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八年级数学《暑假作业 新课程无忧衔接》（苏科版）
考点16正多边行与圆
【知识点梳理】
正多边形的相关概念
正多边行的定义
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形
正多边形和圆的关系
把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心为这个正多边形的中心。
正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径为这个正多边形的半径。
正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离为这个正多边形的边心距。
中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角为这个正多边形的中心角。
(
诠释：
　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).
)
正多边形的性质
1.正多边形只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
【新课程预习练·无忧衔接】
一、单选题
1．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B，BO为半径作圆孤分别交⊙O于C，D两点，DO并延长分交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，FA，AE，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，交于点G，则下列结论错误的是 ．
A．△AOE的内心与外心都是点G B．∠FGA＝∠FOA
C．点G是线段EF的三等分点 D．EF＝AF
【答案】D
【分析】证明△AOE是等边三角形，EF⊥OA，AD⊥OE，可判断A；．证明∠AGF=∠AOF=60°，可判断B；证明FG=2GE，可判断C；证明EF=AF，可判断D．
【详解】
解：如图，
在正六边形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，
∵OF=OA=OE=OD，
∴△AOF，△AOE，△EOD都是等边三角形，
∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，
∴四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，
∴AD⊥OE，EF⊥OA，
∴△AOE的内心与外心都是点G，故A正确，
∵∠EAF=120°，∠EAD=30°，
∴∠FAD=90°，
∵∠AFE=30°，
∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正确，
∵∠GAE=∠GEA=30°，
∴GA=GE，
∵FG=2AG，
∴FG=2GE，
∴点G是线段EF的三等分点，故C正确，
∵AF=AE，∠FAE=120°，
∴EF=AF，故D错误，
故答案为：D．
【点睛】考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形的内心，外心等知识，解题的关键是证明四边形AEOF，四边形AODE都是菱形．
2．阅读图中的材料，解答下面的问题：
已知是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为1，如果用它的面积来近似估计的面积，则的面积约是（ ）
A．3 B．3.1 C．3.14 D．
【答案】A
【分析】根据圆的面积公式得O的面积S，先求得得圆的内接正十二边形的面积S△ABO ，最后可求解本题
【详解】
如图，构造，，作于点．
∵，∴，
∴，
∴正十二边形的面积为，
故选A．
【点睛】考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．
3．如图，正方形的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
当正六边形EFGHIJ的边长最大时，要使AE最小，六边形对角线EH与正方形对角线AC重合就可解决问题．
【详解】
解：如图所示，
当时，正六边形自由旋转且始终在正方形里，此时正六边形的边长最大，再当与正方形对角线重合时，最小；
正方形的边长为1；
，
，
，
则的最小值为．
故选：．
【点睛】考查了正多边形的性质与运动的轨迹问题，解决本题的关键是首先找到正六边形的边长最大时正六边形在正方形内的位置，再旋转正六边形使得最小．
4．如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据切线的性质，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解．
【详解】
解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ，
∴∠AOC＝540° 90° 90° 108° 108°＝144°，
故选：A．
【点睛】考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．
5．如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
【答案】C
【分析】分别连接OB、OA、OC，根据正多边形的中心角=，可分别求得∠BOC、∠AOB的度数，从而可得∠AOC的度数，再根据正多边形的中心角=，可求得边数n．
【详解】
分别连接OB、OA、OC，如图所示
∵是内接正三角形的一边
∴∠BOC=
同理，可得：∠AOB=90°
∴∠AOC=∠BOC ∠AOB=30°
∵是正边形的一边
∴
∴n=12
故选：C．
【点睛】考查了正多边形与圆，正多边形的中心角=，掌握这一知识是解决本题的关键．
6．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H为的八等分点，与的交点为I．若的半径为，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接、，作于，于，在上截取一点，使得，连接．首先证明，推出，在中，，求出即可解决问题；
【详解】
解：如图，连接、，作于，于，在上截取一点，使得，连接．
点，，，，，，，为的八等分点，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是正方形，设，
，
，
，
，
，
在中，，
，（负根舍去）
．
故选：B．
【点睛】考查正多边形与圆、解直角三角形、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．如图，六边形是正六边形，点是边的中点，，分别与交于点，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设正六边形的边长为a，MN是△PCD的中位线，求出△PBM和△PCD的面积即可．
【详解】
解：设正六边形的边长为a，连接AC交BE于H点，如下图所示：
正六边形六边均相等，且每个内角为120°，
∴△ABC为30°，30°，120°等腰三角形，
∴BE⊥AC，且，且，
∵AF∥CD，P为AF上一点，
∴，
MN为△PCD的中位线，
∴，
由正六边形的对称性可知：，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
8．如图，点为正六边形对角线上一点，，，则的值是（ ）
A．20 B．30
C．40 D．随点位置而变化
【答案】B
【分析】
连接AC、AD、CF，AD与CF交于点M，可知M是正六边形的中心，根据矩形的性质求出，再求出正六边形面积即可．
【详解】
解：连接AC、AD、CF，AD与CF交于点M，可知M是正六边形的中心，
∵多边形是正六边形，
∴AB=BC，∠B=∠BAF= 120°，
∴∠BAC=30°，
∴∠FAC=90°，
同理，∠DCA=∠FDC=∠DFA=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
，，
，
故选：B．
【点睛】考查了正六边形的性质，解题关键是连接对角线，根据正六边形的面积公式求解．
9．尺规作图是初中数学学习中一个非常重要的内容．小明按以下步骤进行尺规作图：①将半径为的六等分，依次得到六个分点；②分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③连结．则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图（见解析），先根据六等分点可得是的直径，，再根据圆周角定理、勾股定理可得，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
解：如图，连接，
是的六等分点，
是的直径，，
由圆周角定理得：，
在中，，
分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，
，
又点是的中点，
（等腰三角形的三线合一），
在中，，
故选：C．
【点睛】考查了圆周角定理、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
10．如图所示，为的内接三角形，，则的内接正方形的面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先连接BO，并延长交⊙O于点D，再连接AD，根据同圆中同弧所对的圆周角相等，可得∠ADB=30°，而BD是直径，那么易知△ADB是直角三角形，再利用直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半，那么可求BD，进而可知半径的长，任意圆内接正方形都是以两条混响垂直的直径作为对角线的四边形，故利用勾股定理可求正方形的边长，从而可求正方形的面积．
【详解】
解：连接BO，并延长交⊙O于点D，再连接AD，如图，
∵∠ACB=30°，
∴∠BDA=30°，
∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ADB中，BD=2AB=4，
∴⊙O的半径是2，
∵⊙O的内接正方形是以两条互相垂直的直径为对角线的，
∴正方形的边长=，
∴S正方形=．
故选：C．
【点睛】考查了圆周角定理、含有30角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
11．如图，，分别为的内接正三角形和内接正四边形的一边，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】连接OB，OC，OA，根据圆内接正三角形，正方形可求出，的度数，进而可求的度数，利用，即可求得答案．
【详解】
如图：连接OB，OC，OA，
为圆内接正三角形
四边形ACDF为圆内接正方形
若以BC为边的圆内接正边形，则有
故选：C．
【点睛】考查了圆内接正多边形中心角的求法，熟练掌握圆内接正多边形的中心角等于（为正多边形的边数）是解题关键．
12．如图，正五边形内接于，点为上一点（点与点，点不重合），连接，，，垂足为，则等于（ ）
A．72° B．54° C．36° D．64°
【答案】B
【分析】
根据正五边形内接于，可得，再根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系，可得，再根据三角形内角和定理即可得．
【详解】
解：∵正五边形内接于，
∴
∵与所对的弧相同
∴
∴=
故选：B．
【点睛】考查了圆内接正多边形的性质及同弧所对的圆周角和圆心角的性质，解题的关键是求出所对的圆心角．
二、填空题
13．如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值：
（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间：_______．（填①或②）
（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是_______．（用含a的代数式表示）
【答案】图①
【分析】(1)图①由10个正六边形构成，图②由10个正六边形和4个正三角形构成，分别计算出其面积比较大小即可，
(2)要装24支铅笔，要使纸盒底面最小，按图①方式排每个正六边形相邻的空间最小计算出半径即可；
【详解】
（1）∵一个正六边形可以分为6个全等的等边三角形，且边长为
∴小三角形的高=
∴ ，
图①由10个正六边形构成
，
图②由10个正六边形和4个正三角形构成
∵
∴图①更节省空间
故答案为：①
（2）由（1）可知，每个正六边形相邻空间最小，此时的盒地面半径最小，如图
以中点O为圆心，OA长为半径纸盒底面半径最小,过O点作OB⊥AB，由（1）可知，OB=
在Rt△AOB中，AB=a，OB
OA=
纸盒底面最小半径是
故答案为：
【点睛】考查了平面镶嵌，正多边形的面积，勾股定理，以及圆的知识，解题的关键要读懂题意画出示意图．
14．如图，四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为_________．
【答案】12
【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算即可得到n的值．
【详解】
解：连接OA、OD、OF，如图，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
∴n==12，
即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故选：C．
【点睛】考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
15．如图，正六边形中，，连接，则的长为______
【答案】2
【分析】如图，连接AC，根据正六边形的性质可得∠ABC=∠BCD=120°，∠ADC=60°，AB=BC=CD，根据等腰三角形的性质可得∠BCA=30°，即可求出∠ACD=90°，可得∠CAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可得答案．
【详解】
如图，连接AC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=∠BCD=120°，∠ADC=60°，AB=BC=CD，
∴∠BCA=∠BAC=30°，
∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=90°，
∴∠CAD=30°，
∵AB=CD=1，
∴AD=2CD=2，
故答案为：2
【点睛】考查正多边形与圆、等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．
16．如图，A，B，C，D为一个正多边形的相邻四个顶点，点O为正多边形的中心，若，则从该正多边形的一个顶点出发共有______条对角线．
【答案】7
【分析】连接、，根据圆周角定理得到，即可得出该图形是正几边形，即可得出从一个顶点出发对角线的数量．
【详解】
解：连接、，
点、、、在以为圆心，为半径的同一个圆上，
根据圆周角定理，，
，即该多边形为正十边形，
从一个定点出发，除去自身与相邻的两个点，共可作条对角线，
故答案为：7．
【点睛】考查了正多边形与圆，圆周角定理；知道正多边形与圆的位置特点解决本题的关键．
三、解答题
17．（阅读理解）如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．
（类比探究）如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．
（拓展应用）如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．
【答案】【类比探究】四边形的面积=．【拓展应用】6
【分析】
类比探究：通过证明可得，则．
拓展应用：通过证明可得，则．
【详解】
解：类比探究：如图2，∵为正方形的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点
∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON，
∴．
拓展应用：如图3，∵为正六边形EF的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点
∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON，
∴．
∵四边形面积为，
∴正六边形的面积为6．
【点睛】考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．
18．如图，六边形ABCDEF是的内接正六边形．
（1）求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分．
（2）设的面积为，六边形ABCDEF的面积为，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接AE，AD，AC，根据等弧所对的圆周角相等即可证明；
（2）过点O作OG⊥DE于G，连接OE，设圆O的半径为r，求出OG，用△OED的面积乘以6得到，再求出，即可计算的值．
【详解】
解：（1）连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是的内接正六边形，
∴EF=ED=CD=BC，
∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，
即过顶点A的三条对角线四等分；
（2）过点O作OG⊥DE于G，连接OE，
设圆O的半径为r，
∴EF=BC=ED=r，AD=2r，
在正六边形ABCDEF中，
∠OED=∠ODE=60°，
∴∠EOG=30°，
∴EG=r，
∴OG==r，
∴正六边形ABCDEF的面积==，
圆O的面积=，
∴==．
【点睛】考查了正多边形与圆，圆周角定理，解题的关键是学会添加常用辅助线．
19．如图，已知，点在圆上，请以为一顶点作圆内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见详解
【分析】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于B、D，则四边形ABCD为正方形．
【详解】
解：如图，正方形ABCD为所作．
【点睛】考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
20．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=AE．请说明理由；
（3）如图②，若点E在上．连接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）理由见解析；（3）DE=7，CE=
【分析】
（1）根据正方形的性质，得AB=AD；根据圆周角的性质，得，结合DF=BE，即可完成证明；
（2）由（1）结论得AF=AE，；结合∠BAD=90°，得∠EAF=90°，从而得到△EAF是等腰直角三角形，即EF=AE；最后结合DE-DF=EF，从而得到答案；
（3）连接BD，将△CBE绕点C顺时针旋转90°至△CDH；结合题意，得∠CBE+∠CDE=180°，从而得到E，D，H三点共线；根据BC=CD，得，从而推导得∠BEC=∠DEC=45°，即△CEH是等腰直角三角形；再根据勾股定理的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）如图，，，，
在正方形ABCD中，AB=AD
在△ADF和△ABE中
∴△ADF≌△ABE（SAS）；
（2）由（1）结论得：△ADF≌△ABE
∴AF=AE，∠3=∠4
正方形ABCD中，∠BAD=90°
∴∠BAF+∠3=90°
∴∠BAF+∠4=90°
∴∠EAF=90°
∴△EAF是等腰直角三角形
∴EF2=AE2+AF2
∴EF2=2AE2
∴EF=AE
即DE-DF=AE
∴DE-BE=AE；
（3）连接BD，将△CBE绕点C顺时针旋转90°至△CDH
∵四边形BCDE内接于圆
∴∠CBE+∠CDE=180°
∴E，D，H三点共线
在正方形ABCD中，∠BAD=90°
∴∠BED=∠BAD=90°
∵BC=CD
∴
∴∠BEC=∠DEC=45°
∴△CEH是等腰直角三角形
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD=BC=5
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=
在Rt△CEH中，由勾股定理得：EH2=CE2+CH2
∴（ED+DH）2=2CE2，即（ED+BE）2=2CE2
∴64=2CE2
∴CE=4．
【点睛】考查了正方形、圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、旋转的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、圆周角、正多边形与圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、旋转的性质，从而完成求解．
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考点16正多边行与圆
【知识点梳理】
正多边形的相关概念
正多边行的定义
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形
正多边形和圆的关系
把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心为这个正多边形的中心。
正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径为这个正多边形的半径。
正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离为这个正多边形的边心距。
中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角为这个正多边形的中心角。
正多边形的性质
1.正多边形只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.
2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.
3.正多边形是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5.任何正多边形有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
【新课程预习练·无忧衔接】
一、单选题
1．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B，BO为半径作圆孤分别交⊙O于C，D两点，DO并延长分交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，FA，AE，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，交于点G，则下列结论错误的是 ．
A．△AOE的内心与外心都是点G B．∠FGA＝∠FOA
C．点G是线段EF的三等分点 D．EF＝AF
2．阅读图中的材料，解答下面的问题：
已知是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为1，如果用它的面积来近似估计的面积，则的面积约是（ ）
A．3 B．3.1 C．3.14 D．
3．如图，正方形的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
6．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H为的八等分点，与的交点为I．若的半径为，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，六边形是正六边形，点是边的中点，，分别与交于点，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，点为正六边形对角线上一点，，，则的值是（ ）
A．20 B．30
C．40 D．随点位置而变化
9．尺规作图是初中数学学习中一个非常重要的内容．小明按以下步骤进行尺规作图：①将半径为的六等分，依次得到六个分点；②分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③连结．则的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，为的内接三角形，，则的内接正方形的面积（ ）
A． B． C． D．
11．如图，，分别为的内接正三角形和内接正四边形的一边，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
12．如图，正五边形内接于，点为上一点（点与点，点不重合），连接，，，垂足为，则等于（ ）
A．72° B．54° C．36° D．64°
二、填空题
13．如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作．下面我们来探究纸盒底面半径的最小值：
（1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空间：_______．（填①或②）
（2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是_______．（用含a的代数式表示）
14．如图，四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为_________．
15．如图，正六边形中，，连接，则的长为______
16．如图，A，B，C，D为一个正多边形的相邻四个顶点，点O为正多边形的中心，若，则从该正多边形的一个顶点出发共有______条对角线．
三、解答题
17．（阅读理解）如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．
（类比探究）如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．
（拓展应用）如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．
18．如图，六边形ABCDEF是的内接正六边形．
（1）求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分．
（2）设的面积为，六边形ABCDEF的面积为，求的值．
19．如图，已知，点在圆上，请以为一顶点作圆内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法）
20．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=AE．请说明理由；
（3）如图②，若点E在上．连接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的长．
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