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八年级数学《暑假作业 新课程无忧衔接》（苏科版）
考点14圆周角
【知识点梳理】
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
圆内接四边形的对角互补.
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.
(
要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补
)
【新课程预习练·无忧衔接】
一、单选题
1．如图，是⊙的直径，点在⊙上，连接，，若，则（ ）
A．60° B．56° C．52° D．48°
【答案】C
【分析】先说明OA=OC,进而得到∠BAC=∠OCA=26°，然后再根据圆周角定理解答即可．
【详解】
解：∵是⊙的直径，点在⊙上
∴OC=OA
∴∠BAC=∠OCA=26°
∴2∠BAC=52°．
故选C．
【点睛】考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握圆周角定理成为解答本题的关键．
2．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的☉O交AB于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【分析】根据勾股定理求得的长，然后根据直径所对圆周角为得到，然后根据三角形面积即可求解．
【详解】
在Rt△ACB中，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】考查了圆周角定理，勾股定理，关键是判断．
3．如图，AB为的直径，AC为的弦，D是弧BC的中点，E是AC的中点．若，，则DE=（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】连接OC、BC、OE、BD，OE交于F，OD交BC于G，连接OE并延长交于点F，如图，先根据垂径定理得到，，再计算出，设的半径为r，则，利用勾股定理得到，然后利用勾股定理计算DE的长．
【详解】
解：连接OC、BC、BD，OD交BC于G，连接OE并延长交于点F，
∵D是弧BC的中点，
∴，，，
∵E是AC的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
设的半径为r，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
∴，
易得四边形OGCE为矩形，
∴，
在中，．
故选：A．
【点睛】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
4．如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论；
【详解】
解：连接BD，
∵ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A
∵
∴
∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120°
∵
∴△CBE为等边三角形
∴∠BCE＝∠A=60°，
∵点C为的中点，
∴∠CDB＝∠DBC=30°
∴∠ABD=90°，∠ADB=30°
∴AD为直径
∵AB=2
∴AD=2AB=4
∴的面积是=
故答案选：D
【点睛】考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．
5．如图，为圆O的直径，且AB=8，C为圆上任意一点，连接、，以为边作等边三角形，以为边作正方形，连接．若为a，为b，为c，则下列关系式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】延长DC，过E作DC延长线的垂线，垂足为M，在△ECM中，分别表示出EM和CM，得到DM，在△DEM中，利用勾股定理得到，结合直径AB=8即可得到结果．
【详解】
解：延长DC，过E作DC延长线的垂线，垂足为M，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵四边形BCEF为正方形，
∴∠BCE=90°，即A，C，E三点共线，
∵△ACD为正三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠ECM=60°，
在△ECM中，
EM=EC·sin60°=b，
CM=EC·sin30°=b，
∴DM=DC+CM=a+b，
在△DEM中，，
∴，
整理可得：，
∵AB=8，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】考查了等边三角形的性质，正方形的性质，三角函数的定义，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，得到a，b，c的关系式．
6．如图，与是的两条互相垂直的弦，交点为点，，点在圆上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用垂直的定义和圆周角定理解答即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴ ，
故选：B．
【点睛】考查了圆周角定理，解答此题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．如图，点A，D，B，C是圆O上的四个点，连接，相交于点E，若，，则的度数为（　　）
A．95° B．90° C．85° D．80°
【答案】C
【分析】首先连接BC，根据∠BOD和∠BCD是同弧所对的圆心角和圆周角，得出∠BCD的度数，再根据∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，得出∠ABC的度数，再根据三角形的外角，得出∠AEC=∠EBC+∠ECB,即可求出∠AEC的度数．
【详解】
连接BC，
∵ 和 是 所对的圆心角和圆周角，
,
又 和 是所对的圆心角和圆周角，
,
又∵∠AEC是△BEC的外角，
∴,
故选：C．
【点睛】考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的外角，解题关键是连接辅助线，构造同弧所对的圆周角和圆心角．
8．如图，中所对的圆周，点P在劣弧上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理可得，再根据角的和差即可得出答案．
【详解】
解：中所对的圆周，
点P在劣弧上，，
故选C．
【点睛】考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键．
9．如图，内接于，CD是的直径，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠D的度数，继而求得∠ACD的度数．
【详解】
解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠ACD+∠D=90°．
∵∠ADC=∠ABC=20°，
∴∠ACD=90°-∠ADC=70°．
故选：D．
【点睛】考查了三角形的外接圆与外角，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
10．如图，内接于，其外角的平分线交于点D，点A为弧CD的中点．若，则的大小为（ ）
A．84° B．85° C．86° D．88°
【答案】A
【分析】
连接AO并延长与交于点F，连接FC，FD，根据圆周角定理得出，根据直角三角形两锐角互余与外角平分线得出度数，进一步计算可得的度数．
【详解】
解：连接AO并延长与交于点F，连接FC，FD，
∵AF是直径，
∴，
∵点A为弧CD的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵AD平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】考查圆周角定律，三角形内角和，作出合理辅助线是解题关键．
11．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC．
【详解】
解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠BAC=65°，
故选：D．
【点睛】考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法．
12．如图，是的直径，点在上．．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用等腰三角形的性质得到∠A＝∠OCA＝40°，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数．
【详解】
解：∵OC＝OA，
∴∠A＝∠OCA＝40°，
∴∠BOC＝2∠A＝80°．
故选：A．
【点睛】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
二、填空题
13．如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为___________．
【答案】-3
【分析】
根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，推出∠DFC＝90°，点F在以DC为直径的半圆上移动，，如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF＋∠CDF＝90°，
∵，
∴∠DCF＋∠CDF＝90°，
∴∠DFC＝90°，
∴点F在以DC为直径的半圆上移动，
如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，
连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，OF＝3，
∵∠G＝90°，PG＝DG＝AB＝6，
∴OG＝9，
∴OP＝，
∴FP＝-3，
∴BE＋FE的长度最小值为-3，
故答案为：-3．
【点睛】考查了轴对称 最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
14．如图，劣弧与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，求∠CAB的度数________.
【答案】35°
【分析】根据圆周角定理，可得：∠A-∠C=10°；根据三角形外角的性质，可得∠CEB=∠A+∠C=60°；联立两式可求得∠A的度数．
【详解】
解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，
∴两弧所对圆心角相差20°，
∴2∠A-2∠C=20°，
∴∠A-∠C=10°…①；
∵∠CEB是△AEC的外角，
∴∠A+∠C=∠CEB=60°…②；
①+②，得：2∠A=70°，即∠A=35°．
故答案为：35°．
【点睛】考查圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
15．如图，点，，在上，，则的度数为______．
【答案】
【分析】根据点A、B、C在圆上，利用等腰三角形性质，可得∠OAB=∠B，∠OAC=∠C，根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答即可．
【详解】
解：连结OA，
点在上，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠B，∠OAC=∠C，
∵，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】考查的圆的半径相等，等腰三角形性质，圆周角定理，熟记定理内容是解题的关键．
16．如图，在中，，则的度数是______°．
【答案】80
【分析】首先连接OC，由OA＝OC＝OB，可得∠ACO＝∠CAO＝15°，∠BCO＝∠CBO＝55°，继而求得∠ACB的度数，然后由圆周角定理，求得∠AOB的度数．
【详解】
解：连接OC，
∵OA＝OC＝OB，
∴∠ACO＝∠CAO＝15°，∠BCO＝∠CBO＝55°，
∴∠ACB＝∠BCO ∠ACO＝40°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝80°．
故答案是：80．
【点睛】考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题
17．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），古希腊天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：
圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形内接于，则有______．
任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为_______．
（2）已知，如图2，四边形内接于，平分，，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）由托勒密定理可直接求解；
（2）连接AC，通过证明△ACD是等边三角形，可得AC=AD=CD，由AC BD=AB CD+BC AD，可求解．
【详解】
解：（1）由托勒密定理可得：
故答案为：
（2）如图，连接
∵，
∴
∵平分
∴
∴
∴是等边三角形
∴，
∵四边形是圆内接四边形
∴
∴．
【点睛】考查了圆的内接四边形的性质，圆的有关知识，阅读理解题意是本题的关键．
18．如图，等边三角形内接于，是上一动点，连接，，，延长到点，使，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）填空：
①若，，则的长为____________；
②当的度数为_________时，四边形为菱形．
【答案】（1）证明见解析；（2）①3；②30°．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，根据圆周角定理可得∠CBD=∠CAD，∠ABC=∠ADC，根据角的和差关系及外角性质可得∠ABD=∠ACE，利用SAS可证明△ABD≌△ACE，可得AD=AE，即可得△ADE是等边三角形；
（2）①根据线段的和差关系可得DE的长，由（1）可知△ADE是等边三角形，可得AD=DE，即可得答案；②如图，连接OB、OC，根据圆周角定理可知∠BOC=2∠BAC=120°，根据等腰三角形的性质可得∠OCB=30°，根据菱形的性质可得∠BCD=30°，根据圆周角定理可得∠BAD=∠BCD=30°，可得答案．
【详解】
（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵∠CBD与∠CAD是所对的圆周角，
∴∠CBD=∠CAD，
同理可得：∠ABC=∠ADC=60°，
∵∠ACE=∠CAD+∠ADC，
∴∠ACE=∠ABC+∠CBD=∠ABD，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
∴△ADE是等边三角形．
（2）①∵BD=CE=1，DE=CD+CE，CD=2，
∴DE=3，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=3．
故答案为：3
②如图，连接OB、OC，
∵∠BAC和∠BOC分别是所对的圆周角和圆心角，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=30°，
∵四边形为菱形，
∴∠BCD=∠OCB=30°，
∵∠BAD和∠BCD都是所对的圆周角，
∴∠BAD=∠BCD=30°，
∴当的度数为30°时，四边形为菱形．
故答案为：30°
【点睛】考查全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质及菱形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
19．小亮在学习中遇到如下一个问题：
如图1，点是半圆上一动点，线段AB=6，CD平分，过点作交于点，连接．当为等腰三角形时，求线段的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题．将线段的长度作为自变量，，和的长度都是的函数，分别记为，和．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点在半圆上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表的几组对应值：
0 1.0 2.0 3.0 4.0 4.5 5.0 5.5 6
6 5.9 5.7 5.2 4.5 a 3.3 2.4 0
6 5.0 4.2 3.7 4 4.5 5.3 6.3 8.5
①上表中的值是______
②操作中发现，“无需测量线段的长度即可得到关于的函数解析式”．请直接写出关于的函数解析式．
（2）小亮已在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图2所示．
①请在同一个坐标系中画出函数和的图象；
②结合图象直接写出当为等腰三角形时，线段长度的近似值（结果保留一位小数）．
【答案】（1）①4.0；②；（2）①见解析；②2.7或4.2
【分析】
（1）①根据直径所对的圆周角是直角，得到△ACB是直角三角形，用勾股定理求出边长即可；②根据等腰直角三角形三角形的性质，再根据勾股定理求出即可；
（2）①根据条件画出图形即可；②根据等腰直角三角形的性质，分类讨论，利用勾股定理求出边长即可．
【详解】
解：（1）①∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
由勾股定理得：
，
当AC=4.5时，，
∴a≈4.0；
②∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD平分，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵，
∴∠ADC=∠BCD=45°，
∴AC=AD，
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠BCD=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD=，
∴
（2）①如图所示．
②当BC=BD时，BC与BD即为交点，
∵∠ACB=90°，，
∴∠CAD=90°，
∴∠ADC=∠BCD，
∵CD平分，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ACD=∠ADC=45°，
∴AC=AD，
∵BC=CD，∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠ADB=90°，
∴四边形ABDC为矩形，
∵AC=AD，
∴AC=BC，
∵AB=6，
∴AC=，
当BC=CD时，图象无交点，则BC≠CD，
当BD=CD时，∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠BDC=90°，则在等腰直角△ACD中，，
在等腰直角△BCD中，，
在Rt△ABC中，，
∴，
∴，
故AC的长为：2.7或4.2．
【点睛】考查了圆的性质、等腰直角三角形的性质与勾股定理，关键在于运用分类讨论的思想．
20．如图，在中，．点为边上一点，于点，点为上一点．连结并延长与相交于点，连结．已知．
（1）若平分，求证：≌．
（2）若，求的长．
（3）若，求的读数．
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）40°
【分析】
（1）利用角平分线的定义及AAS定理证明三角形全等；
（2）根据等腰三角形的判定和性质求解；
（3）解法一：结合等边对等角，角平分线的定义及三角形内角和定理计算求解；
解法二：利用圆周角定理求解．
【详解】
解：（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
∵平分，
∴．
又∵，
∴≌（AAS）．
（2）∵在中，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∴在中，．
（3）解法一：∵，
∴．
∵，
∴
．
∴．
解法二：∵，
∴点，，，在以点为圆心的圆上，
∴，
∴．
【点睛】考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，也考查圆周角定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
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考点14圆周角
【知识点梳理】
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
圆内接四边形的对角互补.
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.
【新课程预习练·无忧衔接】
一、单选题
1．如图，是⊙的直径，点在⊙上，连接，，若，则（ ）
A．60° B．56° C．52° D．48°
2．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的☉O交AB于点D，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．5
3．如图，AB为的直径，AC为的弦，D是弧BC的中点，E是AC的中点．若，，则DE=（ ）
A． B．5 C． D．
4．如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为圆O的直径，且AB=8，C为圆上任意一点，连接、，以为边作等边三角形，以为边作正方形，连接．若为a，为b，为c，则下列关系式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，与是的两条互相垂直的弦，交点为点，，点在圆上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点A，D，B，C是圆O上的四个点，连接，相交于点E，若，，则的度数为（　　）
A．95° B．90° C．85° D．80°
8．如图，中所对的圆周，点P在劣弧上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，内接于，CD是的直径，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，内接于，其外角的平分线交于点D，点A为弧CD的中点．若，则的大小为（ ）
A．84° B．85° C．86° D．88°
11．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ）
A． B． C． D．
12．如图，是的直径，点在上．．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为___________．
14．如图，劣弧与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，求∠CAB的度数________.
15．如图，点，，在上，，则的度数为______．
16．如图，在中，，则的度数是______°．
三、解答题
17．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），古希腊天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：
圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形内接于，则有______．
任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为_______．
（2）已知，如图2，四边形内接于，平分，，求证：．
18．如图，等边三角形内接于，是上一动点，连接，，，延长到点，使，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）填空：
①若，，则的长为____________；
②当的度数为_________时，四边形为菱形．
19．小亮在学习中遇到如下一个问题：
如图1，点是半圆上一动点，线段AB=6，CD平分，过点作交于点，连接．当为等腰三角形时，求线段的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题．将线段的长度作为自变量，，和的长度都是的函数，分别记为，和．请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点在半圆上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表的几组对应值：
0 1.0 2.0 3.0 4.0 4.5 5.0 5.5 6
6 5.9 5.7 5.2 4.5 a 3.3 2.4 0
6 5.0 4.2 3.7 4 4.5 5.3 6.3 8.5
①上表中的值是______
②操作中发现，“无需测量线段的长度即可得到关于的函数解析式”．请直接写出关于的函数解析式．
（2）小亮已在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图2所示．
①请在同一个坐标系中画出函数和的图象；
②结合图象直接写出当为等腰三角形时，线段长度的近似值（结果保留一位小数）．
20．如图，在中，．点为边上一点，于点，点为上一点．连结并延长与相交于点，连结．已知．
（1）若平分，求证：≌．
（2）若，求的长．
（3）若，求的读数．
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