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八年级数学《暑假作业 新课程无忧衔接》（苏科版）
考点08一元二次方程的解法【新课程无忧衔接】
【知识点梳理】
一元二次方程的解法
1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；
2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；
值得注意的几个问题：
（1）开平法：对于形如x =n或（ax+b） =n(a≠0)的一元一次方程，即一元一次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解。
（2）配方法：通过配方的方法把一元一次方程转化为（x+m） =n的方程，再运用开平方法求解。
（3）公式法：一元一次方程ax +bx +c=0(a≠0)的根
当b -4ac>0时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等
当b -4ac=0时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为
当b -4ac<0时，方程无实根解
因式分解法：因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。
【新课程预习练·无忧衔接】
一、单选题
1．对任意实数x，点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】由，解得,分情况讨论的符号．根据点在平面直角坐标系中各个象限坐标的符号特点解答即可．
【详解】
解：,
解得,
（1）当-2＜x＜0时，x+2＞0，x＜0，x 2+2x=x（x+2）＜0，故点P在第三象限；
（2）当x＞0时， x 2+2x=x（x+2）＞0，故点P在第一象限；
（3）当x＜-2时，x+2＜0,x 2+2x=x（x+2）＞0，点P在第二象限．
（4）当时点P（x, ）为P（0，0）或（-2，0）在x轴上，
故对任意实数x，点P可能在第一、二、三象限或x轴上，一定不在第四象限，
故选D．
【点睛】考查象限点的特征，根据点的横坐标的取值范围，分类考虑函数值的符号是解题关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，直线与函数的图象交于点，与轴交于点．若点的横坐标是点的横坐标的2倍，则的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】D
【分析】根据直线与函数有交点，解方程组求解交点坐标，再使用待定系数法求出k．
【详解】
解：与相交，
∴k＞0，设A坐标为 ，B坐标为，
代入得
∴
∴（舍去）或，
故答案选：D
【点睛】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法是解题关键．
3．关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】先计算判别式，再根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案．
【详解】
△=[-（k-3）]2-4（-k+1）
=k2-6k+9+4k-4
=（k-1）2+4，
∵（k-1）2≥0，
∴（k-1）2+4≥4，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】考查的是根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
4．定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】C
【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决．
【详解】
解：∵[x2+1，x]※[5 2k，k]=0，
∴．
整理得，．
∵方程有两个实数根，
∴判别式且．
由得，，
解得，．
∴k的取值范围是且．
故选：C
【点睛】考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点
5．如图，，是反比例函数图象上的两点，是反比例函数图象上一点，连接，，，若，恰好经过原点，与轴交于点，则k的值为（ ）
A． B． C．－8 D．－10
【答案】C
【分析】先求得A点坐标，进而根据待定系数法求得直线AC、AB的解析式，进一步求得直线BC的解析式，与直线AB联立，解方程组求得B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得关于k的方程，解方程即可求得．
【详解】
∵A(2，m)是反比例函数(x>0)图象上一点，
∴2m=-2，∴ m=-1， ∴A(2，-1)，
∵AC恰好经过原点，
∴直线AC为y=-x，
解 ，得 或 （舍去），
∴C（，），
∵AB与y轴交于点D(0，5)，
∴设直线AB的解析式为y=kx+5，
代入A的坐标得，-1=2k+5，解得k=-3，
∴直线AB为y=-3x+5，
∵∠BCA=90°，
∴设直线BC的解析式为y=2x+b
把C 代入得，
解得 b= ，
∴直线BC为y=2x+ ，
解 ，得 ，
∴B ，
∵B是反比例函数(x<0)图象上的点，
∴k=(1-)(2+)，
整理得， +8x+16=0，
解得=-8，=-2(不合题意，舍去)，
经检验为方程的根，
∴k=-8，
故选：C．
【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，表示出点的坐标是解题的关键．
6．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用x2＝x+1，得x2+x+1＝（x+1）+x+1＝2x+2，用一元二次方程求根公式得x＝，且x＞0，所以x取，代入即可求得．
【详解】
解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x＝，且x2＝x+1，
∴x3+1＝x x2+1
＝x（x+1）+1
＝x2+x+1
＝（x+1）+x+1
＝2x+2，
∵x＞0，
∴，
故选：D．
【点睛】考查了整体降次的思想方法，但降次后得到的是x的代数式，还要利用一元二次方程求根公式求出x的值，代入化简后的2x+2中计算出结果．
7．对于函数，我们定义（，为常数）．例如：，则．已知：，若方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】D
【分析】先求出，再利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】
解：由题意得：，即，
方程有两个相等的实数根，
此方程根的判别式，
解得，
故选：D．
【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，根据新定义求出是解题关键．
8．定义；如果一元二次方程(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“蜻蜓”方程．已知关于x的方程(a≠0)是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（ ）
A．a=c≠b B．a=b≠c C．b=c≠a D．a=b=c
【答案】A
【分析】由条件可知a+b+c=0，再根据方程根的判别式得到到b2-4ac=0，整理可得出结论．
【详解】
解：由条件可知a+b+c=0，
所以-b=a+c，
又因为方程有两个相等的实数根，
所以△=0，即b2-4ac=0，
所以（a+c）2-4ac=0，
整理可得（a-c）2=0，
所以a=c，
所以，a=c≠b
故选：A．
【点睛】考查一元二次方程判别式与根的情况的判定，由条件到到知a+b+c=0和b2-4ac=0是解题的关键．
9．已知，是一元二次方程的两不相等的实数根，且，则的值是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用判别式的意义得到m＞ ，再根据根与系数的关系的，，则由可得，然后解关于m的方程，最后确定满足条件的m的值．
【详解】
解：根据题意得△＝＞0，
解得m＞ ，
根据根与系数的关系的，，
∵，
∴，
∴，
整理得，解得，，
∵m＞ ，
∴m的值为．
故选：C．
【点睛】考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
10．对于实数 a，b，定义运算“#”如下：a#b＝a2－ab，如：3#2＝32－3×2＝3，则方程（x＋1）#3＝2的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】本题根据题目所给新定义将方程（x＋1）#3＝2变形为一元二次方程的一般形式，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可．
【详解】
解：根据题意得（x＋1）#3＝2可以变形为：
，
提公因式可得：
，
化简得：
，
，
，
根据根的判别式可知该方程有两个不等的实数根．
故选D．
【点睛】考查新定义运算，将新定义方程化为一元二次方程的一般形式，根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，注意时有两个不相等的实数根；时有一个实数根或两个相等的实数根；时没有实数根．
11．当时，关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】计算根的判别式，利用k的取值范围进行判断其符号即可求得答案．
【详解】
解：∵在一元二次方程中a=1，b=4，c=-k，
∴，
∵当时，，
∴方程有两个不等的实数根，
故选：B．
【点睛】考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
12．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，得一元二次方程的根的判别式大于零，建立不等式求解即可．
【详解】
∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△＝＞0，
∴＞0，
∴，
故选D．
【点睛】考查了一元二次方程根的判别式
二、填空题
13．已知：如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C在x轴上，点A的坐标为，经过点A的反比例函数图象交于点D，则的长为__________．
【答案】
【分析】先根据点的坐标、菱形的性质求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式、直线的解析式、直线的解析式，然后将直线的解析式与反比例函数的解析式联立求解可得点的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可得．
【详解】
解：四边形是菱形，，
，，
，
设反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
则反比例函数的解析式为，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
则直线的解析式为，
又，
可设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得或，
点位于第一象限，
，
则，
故答案为：．
【点睛】考查了反比例函数与一次函数的综合、解一元二次方程、菱形的性质等知识点，熟练掌握待定系数法和菱形的性质是解题关键．
14．如图，反比例函数的图象经过第二象限内的点，若，则__________ ．
【答案】-6．
【分析】根据点在反比例函数的图象上得出，设，由，利用勾股定理，解方程即可．
【详解】
解：点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
设，，
又∵，
∴，
解得：，
∵点在第二象限内，
∴，
∴．
故答案为：-6．
【点睛】考查待定系数法求反比例函数解析式，利用反比例函数确定关系，利用勾股定理建立方程是解题关键．
15．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数同时满足，求代数式的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当时，a的值是__________．
（2）当时，代数式的值是__________．
【答案】或1 7
【分析】
（1）将代入解方程求出，的值，再代入进行验证即可；
（2）当时，求出，再把通分变形，最后进行整体代入求值即可．
【详解】
解：已知，实数，同时满足①，②，
①-②得，
∴
∴或
①+②得，
（1）当时，将代入得，
解得，，
∴，
把代入得，3=3，成立；
把代入得，0=0，成立；
∴当时，a的值是1或-2
故答案为：1或-2；
（2）当时，则，即
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：7．
【点睛】考查了用因式分解法解一元二次方程
16．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为________．
【答案】
【分析】先利用得到，再利用的一次式表示出和，则化为，然后解方程得，从而得到的值．
【详解】
解：，
，
，
，
解方程得，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．
三、解答题
17．通过“列表、描点、连线”画出函数图象，观察图象得出函数的性质是研究函数的常用方法．某兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）函数的自变量取值范围是______．
（2）列表：
… 0 2 3 4 5 …
… 6 2 …
则表中的值为_______．
（3）描点，连线：根据表中数据，在如图所示平面直角坐标系中描点，并画出函数图象．
（4）观察函数图象，写出该函数的一条性质：______．
（5）直线与函数的图象的交点个数是______个．
【答案】（1）；（2）3；（3）见解析；（4）①图像在第一象限随增大而减小，②图像关于点（1，0）成中心对称；（5）1
【分析】
（1）由分式有意义分母不为零即可
（2）把x=3时代入函数解析式求值即可；
（3）根据表格在平面直角坐标系中描出下列个点，用平滑曲线连接，
（4）①图像在第一象限随增大而减小，②图像关于点（1，0）成中心对称；
（5）联立方程组 消去y整理得，△=0，方程有等根即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）当x=3时，，
故答案为：3；
（3）根据表格在平面直角坐标系中描出下列个点
（-3，），（-2，-2），（-1,-3），（0，-6），（2，6），（3，3），（4，2），（5，），
用平滑曲线连接，
（4）①图像在第一象限随增大而减小，②图像关于点（1，0）成中心对称；
（5）联立方程组，
消去y得，
去分母得整理得，
△=，
∴方程有两个相等的根，
∴x=7，
∴经检验x=7是原方程的根，
直线与函数的图象的交点个数是1．
故答案为：1．
【点睛】考查函数自变量取值范围，函数值，画函数图像，函数的性质，图像的交点个数，一元二次方程，掌握函数自变量取值范围，函数值，画函数图像，函数的性质，图像的交点个数，一元二次方程是解题关键．
18．背景：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，分别在射线上取点，使得四边形为正方形．如图1，点A在第一象限内，当时，小李测得．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
（1）求k的值．
（2）设点的横坐标分别为，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．
③过点作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．
【答案】（1）4；（2）①；②图见解析，性质如下（答案不唯一）：函数的图象是两个分支组成的曲线；函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称；当时，函数值z随自变量x的增大而增大，当时，函数值z随自变量x的增大面增大；③2，3，4，6．
【分析】
（1）利用待定系数法解题；
（2）①设点A坐标为，继而解得点D的横坐标为，根据题意解题即可；②根据解析式在网格中描点，连线即可画出图象，根据图象的性质解题；③分两种种情况讨论，当过点的直线与x轴垂直时，或当过点的直线与x轴不垂直时，结合一元二次方程解题即可．
【详解】
解：（1）由题意得，，
点A的坐标是，所以；
（2）①设点A坐标为，所以点D的横坐标为，
所以这个“Z函数”表达式为；
②画出的图象如图：
性质如下（答案不唯一）；
（a）函数的图象是两个分支组成的，是两条曲线
（b）函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称．
（c）当时，函数值z随自变量x的增大而增大，当时，函数值z随自变量x的增大面增大．
③第一种情况，当过点的直线与x轴垂直时，；
第二种情况，当过点的直线与x轴不垂直时，设该直线的函数表达式为，
，即，
，
由题意得，
，
（a）当时，，解得；
（b）当时，，
解得，
当时，．解得；
当时，，解
所以x的值为．
【点睛】考查反比例函数的图象与性质、求一次函数的解析式、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
19．一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点
（1）求一次函数的解析式
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值
【答案】（1）一次函数y=，（2）．
【分析】
（1）利用点A(2，3)，求出反比例函数，求出 B(6，1)，利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）利用平移求出y=，联立，求出P(-6,-1),Q(-2,-3),在Rt△MON中，由勾股定理MN=,PQ=即可．
【详解】
解：（1）∵反比例函数的图象过A(2，3)，
∴m=6,
∴6n=6，
∴n=1，
∴B（6,1）
一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，1)两点，
∴，
解得，
一次函数y=，
（2）直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，得y=，
当y=0时，，，当x=0时，y=-4，
∴M（-8，0），N（0，-4），
，
消去y得，
解得，
解得，，
∴P(-6,-1),Q(-2,-3),
在Rt△MON中，
∴MN=,
∴PQ=，
∴．
【点睛】考查待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理，掌握待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理是解题关键．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．
【答案】（1）见解析；（2）k=3
【分析】
（1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案；
（2）根据△ABC的两边AC、BC的长是这个方程的两个实数根，则3是方程的一个根，代入方程即可求出k的值．
【详解】
解：（1）∵△=[﹣(k+1)]2﹣4×1×(2k﹣3)
=k2+2k+1﹣8k+12
=(k-3)2+4，
∵无论k为何实数，(k-3)2≥0，
∴(k-3)2+4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵AC、BC为方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3=0的两个实数根，
由（1）可得，AC≠BC，
∵△ABC为等腰三角形，
∴AC=AB=3或BC=AB=3，
∴方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3＝0必有一根为x=3，
∴32﹣3(k+1)+2k﹣3=0，
解得k=3．
【点睛】考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根．
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考点08一元二次方程的解法【新课程无忧衔接】
【知识点梳理】
一元二次方程的解法
1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；
2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；
值得注意的几个问题：
（1）开平法：对于形如x =n或（ax+b） =n(a≠0)的一元一次方程，即一元一次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解。
（2）配方法：通过配方的方法把一元一次方程转化为（x+m） =n的方程，再运用开平方法求解。
（3）公式法：一元一次方程ax +bx +c=0(a≠0)的根
当b -4ac>0时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等
当b -4ac=0时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为
当b -4ac<0时，方程无实根解
因式分解法：因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。
【新课程预习练·无忧衔接】
一、单选题
1．对任意实数x，点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，直线与函数的图象交于点，与轴交于点．若点的横坐标是点的横坐标的2倍，则的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
3．关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
4．定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
5．如图，，是反比例函数图象上的两点，是反比例函数图象上一点，连接，，，若，恰好经过原点，与轴交于点，则k的值为（ ）
A． B． C．－8 D．－10
6．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．对于函数，我们定义（，为常数）．例如：，则．已知：，若方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
8．定义；如果一元二次方程(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“蜻蜓”方程．已知关于x的方程(a≠0)是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（ ）
A．a=c≠b B．a=b≠c C．b=c≠a D．a=b=c
9．已知，是一元二次方程的两不相等的实数根，且，则的值是（ ）
A．或 B． C． D．
10．对于实数 a，b，定义运算“#”如下：a#b＝a2－ab，如：3#2＝32－3×2＝3，则方程（x＋1）#3＝2的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
11．当时，关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
12．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知：如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C在x轴上，点A的坐标为，经过点A的反比例函数图象交于点D，则的长为__________．
14．如图，反比例函数的图象经过第二象限内的点，若，则__________ ．
15．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数同时满足，求代数式的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当时，a的值是__________．
（2）当时，代数式的值是__________．
16．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为________．
三、解答题
17．通过“列表、描点、连线”画出函数图象，观察图象得出函数的性质是研究函数的常用方法．某兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）函数的自变量取值范围是______．
（2）列表：
… 0 2 3 4 5 …
… 6 2 …
则表中的值为_______．
（3）描点，连线：根据表中数据，在如图所示平面直角坐标系中描点，并画出函数图象．
（4）观察函数图象，写出该函数的一条性质：______．
（5）直线与函数的图象的交点个数是______个．
18．背景：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，分别在射线上取点，使得四边形为正方形．如图1，点A在第一象限内，当时，小李测得．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
（1）求k的值．
（2）设点的横坐标分别为，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．
③过点作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．
19．一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点
（1）求一次函数的解析式
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值．
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