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八年级数学《暑假作业 新课程无忧衔接》（苏科版）
考点09一元二次方程的根与系数的关系【新课程无忧衔接】
【学习目标】
1. 学会运用一元二次方程根的判别式
2. 熟悉掌握一元二次方程的根与系数的关系以及运用.
【知识点梳理】
一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形
【新课程预习练·无忧衔接】
一、单选题
1．若是方程的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据根与系数的关系即可求解．
【详解】
设方程的另一个根为x1，
则-1+x1=-=-3
∴x1=-2
故选B．
【点睛】考查方程的根，解题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系．
2．已知，为一元二次方程的两根，那么的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】利用一元二次方程解的定义和韦达定理可得，，将整理成，代入即可求解．
【详解】
解：∵，为一元二次方程的两根，
∴，，
∵，
故选：C．
【点睛】考查一元二次方程的解、韦达定理，掌握一元二次方程的解的定义和韦达定理是解题的关键．
3．若和为一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，化简代入求值即可．
【详解】
和为一元二次方程的两个根
．
故选A．
【点睛】考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解，代数式求值，利用一元二次方程根与系数的关系求出是解题的关键．
4．若是方程的一个根，则方程的另一个根是（　　）
A．3 B．4 C．﹣3 D．－4
【答案】A
【分析】设另一根为 结合是方程的一个根，由根与系数的关系可得：从而可得答案．
【详解】
解： 是方程的一个根，设另一根为
即方程的另一个根是
故选：
【点睛】考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
5．若a，b是方程的两根，则的值为（ ）
A．2018 B．2017 C．2016 D．2015
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，得，，进而即可求解．
【详解】
∵a，b是方程的两根，
∴，即：，，
∴=，
故选：C．
【点睛】考查一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，掌握（a≠0）的两个根x1，x2，则x1+x2=，x1 x2=，是解题的关键．
6．已知关于x的一元二次方程有一个根是x1=3，则另一个根x2是（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．1 D．2
【答案】C
【分析】利用根与系数的关系即可求出另一根．
【详解】
解：∵方程有一个根是x1=3，另一个根x2，
∴3+x2==4，即x2=1，
即方程另一根x2是1．
故选：C．
【点睛】考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关键是解本题的关键．
7．设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】C
【分析】由一元二次方程根与系数的关系，得到，然后求出，然后代入计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴
．
故选：C．
【点睛】考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．
8．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，下列结论一定正确的是（　　）
A．x1+x2＞0 B．x1．x2＞0 C．x1＜0，x2＜0 D．x1﹣x2≠0
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1x2，x1+x2的值，分析后即可判断A项，B项，C项是否符合题意，结合判别式公式，求该方程的判别式，根据正确情况即可判断D项是否符合题意，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意得：
x1x2＝﹣2＜0，
即x1和x2异号，
即选项B和选项C不合题意，
x1+x2＝a，
∵a的值可能为正，可能为负，也可能为0，
∴A项不合题意，
∵△＝a2+8＞0，
∴方程的两根不相等，
即x1﹣x2≠0，
即D项符合题意，
故选：D．
【点睛】考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系，根的判别式公式是解题的关键．
9．已知关于的一元二次方程，当时，该方程解的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
【答案】A
【分析】计算根的判别式，根据k的范围，判断判别式的属性，根据性质求解即可．
【详解】
解：∵一元二次方程，
∴△= =16+4k，
∵，
∴，
∴16+4k＞0，
∴△＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】考查一元二次方程根的判别式，熟记公式，并根据字母范围确定判别式的属性是解题的关键．
10．设关于的方程的两个实数根为、，现给出三个结论：①；②；③则正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式和完全平方公式进行判断即可.
【详解】
①∵方程 x2 (a+b)x+ab 1=0 中，△=（a+b）2﹣4（ab﹣1）=（a﹣b）2+4＞0，
∴x1≠x2；故①正确；
②∵x1x2=ab﹣1＜ab；故②正确；
③∵x1+x2=a+b，即（x1+x2）2=（a+b）2；
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2
=（a+b）2﹣2ab+2=a2+b2+2＞a2+b2，
即x12+x22＞a2+b2；故③错误；
综上所述，正确的结论的个数是：2，
故选：B.
【点睛】考查一元二次方程的根与系数的关系，以及根的判别式，完全平方公式，解题的关键是，熟记根的判别式，两根之和，与两根之积，与各项系数之间的关系.
11．定义运算：．若是方程的两根，则的值为（　　　）
A．0 B．1 C．2 D．与有关
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系根据得到结论．
【详解】
解：∵a、b是方程的两根，
∴a+b=1，，
∴=b（1-b）-a（1-a）=b-b2-a+a2=（a-b）（a+b-1）=0，
故选：A．
【点睛】考查了有理数的混合运算以及因式分解法解一元二次方程，正确利用新定义得出是解题关键．
12．一元二次方程的两实数根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【详解】
解：∵一元二次方程x2+2x-6=0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2=-2．
故选：B．
【点睛】考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=- ，x1x2=．
二、填空题
13．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
【答案】-3．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，则，根据根与系数的关系得出，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【详解】
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴
=
=1+2×（-2）
=-3
故答案为：-3．
【点睛】考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．
14．已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵一元二次方程的两根分别为m，n
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】考查一元二次方程的知识
15．关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为 ________
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1＋x2＝4，代入代数式计算即可．
【详解】
解：∵x1＋x2＝4，
∴x1＋3x2＝x1＋x2＋2x2＝4＋2x2＝5，
∴x2＝，
把x2＝代入得：（）2－4×＋m＝0，
解得：m＝．
故答案为：．
【点睛】考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1＋x2＝－，x1 x2＝是解题的关键．
16．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12＋4x1x2＋x22的值是_____．
【答案】2
【分析】先将所求代数式配方，再根据根与系数的关系即可求解．
【详解】
解：根据题意得x1＋x2＝4，x1 x2＝﹣7，
所以，x12＋4x1x2＋x22，
＝（x1＋x2）2＋2x1 x2，
＝16﹣14，
＝2．
故答案为:2．
【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和，两根之积公式是解题的关键．
三、解答题
17．若是关于x的一元二次方程的两个根，则．现已知一元二次方程的两根分别为m，n．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）-1．
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系得到．
（1）把，代入，即可求出的值；
（2）把，代入，得到．利用整体代入即可求解．
【详解】
解：∵已知一元二次方程的两根分别为m，n，
∴．
（1）当时，
，
解得，
经检验，是方程的根，
∴；
（2）当时，
．
∴．
【点睛】考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到是解题关键．
18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围：
（2）若，求的值．
【答案】（1）k>3；（2）8
【分析】
（1）根据一元二次方程有两个不相等实数根则判别式为正，即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可求得k的取值范围；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系，把表示为两根的和与两根的积的代数式，得到关于k的方程，解方程即可求得k．
【详解】
（1）由题意，得：
解不等式，得：k>3
即当k>3时，方程有两个不相等的实数根
（2）由一元二次方程根与系数的关系，得：，
∵，
∴
解得：，
由（1）知，方程有两个不相等的实数解，则k>3，故k=-2不合题意，舍去
所以k=8
【点睛】考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
19．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果符合条件的最大整数k是关于y的一元二次方程的一个根，求该方程的另一个根．
【答案】（1）k＜4且k≠2；（2）-1
【分析】
（1）根据题意可得根的判别式△＞0，列出不等式求解即可；
（2）根据k的最大值为3，根据题意先求出m的值，然后解一元二次方程即可求得答案．
【详解】
解：（1）由该一元二次方程有两个不相等的实数根得
且△
解得：k < 4
由二次项系数不为0得
，即；
∴；
（2）由题意的，
把y = 3 代入得
，
解得：；
把带入得
，
解得：，
∴该方程另一根；
【点睛】考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的知识解答．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若已知方程的一个根为﹣2，求方程的另一个根以及m的值．
【答案】（1）见解析；（2）方程的另一根为，m的值为
【分析】
（1）由△＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）＝（m+1）2+4＞0可得答案；
（2）设方程的另外一根为a，根据一元二次方程根与系数的关系得出，解之即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵△＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）
＝m2+6m+9﹣4m﹣4
＝m2+2m+1+4
＝（m+1）2+4＞0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另外一根为a，
根据题意，得：，
解得：，
所以方程的另一根为，m的值为．
【点睛】考查的是一元二次方程根的判别式与一元二次方程根与系数的关系
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考点09一元二次方程的根与系数的关系【新课程无忧衔接】
【学习目标】
1. 学会运用一元二次方程根的判别式
2. 熟悉掌握一元二次方程的根与系数的关系以及运用.
【知识点梳理】
一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形
【新课程预习练·无忧衔接】
一、单选题
1．若是方程的一个根，则方程的另一个根为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，为一元二次方程的两根，那么的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．若和为一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
4．若是方程的一个根，则方程的另一个根是（　　）
A．3 B．4 C．﹣3 D．－4
5．若a，b是方程的两根，则的值为（ ）
A．2018 B．2017 C．2016 D．2015
6．已知关于x的一元二次方程有一个根是x1=3，则另一个根x2是（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．1 D．2
7．设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
8．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，下列结论一定正确的是（　　）
A．x1+x2＞0 B．x1．x2＞0 C．x1＜0，x2＜0 D．x1﹣x2≠0
9．已知关于的一元二次方程，当时，该方程解的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
10．设关于的方程的两个实数根为、，现给出三个结论：①；②；③则正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
11．定义运算：．若是方程的两根，则的值为（　　　）
A．0 B．1 C．2 D．与有关
12．一元二次方程的两实数根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______．
14．已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为______．
15．关于x的一元二次方程的两实数根分别为、，且，则m的值为 ________
16．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12＋4x1x2＋x22的值是_____．
三、解答题
17．若是关于x的一元二次方程的两个根，则．现已知一元二次方程的两根分别为m，n．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围：
（2）若，求的值．
19．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果符合条件的最大整数k是关于y的一元二次方程的一个根，求该方程的另一个根．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若已知方程的一个根为﹣2，求方程的另一个根以及m的值．
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