 的内角 ，， 的对边为 ，，，．
(1) 求 ；
(2) 若 ，，求 ，．
（15分）某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级 名学生某次考试的成绩（百分制）如下表所示：若数学成绩 分（含 分 )以上为优秀，物理成绩 分（含 分）以上为优秀.
(1) 根据上表完成下面的 列联表：
(2) 根据题（）中表格的数据计算，有多少的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？
附：①独立性检验临界值表：②独立性检验统计量 值的计算公式：
，其中 ．
（15分）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形，且 ．点 是棱 的中点，平面 与棱 交于点 ．
(1) 求证：；
(2) 若 ，且平面 ，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
（17分）已知椭圆 ，， 是其左右焦点，直线 过点 交椭圆 于 ， 两点，且 ， 在 轴上方，点 在线段 上．
(1) 若 是上顶点，，求 的值；
(2) 若 ，求点 的坐标；当原点 到直线 的距离为 时，写出此时直线 的方程．
（17分）设函数 ，．
(1) 设 是 图象的一条切线，求证：当 时， 与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；
(2) 若函数 在定义域上单调递减，求 的取值范围；
(3) 当 时，直接写出函数 零点的个数．

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