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2024-2025学年高二下学期期中考数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，则.
故选:C.
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【详解】因为，所以存在实数，使得，即，
所以，解得，，
所以.
故选：B.
4．若函数在上单调递增，则实数的最大值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【详解】，求导得，
由在上单调递增，得，
又当，，则，
又时，在上单调递增，
所以实数的最大值为2.
故选：D．
5. 如图，在三棱柱中，G是与的交点，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由空间向量线性运算即可求解.
【详解】因为为三棱柱，所以，
.
故选：.
6．若随机变量服从二项分布，且，则（ ）
A．39 B．50 C．63 D．68
【答案】C
【详解】随机变量服从二项分布，且，
，
，
，
．
故选：C．
7. 如图，在长方体中，，，P，M分别为线段BC，的中点，Q，N分别为线段，AD上的动点，若，则线段QN的长度的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】如图，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为P，M分别为BC，的中点，所以，，
因为Q，N分别为线段，AD上的动点﹐
所以可设，，
所以，.
由，得，即，即，
由，
得，
当时，.
故选：D.
8．已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，可得，
构建，
若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点，
因为，
令，解得；令，解得或；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，极大值，
且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0，
可得图象，如图所示：
由函数图象可得.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. -2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点
B. 0是函数的极小值点
C. 函数的单调递增区间是
D. 函数的单调递减区间是
【答案】BC
【详解】由题意可得，当时，，
当时，，
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以0是函数的极小值点，所以B，C正确，A，D错误.
故选：BC
10．下列说法中，正确的有（ ）
A．若随机变量的数学期望，则
B．若随机变量的方差，则
C．将一枚正方体骰子抛掷5次，记1点向上的次数为，则服从两点分布
D．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为，则服从超几何分布
【答案】ABD
【知识点】利用二项分布求分布列、均值的性质、方差的性质、超几何分布的分布列
【分析】根据离散型随机变量的均值与方差的性质公式，以及二项分布与超几何分布的概念，可得答案.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C错误；
对于D，根据超几何分布的概念可知随机变量服从超几何分布，故D正确．
故选：ABD．
11．在棱长为2的正方体中为CD的中点，是的中点，是侧面内的一动点（不包含四个顶点），则下列结论正确的是（ ）
A．点到平面的距离为 B．三棱锥体积是定值，定值为1
C．存在点，使得平面 D．存在点，使得且
【答案】ACD
【知识点】锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法
【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量结合点到平面距离判断A,应用等体积结合三棱锥体积公式计算判断B,设点的坐标，应用线面平行的向量关系及线线垂直的向量关系分别计算求解判断C,D.
【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量，则，取，得，
所以点到平面的距离为，A选项正确；
，B选项错误；
设，，，则，，
则
设平面的法向量，则，取，得，
当，即时，平面,C选项正确；
因为，
则，，
则所以，当时满足得且，D选项正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量的夹角的余弦值为，则 .
【答案】
【知识点】求空间向量的数量积
【分析】先根据数量积的定义可得，结合数量积的运算律分析求解.
【详解】由题意可得，
所以．
故答案为：.
13．已知，则 .
【答案】
【分析】利用对立事件的概率公式得到，结合全概率公式求出答案.
【详解】，
故，
.
故答案为：
14．函数的最小值为______.
【答案】1
【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15．（13分）已知函数（），且．
(1)求的解析式；
(2)求函数的图象在点处的切线方程．
【详解】（1）由，得，
又，所以，解得，即．
（2）由（1），得，，
所以，即切点为，
又切线的斜率为，
所以函数的图象在点处的切线方程为，
即．
16．（15分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为．
(1)记表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
【详解】（1）的所以可能取值有，
,
,
,
,
所以的分布列为：
0 1 2 3
故
（2）表示第一辆车遇到的红灯个数，表示第二辆车遇到的红灯个数，
则
17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，
(1)求证：平面；
(2)若与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）因为四边形是菱形，则为的中点，
且所以，
又，且平面，
所以平面.
（2）设菱形的边长为，，，
由（1）知平面，∴与平面所成的角为，
得到，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量，则，
即，令，则，所以，
设平面的法向量，则，
即，令，则，所以，
设平面与平面的夹角为，
所以
则平面与平面夹角的余弦值为.
18.（17分）某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在，两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子．
(1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率；
(2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率．
【详解】（1）设事件表示“甲第次从箱中取到论述题”，，
则；
（2）设事件为“丙从箱中取出的第一道题是选择题”，
事件为“乙从箱中取出2道选择题”，
事件为“乙从箱中取出1道选择题和1道论述题”，
事件为“乙从箱中取出2道论述题”，
则，，，
则
，
即丙取出的第一道题是选择题的概率为.
19．（17分）已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，，则．
【详解】（1）由题意知函数的定义域为，
解得，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，所以，解得，
所以的取值范围为．
（2）不妨设，则由（）知，，
构造函数，
则，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，即当时，，
所以，
又在上单调递减，
所以，即．2024-2025学年高二下学期期中考数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合要求的.
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4．若函数在上单调递增，则实数的最大值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5. 如图，在三棱柱中，G是与的交点，若，，，
则（ ）
A. B.
C. D.
6．若随机变量服从二项分布，且，则（ ）
A．39 B．50 C．63 D．68
7. 如图，在长方体中，，，P，M分别为线段BC，
的中点，Q，N分别为线段，AD上的动点，若，则线段QN的长度的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. -2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点
B. 0是函数的极小值点
C. 函数的单调递增区间是
D. 函数的单调递减区间是
10．下列说法中，正确的有（ ）
A．若随机变量的数学期望，则
B．若随机变量的方差，则
C．将一枚正方体骰子抛掷5次，记1点向上的次数为，则服从两点分布
D．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为，则服从超几何分布
11．在棱长为2的正方体中为CD的中点，是的中点，是侧面内的一动点（不包含四个顶点），则下列结论正确的是（ ）
A．点到平面的距离为 B．三棱锥体积是定值，定值为1
C．存在点，使得平面 D．存在点，使得且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量的夹角的余弦值为，则 .
13．已知，则 .
14．函数的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15．（13分）已知函数（），且．
(1)求的解析式；
(2)求函数的图象在点处的切线方程．
16．（15分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口
遇到红灯的概率分别为．
(1)记表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，
(1)求证：平面；
(2)若与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.
18.（17分）某校团委开展知识竞赛活动．现有两组题目放在，两个箱子中，箱中有6道选择题和3道论述题，箱中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子．
(1)若同学甲从箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率；
(2)若同学乙从箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了箱，接着同学丙从箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率．
19．（17分）已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，，则．

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