资源简介 2024-2025学年度第二学期期末考试（练习卷）高二 数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知函数 ，则A． B． C． D．甲、乙、丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为 ，，，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为A． B． C． D．已知随机变量 ，若 ，则A． B． C． D．如图，在四面体 中，，，， 为 的中点， 为 的中点，则 可用向量 ，， 表示为A． B． C． D．已知函数 的图象与 轴相切于点 ，则函数 的极小值为A． B． C． D．如图，在正方体 中，棱长为 ，， 分别为 和 上的点，，则 与平面 的位置关系是A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定从 ，，，，，，，， 中不放回地依次取 个数，事件 为“第一次取到的是奇数”， 为“第二次取到的是 的整数倍”，则A． B． C． D．已知函数 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线 的对称点在 的图象上，则实数 的取值范围是A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.已知函数 ，下列结论中正确的是A． 的图象关于 中心对称 B． 的图象关于 对称C． 的最大值为 D． 既是奇函数，又是周期函数甲罐中有 个红球， 个白球和 个黑球，乙罐中有 个红球， 个白球和 个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 ， 和 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是A． B．C．事件 与事件 相互独立 D． ，， 是两两互斥的事件如图，正方体 的棱长为 ，以下结论正确的是A．异面直线 与 所成的角为B．直线 与 垂直C．直线 与 平行D．三棱锥 的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ．设函数 ，若 ，，则 ，， 的大小关系是 ．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 名，其中种子选手 名；乙协会的运动员 名，其中种子选手 名．从这 名运动员中随机选择 人参加比赛，则事件“选出的 人中恰有 名种子选手，且这 名种子选手来自同一个协会”的概率为 ，设随机变量 为“选出的 人中种子选手的人数”，则 的数学期望为 ．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（13分）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，侧棱 的长为 ，且 与 ， 的夹角都等于 ， 是 的中点，设 ，，．(1) 试用 ，， 表示向量 ；(2) 求 的长．（15分）小李下班后驾车回家的路线有两条．路线 经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是 ；路线 经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是 ，第二个路口遇到红灯的概率是 ．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．(1) 若小李下班后选择路线 驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．(2) 假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加 ，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．（15分）已知函数 在 处有极值 ．（Ⅰ）求 ， 的值；（Ⅱ）证明：．（17分）如图， 且 ，， 且 ， 且 ，，．(1) 若 为 的中点， 为 的中点，求证：；(2) 求二面角 的正弦值；(3) 若点 在线段 上，且直线 与平面 所成的角为 ，求线段 的长．（17分）某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行测评，为了了解玩家对游戏的体验感，研究人员随机调查了 名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如图所示，其中 ．(1) 求这 名玩家测评分数的平均数；(2) 由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请 位游戏专家对游戏进行初测，如果 人中有 人或 人认为游戏需要改进，则公司将回收该款游戏进行改进；若 人中仅 人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请 位专家二测，二测时， 人中至少有 人认为游戏需要改进的话，公司将对该款游戏进行回收改进．已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为 ，且每款游戏之间改进与否相互独立．①对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率；②每款游戏聘请专家测试的费用均为 元/人，今年所有游戏的研发总费用为 万元，现对该公司今年研发的 款游戏都进行检测，假设公司的预算为 万元，判断这 款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明．参考答案一、单项选择题（共8题，共40分）1. 【答案】C2. 【答案】D【解析】所求事件的对立事件为“三人均未通过测试”，概率为 ，故至少一人通过测试的概率为 ．3. 【答案】A【解析】由已知 ，所以 ，故选：A．4. 【答案】B5. 【答案】A【解析】 ，由题知 ，又 ，联立两个方程，解得 ，，所以 ，，令 ，解得 或 ，经检验，知 是函数的极小值点，所以 ．6. 【答案】B【解析】因为正方体棱长为 ，，所以 ，，所以又因为 是平面 的 法向量，且 ，所以 ，所以 ．7. 【答案】B8. 【答案】A【解析】可求得直线 关于直线 的对称直线为 ，当 时，，，当 时，，则当 时，， 单减，当 时，， 单增；当 时，，，当 ，，当 时， 单减，当 时， 单增；根据题意画出函数大致图象，如图：当 与 相切时，得 ，解得 ；当 与 相切时，满足 解得 ，，结合图象可知 ，即 ，．二、多项选择题（共3题，共18分）9. 【答案】A；B；D【解析】对于A，因为 ，，所以 ，可得 的图象关于 中心对称，故A正确；对于B，因为 ，，所以 ，可得 的图象关于直线 对称，故B正确；对于C，化简得 ，令 ，，，因为 的导数 ，所以当 ， 时，，函数 为减函数；当 时，，函数 为增函数．因此函数 的最大值为 或 ，结合 ，可得 的最大值为 ．由此可得 的最大值为 而不是 ，故C不正确；对于D，因为 ，所以 是奇函数．因为 ，所以 为函数 的一个周期，得 为周期函数．可得 既是奇函数，又是周期函数，得D正确．10. 【答案】B；D【解析】易见 ，， 是两两互斥的事件，．11. 【答案】A；B；D【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．A中，，，，，所以 ，，所以 ，所以异面直线 与 所成的角为 ．B中，，，，所以直线 与 垂直．C中，，因为 ，所以直线 与 垂直，不平行；D中，三棱锥 的体积 ．综上可知，只有C不正确．故选ABD．三、填空题（共3题，共15分）12. 【答案】【解析】因为随机变量 服从正态分布 ，所以正态分布密度曲线关于直线 对称．因为 ，所以 ．所以 ．13. 【答案】14. 【答案】 ；【解析】记“选出的 人中恰有 名种子选手，且这 名种子选手来自同一个协会”为事件 ，由已知，有 ，所以事件 发生的概率为 ．随机变量 的所有可能取值为 ，，，．．所以随机变量 的分布列为：随机变量 的数学期望 ．四、解答题（共5题，共77分）15. 【答案】(1) 因为 是 的中点，所以 ．因为 ，，所以 ，结合 ，，，得 ．(2) 因为 ，，所以 ，．因为 ，，所以 ，．由（）知 ，所以所以 ，即 的长等于 ．16. 【答案】(1) 设路线 遇到红灯的个数的随机变量为 ，则 ，所以至少遇到一个红灯的事件为 ，由对立事件概率公式，得 ，所以若小李下班后选择路线 驾车回家，至少遇到一个红灯的概率为 ．(2) 设路线 累计增加时间的随机变量为 ，则 ，所以 ，设路线 第 个路口遇到红灯为事件 ，则 ，，设路线 累计增加时间的随机变量为 ，则 的所有可能取值为 ，，，则，，，所以 ，因为 ，所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小，小李应选择路线 ．17. 【答案】（Ⅰ），，由已知可得， 即所以经检验符合题意，所以（Ⅱ）原不等式转化为 ，设 ，那么 ，令 ，解得 ，当 变化时，， 的变化情况如表所示：所以，当 时， 取得最小值，所以 ，即 ，所以 ．18. 【答案】(1) 依题意，可以建立以 为原点，分别以 ，， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得 ，，，，，，，，．依题意 ，．设 为平面 的法向量，则 即不妨令 ，可得 ．又 ，可得 ，又因为直线 ，所以 ．(2) 依题意，可得 ，，．设 为平面 的法向量，则 即不妨令 ，可得 ，设 为平面 的法向量，则 即不妨令 ，可得 ．因此有 ，于是 ．所以，二面角 的正弦值为 ．(3) 设线段 的长为 ，则点 的坐标为 ，可得 ．易知， 为平面 的一个法向量，故 ，由题意，可得 ，解得 ．所以线段 的长为 ．19. 【答案】(1) 依题意 ，故 ，而 ，联立两式解得 ，，所求平均数为 ．(2) ①因为一款游戏初测被认定需要改进的概率为 ，一款游戏二测被认定需要改进的概率为 ，所以某款游戏被认定需要改进的概率为②设每款游戏的测评费用为 元，则 的可能取值为 ，，，，故 ，令 ，，．当 时，， 在 上单调递增，当 时，， 在 上单调递减，所以 的最大值为 ，所以实施此方案，最高费用为 ，故所需的最高费用将超过预算． 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2024-2025学年度第二学期期末考试（练习卷）高二数学.docx 参考答案.docx
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