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专题04 反比例函数
【考点1：】反比例函数
【考点2：】反比例图象与性质
【考点3：】用反比例函数解决问题
一、反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
二、确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
　 （1）设所求的反比例函数为： ()；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数的值；
（4）把求得的值代回所设的函数关系式 中.
三、反比例函数的图象和性质
　　1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以O为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；
　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；
四：反比例函数()中的比例系数的几何意义
过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
五、利用反比例函数解决实际问题
1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.
2.一般步骤如下：
（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示.
（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.
（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.
（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.
六、反比例函数在其他学科中的应用
当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；
在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；
电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.
考点剖析
【考点1：】反比例函数
1．若反比例函数的图象经过点和，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．12
【答案】A
【分析】本题主要考查了求反比例函数值，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相等进行求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和，
∴，
∴，
故选：A．
2．已知：三点，反比例函数的图像经过，三点中的两个点，则（ ）
A．12 B．24 C．20 D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确反比例函数图象上点的横坐标与纵坐标的积等于是解题的关键．
根据反比例函数的系数即可得到结论．
【详解】解：，，三点，反比例函数的图象经过，，三点中的两个点，，
反比例函数的图象经过，两点，．
故选：B．
3．点在反比例函数的图象上，点A关于x轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x轴对称的点的坐标特征，解二元一次方程组，熟知图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
先求得点A关于x轴对称的点的坐标为，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得，则，再解二元一次方程组，进而可求解．
【详解】解：点在反比例函数的图象上，点A关于x轴对称的点在反比例函数的图象上，
点关于x轴对称的点为，
，
由，
解得
，
故答案为：3．
4．如图反比例函数的图象在第一象限，已知点， ，在函数图象上，轴，．

（1） ；
（2） ．
【答案】 5 4
【分析】本题考查了求反比例函数的函数值．熟练掌握求反比例函数的函数值是解题的关键．
（1）由， ，在函数的图象上，可得，，，，然后代值求解即可；
（2）由（1）可知， ，，则，，然后代值求解即可．
【详解】（1）解：∵， ，在函数的图象上，
∴，，，，
∴，
故答案为：5；
（2）解：由（1）可知， ，，
∴，，
∴，
故答案为：4．
5．已知，与成正比例，与成反比例，当时，，当时，．
(1)求y的表达式；
(2)求当时的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据题意得出，，根据，当时，，当时，得出、的函数关系式即可；
（2）把代入（1）中的函数关系式，求出的值即可．
本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出与的函数关系式是解答此题的关键．
【详解】（1）解：与成正比例，与成反比例，
，，
，当时，，当时，．
，
，，
；
（2）解：当，．
6．小星根据学习反比例函数的经验，探究函数的图象与性质．
(1)下面是画函数图象的步骤：
列表：
x … －4 －2 －1 1 2 4 …
y … 1 2 a b 2 1 …
其中，______，______，
描点、连线：把图象补充完整；
(2)观察函数的图象，当时，直接写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)4，4，图见解析
(2)或
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象的画法是解答本题的关键．
（1）将和代入解析式，可知、值，画出函数图象即可；
（2）根据函数图象可直接写出时自变量的取值范围即可．
【详解】（1）当时，，当时，，
故答案为：4；4．
图象如图示：
（2）根据图像，当时，自变量的取值范围为或．
【考点2：】反比例图象与性质
1．已知点，，在反比例函数（a为常数）的图象上，则，，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平方的非负性，反比例函数的图像分布与性质，根据可得反比例函数的图象在一、三象限，在各象限，y随x的增大而减小，进而可得答案．准确判定图像的分布，活用反比例函数的性质比较大小是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象在一、三象限，在各象限，y随x的增大而减小，
∵，
∴，，
∴，
故选：D．
2．对于平面直角坐标系中的任意一点，我们把点称为点的“和差点”．如图，的直角边在轴上，点，若点在反比例函数的图象上，点为点的“和差点”，且点在的直角边上，则的面积为（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据题意设出点的坐标，即可得出点的坐标，根据点在的直角边上求出的值，从而求出的面积．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是由新定义求出点Q的坐标．
【详解】解：根据题意可设点的坐标为，且，
则点的坐标为，，
点在线段上，
则，
解得：，（舍，
此时点的坐标为，，
此时，
的面积，
故选：B．
3．如图，点A、B在反比例函数（k为常数，，）的图象上，轴于点D，轴于点C，，连接，若，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．根据题意可得，，再利用得到点坐标，继而求出值即可．
【详解】解：轴于点，轴于点，，
，，
，
，
，
点在反比例函数图象上，
．
故答案为：．
4．在直角坐标系中，点A是反比例函数的图象在第一象限上的点，点A关于直线的对称点B在x轴上，且，以为边作菱形，若点D也在反比例函数第一象限的图象上，则点C的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数与菱形的综合，求得反比例函数的解析式成为解题的关键．
如图： ，设，则的中点坐标为，然后根据题意可得、，进而得到，即,；设，根据列方程求得或，和，然后分情况解答即可．
【详解】解：如图： ，设，则的中点坐标为，
∵点A关于直线的对称点B在x轴上，
∴①
∵，
∴②
①②联立可得：，
∴反比例函数的解析式为,,
∵菱形，
∴,
设，则，解得：或，和
当时，与点A重合，不符题意舍弃；
当时，，的中点坐标为,
设点C的坐标为，
则有，解得：，
∴点C的坐标为；
当或时，点D不在第一象限，不符合题意．
故答案为：．
5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A与点．

(1)求反比例函数的关系式；
(2)若点P是第二象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接，且过点P作y轴的平行线，与直线相交于点C，连接，若的面积为3，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤．
（1）先求出点B的坐标，再把点B的坐标代入，求出k的值，即可得出反比例函数解析式；
（2）设点，则，得出．进而得出．然后进行分类讨论①当时，即，②当时或， 即可解答．
【详解】（1）解：由题可知，
∴，
∴．
又点在上，
∴．
∴反比例函数为．
（2）解：如图，

设点，则，
∴．
∴．
①当时，即，
∴，
∴，
∴或2，
又，
∴此种情况不存在．
②当时或，，
∴或．
又，
∴．
综上，．
6．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．数学兴趣小组的同学们准备结合已有的学习函数的经验，画出函数的图象并探究该函数的性质，
x 0 1 2 3 4
y … 3 6 a b
(1)【图象初探】列表，写出表中的值：______，______；并观察表格中数据的特征，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象．
(2)【性质再探】观察函数图象，下列关于函数的结论正确的是_______．
①函数的图象关于y轴对称．②函数的图象不经过第三、四象限．③当时，函数有最大值，最大值为6．④在自变量的取值范围内，函数y的值随自变量x的增大而增大．
(3)【学以致用】写出直线与函数有两个交点时，a的取值范围，并说明理由．
【答案】(1)，，补全该函数的图象见解析
(2)①②③
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了函数的图象，会画函数的图象和识别图象是解题的关键．
（1）分别将，代入函数解析式求解即可，再根据表格中数据即可补全函数图象；
（2）根据图象的增减性和最值及对称性求解；
（3）仿照函数，作出图象，结合图象可知函数的函数值的取值范围为，进而结合图象即可求解．
【详解】（1）当时，，当时，，
即：，，
补全该函数的图象如下：
故答案为：，；
（2）由表格中的数据知：图象关于轴对称，故①是正确的；
∵，
∴，
∴图象不经过三、四象限，故②是正确的；
∵，
∴，
∴的最大值为6；
由图象得，当时，随的增大而减小，故④是错误的；
故答案为：①②③；
（3）类比函数，作出的图象如图所示，
由图象可知，函数的函数值的取值范围为，
结合图象可知，直线与函数有两个交点时，．
【考点3：】用反比例函数解决问题
1．小亮新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是：当电压为时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗．台灯的电流是电阻的反比例函数,其图像如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．电流随电阻的增大而增大
B．电流与电阻的关系式为
C．当电阻为时，电流为
D．当电阻时，电流的范围为
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的应用，直接利用反比例函数图象得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质分析得出答案．
【详解】解：A、由图象知，电流随电阻的增大而减小，故此选项不符合题意；
B、设反比例函数解析式为：，把代入得，则故此选项不符合题意；
C、把代入得，，故此选项不合题意；
D、当电阻时，电流I的范围为，故此选项符合题意，
故选：D．
2．如图，综合实践小组的同学们用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：）是液体的密度（单位： ）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的应用，设关于的函数解析式为，把，代入求出解析式，再把代入解析式即可得到结论．正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
【详解】解：设关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得：，
∴关于的函数解析式为，
当时，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴该液体的密度为．
故选：C．
3．如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O 的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F （单位：N）满足若弹簧秤的示数F不超过，则L的值至少为 cm．
【答案】35
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．根据题意确定弹簧秤的示数F关于L的函数解析式，再结合图像即可获得答案．
【详解】解：根据题意，，
∴弹簧秤的示数F关于L的函数解析式为，
且该函数图像在第一象限，F随L的增大而减小，
当时，可有，
∵L越大，弹簧秤的示数F越小，
∴当时，，
即弹簧秤的示数F不超过，则L的值至少为35cm．
故答案为：35．
4．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列结论正确的是 ．（填写编号即可）
①4月份的利润为50万元
②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
③治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
④9月份该厂利润达到200万元

【答案】①②④
【分析】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案即可．
【详解】解：①、设反比例函数的解析式为，
把代入得，，
∴反比例函数的解析式为：，
当时，，
∴4月份的利润为50万元，故正确，符合题意；
②、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故正确，符合题意；
③、当时，则，
解得：，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故错误，不符合题意．
④、设一次函数解析式为：，
则，
解得：，
故一次函数解析式为：，
故时，，
则9月份该厂利润达到200万元，故正确，符合题意．
故答案为：①②④．
5．第31届世界大学生运动会于2023年8月8日在成都落下帷幕，吉祥物“蓉宝”系列产品深受人们喜爱．据某电商平台统计，某款蓉宝公仔自7月发售以来，其销售量呈直线上升趋势；大运会期间热度增大，日销售量较前段时间增大；大运会结束后，销售量与时间呈反比例关系．日销售量（万件）随时间（天）变化的函数图象如图所示，大运会前为线段，大运会期间为线段，大运会后曲线．
(1)求线段和反比例函数的表达式并写出自变量的取值范围；
(2)已知日销售量不低于4万件时，为畅销期，请求出畅销期持续的天数．
【答案】(1)，
(2)天
【分析】本题主要考查了求一次函数与反比例函数的解析式以及求函数值，熟练掌握待定系数法求一次函数和反比例函数是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）把分别代入，，求出对应的值即可求解．
【详解】（1）解：设线段的解析式为：，
把，代入得：
，
解得：，
一次函数解析式为：，
设反比例函数解析式为，把代入得：，
解得：，
反比例函数解析式为，
（2）解：把代入得，
，
解得：，
把代入得，
解得：，
由图象可知，当时，，
∴畅销期持续的天数是天．
6．王老师外出学习入住宾馆的房间后立即打开空调，将最高温度调至，入住一段时间后关闭空调．已知空调关闭后，室内的温度与时间近似于反比例关系，下列图象反映了王老师入住房间后一段时间内，室内的温度y（）与时间t（）的关系，请根据图象解答下列问题：
(1)王老师入住多长时间关闭的空调？
(2)分别求室内的温度上升和下降两个阶段y与t之间的函数表达式
(3)室内温度保持不低于的时间是多少分钟？
【答案】(1)王老师入住时关闭空调
(2)上升阶段；下降阶段
(3)室内温度保持不低于的时间是
【分析】本题考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，正确理解图中的信息是解题的关键．
（1）根据图形可知，当时，，故知王老师入住时关闭空调；
（2）当时，设y与t之间函数关系为，将点和的坐标分别代入中，解方程组求得和b的值，即得答案；当时，设y与t之间函数关系为，将点的坐标代入，即可求得的值，即得答案；
（3）将分别代入 和，求出所对应的t的值，再求出它们的差，即得答案．
【详解】（1）由图象可知，王老师入住时关闭空调；
（2）当时，即温度上升阶段，设y与t之间函数关系为，
将点和的坐标分别代入中，得，
解得，
；
当时，即温度下降阶段，设y与t之间函数关系为，
将点的坐标代入，得，
∴；
（3）将代入 ，得，
解得；
将代入，得，
解得；
（），
室内温度保持不低于20℃的时间是．
过关检测
1．已知反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．设反比例函数的解析式为把点代入即可求出的值，然后把代入解析式即可求出的值．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
把点代入得，，
故此反比例函数的解析式为，
当，，
故选：．
2．下列函数中，函数值随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
根据反比例函数的性质和正比例函数的性质分别判断即可．
【详解】解：A．的函数值随着增大而增大，故本选项不符合题意；
B．的函数值随着增大而减小，故本选项符合题意；
C．在每一个象限内，的函数值随着增大而减小，故本选项不符合题意；
D．在每一个象限内，的函数值随着增大而增大，故本选项不符合题意；
故选B．
3．如图，点是反比例函数 图象上一点，过点作轴于点，连接，已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义解答即可求解，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
【详解】解：∵轴，，
∴，
∴，
故选：．
4．小明根据已有的函数学习经验，利用绘图软件绘制了函数的图象如图所示，以下判断错误的是（ ）
A． B．图象与直线无交点
C．图象关于点成中心对称 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】根据所给函数图象，对四个选项中的内容依次进行判断即可． 本题考查坐标与图形变化-旋转及函数的图象，能根据所给函数图象得到函数的性质是解题的关键．
【详解】解∶由函数图象可知，，
所以选项不符合题意．
因为，即，
所以函数图象与直线无交点．
所以B选项不符合题意．
因为，
所以函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到．
因为函数的图象关于点成中心对称，
所以函数的图象关于点成中心对称．
故选项不符合题意．
由函数图象及上述过程可知，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
所以选项符合题意．
故选∶．
5．如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．4.5
【答案】D
【分析】此题主要考查线段的中点坐标、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的比例系数k的几何意义是解题关键．先根据线段的中点坐标公式得到D点坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后利用的面积进行计算，进而求出结论．
【详解】解：∵点A的坐标为，点D为的中点，
∴D点坐标为，
∴，即反比例函数解析式为，
∴，
∴的面积，
∵点D为的中点，
∴的面积．
故选：D．
6．一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，则不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，先求出点坐标，再画出函数图象，根据函数图象得到一次函数图象在反比例函数的图象上方时的取值即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数的图象过点，，
∴，
∴，
∴，
画出函数图象如下：
由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数的图象上方时，的取值范围是或，
∴不等式的解集是或，
故选：．
7．如图，将矩形放在直角坐标系中，其中顶点的坐标为，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点则线段的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，图形的折叠变换及性质，矩形的性质，勾股定理等，设，根据矩形的性质得，，，再由折叠的性质得，，则，利用勾股定理求出，则，进而在中由勾股定理求出，从而得点，则反比例函数的表达式为，然后根据点的纵坐标为4得点，据此可得的长,理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握图形的折叠变换及性质，矩形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
【详解】解：设，
四边形为矩形，点，
，，，
由折叠的性质得：，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为：，
反比例函数的图象与边交于点，
点的纵坐标为4，
对于，当时，，
点，
．
故选：A．
8．已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是( )
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可．
【详解】解：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，
∴．
令，则，．
将点和点代入，得；
将点和点代入，得．
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
①当时，，
∴不符合要求，应舍去；
②当时，，
∴符合要求；
③当时，，
∴不符合要求，应舍去；
④当时，，
∴符合要求；
⑤当时，，
∴不符合要求，应舍去．
综上，t的取值范围是或．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键．
9．已知反比例函数（m为常数，）图象的两个分支分布在第二、四象限，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据的k值小于0，反比例函数在第二、四象限，据此即可作答．
【详解】解∶∵反比例函数（m为常数，）图象的两个分支分布在第二、四象限，
∴，
解得，
故答案为： ．
10．如图，过反比例函数的图象上一点A，作轴于点B，C是y轴上的一点，连接，，若，则k的值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，平行线间的距离处处相等，熟练掌握值几何意义是关键．
连接，由，得到，再根据反比例函数值几何意义解得即可．
【详解】解：如图，连接，
轴，
∴，
∴，
∴，
∴同底等高，
，
点在反比例函数图象上，根据值几何意义得，
．
故答案为：8．
11．如图，在平行四边形中，点在轴正半轴上，点是的中点，若反比例函数的图象经过，两点，且的面积为，则 ．

【答案】
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，数形结合是解题的关键．
延长交点轴于，由的面积，可求，设点坐标为，可得，进而求解坐标，由中点坐标公式得到坐标，由都在反比例函数图象上列等式，即可求解．
【详解】解：如图，

延长交点轴于，
的面积为，点是的中点，
设点坐标为，
，
，
，
根据中点坐标公式可得，
都在反比例函数图象上，
，
解得，
．
故答案为：．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形，，顶点，在轴上，顶点，分别在反比例函数和的图象上．若四边形的面积为，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数点的坐标特征是关键．设点，则，根据 ，求出值即可．
【详解】解：设点，则，
∴，
∵．
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
13．如图，正方形与反比例函数在第一象限内的图象交于P，Q两点，上的点满足．若的面积为，则实数的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数与几何图形综合．正确地作出辅助线是解题的关键．
过作于，即由证明，，最后利用的面积列方程求解即可．
【详解】解：过作于，则四边形是矩形，
，，
．
，
，
，
．
．
，
，
，
，
，
，
，
解得：或（不合题意，舍去）
实数的值为3．
故答案为：3．
14．对于平面直角坐标系xOy内的点 P和图形M，给出如下定义：如果点 P绕原点O顺时针旋转得到点Q，点Q落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点 P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，，如果M是双曲线 和线段、围成的封闭区域（含边界线），点 是 M关于原点O的“伴随点”，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将绕点逆时针旋转得到，根据是双曲线和线段、围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”，得到点在反比例函数时有最大值，当点在线段时有最小值，即可得解．
【详解】解：如图，过点A作轴，轴，垂足分别为M，N，
则，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，绕点逆时针旋转得到，则，，
设直线的表达式为：，代入，
得：，
解得：，
直线为，
设经过点的双曲线为：，
代入得：，
∴经过点的双曲线为，
是双曲线和线段、围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”，
把代入得，，解得，
把代入得，，解得，
的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形，旋转的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数，反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解．
15．如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点，与轴相交于点．
(1)求反比例函数与一次函数解析式；
(2)连接，，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）联立方程组求出点坐标，根据代入数据计算即可．
【详解】（1）解：在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为：，
点在一次函数图象上，
，解得，
一次函数解析式为：；
（2）解：对于，
当时，，
解得，
∴，
，
解得或，
，，
．
16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于．
(1)求m、n的值及反比例函数的表达式；
(2)求的面积：
(3)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
（1）将，代入求出，的值，再把点坐标代入反比例函数，求出的值即可；
（2）先求出的长，再利用即可得出结论；
（3）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出的值，再由即可得出结论．
【详解】（1）解：将，代入得，
，，
解得，，
将代入，得，即；
（2）解：，当时，，
即，
，
，
；
（3）解：直线向下平移个单位得新直线，
与联立得，
消得，化简得，
直线与反比例函数的图象有唯一交点，
，
解得或，
，
（舍去），
即．
17．小莉在学习完反比例函数之后遇到一个新函数：，她按照探究反比例函数的过程对其进行探究：
绘制图象：列表：
n
(1)_______，_______；
(2)① 在平面直角坐标系中描点并连线，补全该函数的图象；
② 小莉通过图象得到了以下性质，其中不正确的是____________；
A．当时，随的增大而增大
B．此函数的图象关于原点中心对称
C．函数图象经过原点且位于第一、三象限
D．此函数有最小值，是当时，最小值为
(3)若正比例函数与函数的图象交于，两点，则的值为_____．
【答案】(1)，
(2)①见解析；②A
(3)
【分析】本题考查函数的图象与性质，一次函数与反比例函数的交点，
（1）将分别代入解析式，即可求解．
（2）①描点、连线画出函数的图象即可；
②根据函数的图象即可求得；
（3）正比例函数与函数的两交点坐标关于原点对称，依此可得，，依此关系即可求解．
【详解】（1）当时，
当时，
故答案为：，．
（2）解：①描点、连线画出函数的图象如图：
；
②观察图象：
A．当时，随的增大先增大后减小，故错误；
B．此函数的图象关于原点中心对称，故正确；
C．函数图象经过原点且位于第一、三象限，故正确；
D. 此函数有最小值，是当时，最小值为，故正确；
故选：A；
（3）正比例函数与函数的两交点，关于原点对称，依此可得，，
．
故答案为：．
18．综合与实践：
函数复习课后，数学兴趣小组的同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下．请完成探究过程：
(1)初步感知：函数的自变量取值范围是__________；
(2)作出图象
①列表：
x … 0 1 2 3 …
y … 2 3 4 m 6 0 …
填空：表中__________，__________；
②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，可画出该函数的图象如下所示；
(3)研究性质
小明观察图象，发现这个图象为双曲线，结合反比例函数的知识，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来．已知反比例函数是中心对称图形，对称中心为，结合小明的分析，可知函数的对称中心为__________；
(4)拓展应用
已知当时，关于的方程有实数解，请直接写出k的取值范围是__________．
【答案】(1)
(2)5，
(3)
(4)
【分析】本题考查了分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合等知识．熟练掌握分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合是解题的关键．
（1）由题意知，，求解作答即可；
（2）将，分别代入求解即可；
（3）由图象与反比例函数的性质可知，函数的对称中心为，然后作答即可；
（4）由题意知，当过时，，可求；当时，，当过时，，可求，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
解得，，
故答案为：；
（2）解：将代入得，，
将，代入得，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：5，；
（3）解：由图象与反比例函数的性质可知，函数的对称中心为，
故答案为：；
（4）解：由题意知，当过时，，
解得，；
当时，，
当过时，，
解得，；
∴当时，关于的方程有实数解， k的取值范围是，
故答案为：．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 反比例函数
【考点1：】反比例函数
【考点2：】反比例图象与性质
【考点3：】用反比例函数解决问题
一、反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.
一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
二、确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.
　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
　 （1）设所求的反比例函数为： ()；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数的值；
（4）把求得的值代回所设的函数关系式 中.
三、反比例函数的图象和性质
　　1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以O为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；
　 （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；
四：反比例函数()中的比例系数的几何意义
过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
五、利用反比例函数解决实际问题
1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.
2.一般步骤如下：
（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示.
（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.
（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.
（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.
六、反比例函数在其他学科中的应用
当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；
在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；
电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.
考点剖析
【考点1：】反比例函数
1．若反比例函数的图象经过点和，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．12
2．已知：三点，反比例函数的图像经过，三点中的两个点，则（ ）
A．12 B．24 C．20 D．
3．点在反比例函数的图象上，点A关于x轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为 ．
4．如图反比例函数的图象在第一象限，已知点， ，在函数图象上，轴，．

（1） ；
（2） ．
5．已知，与成正比例，与成反比例，当时，，当时，．
(1)求y的表达式；
(2)求当时的值．
6．小星根据学习反比例函数的经验，探究函数的图象与性质．
(1)下面是画函数图象的步骤：
列表：
x … －4 －2 －1 1 2 4 …
y … 1 2 a b 2 1 …
其中，______，______，
描点、连线：把图象补充完整；
(2)观察函数的图象，当时，直接写出自变量x的取值范围．
【考点2：】反比例图象与性质
1．已知点，，在反比例函数（a为常数）的图象上，则，，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．对于平面直角坐标系中的任意一点，我们把点称为点的“和差点”．如图，的直角边在轴上，点，若点在反比例函数的图象上，点为点的“和差点”，且点在的直角边上，则的面积为（　　）
A．2 B． C．1 D．
3．如图，点A、B在反比例函数（k为常数，，）的图象上，轴于点D，轴于点C，，连接，若，则k的值为 ．
4．在直角坐标系中，点A是反比例函数的图象在第一象限上的点，点A关于直线的对称点B在x轴上，且，以为边作菱形，若点D也在反比例函数第一象限的图象上，则点C的坐标是 ．
5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A与点．

(1)求反比例函数的关系式；
(2)若点P是第二象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接，且过点P作y轴的平行线，与直线相交于点C，连接，若的面积为3，求点P的坐标．
6．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．数学兴趣小组的同学们准备结合已有的学习函数的经验，画出函数的图象并探究该函数的性质，
x 0 1 2 3 4
y … 3 6 a b
(1)【图象初探】列表，写出表中的值：______，______；并观察表格中数据的特征，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象．
(2)【性质再探】观察函数图象，下列关于函数的结论正确的是_______．
①函数的图象关于y轴对称．②函数的图象不经过第三、四象限．③当时，函数有最大值，最大值为6．④在自变量的取值范围内，函数y的值随自变量x的增大而增大．
(3)【学以致用】写出直线与函数有两个交点时，a的取值范围，并说明理由．
【考点3：】用反比例函数解决问题
1．小亮新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是：当电压为时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗．台灯的电流是电阻的反比例函数,其图像如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．电流随电阻的增大而增大
B．电流与电阻的关系式为
C．当电阻为时，电流为
D．当电阻时，电流的范围为
2．如图，综合实践小组的同学们用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：）是液体的密度（单位： ）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O 的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F （单位：N）满足若弹簧秤的示数F不超过，则L的值至少为 cm．
4．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列结论正确的是 ．（填写编号即可）
①4月份的利润为50万元
②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
③治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
④9月份该厂利润达到200万元

5．第31届世界大学生运动会于2023年8月8日在成都落下帷幕，吉祥物“蓉宝”系列产品深受人们喜爱．据某电商平台统计，某款蓉宝公仔自7月发售以来，其销售量呈直线上升趋势；大运会期间热度增大，日销售量较前段时间增大；大运会结束后，销售量与时间呈反比例关系．日销售量（万件）随时间（天）变化的函数图象如图所示，大运会前为线段，大运会期间为线段，大运会后曲线．
(1)求线段和反比例函数的表达式并写出自变量的取值范围；
(2)已知日销售量不低于4万件时，为畅销期，请求出畅销期持续的天数．
6．王老师外出学习入住宾馆的房间后立即打开空调，将最高温度调至，入住一段时间后关闭空调．已知空调关闭后，室内的温度与时间近似于反比例关系，下列图象反映了王老师入住房间后一段时间内，室内的温度y（）与时间t（）的关系，请根据图象解答下列问题：
(1)王老师入住多长时间关闭的空调？
(2)分别求室内的温度上升和下降两个阶段y与t之间的函数表达式
(3)室内温度保持不低于的时间是多少分钟？
过关检测
1．已知反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，函数值随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点是反比例函数 图象上一点，过点作轴于点，连接，已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．小明根据已有的函数学习经验，利用绘图软件绘制了函数的图象如图所示，以下判断错误的是（ ）
A． B．图象与直线无交点
C．图象关于点成中心对称 D．当时，y随x的增大而减小
5．如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．4.5
6．一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，则不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．如图，将矩形放在直角坐标系中，其中顶点的坐标为，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点则线段的长为（ ）
A． B．1 C． D．
8．已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是( )
A．或 B．或
C．或 D．或
9．已知反比例函数（m为常数，）图象的两个分支分布在第二、四象限，则m的取值范围是 ．
10．如图，过反比例函数的图象上一点A，作轴于点B，C是y轴上的一点，连接，，若，则k的值为 ．
11．如图，在平行四边形中，点在轴正半轴上，点是的中点，若反比例函数的图象经过，两点，且的面积为，则 ．

12．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形，，顶点，在轴上，顶点，分别在反比例函数和的图象上．若四边形的面积为，，则的值为 ．
13．如图，正方形与反比例函数在第一象限内的图象交于P，Q两点，上的点满足．若的面积为，则实数的值为 ．
14．对于平面直角坐标系xOy内的点 P和图形M，给出如下定义：如果点 P绕原点O顺时针旋转得到点Q，点Q落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点 P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点，，，如果M是双曲线 和线段、围成的封闭区域（含边界线），点 是 M关于原点O的“伴随点”，则a的取值范围是 ．
15．如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点，与轴相交于点．
(1)求反比例函数与一次函数解析式；
(2)连接，，求的面积．
16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于．
(1)求m、n的值及反比例函数的表达式；
(2)求的面积：
(3)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值．
17．小莉在学习完反比例函数之后遇到一个新函数：，她按照探究反比例函数的过程对其进行探究：
绘制图象：列表：
n
(1)_______，_______；
(2)① 在平面直角坐标系中描点并连线，补全该函数的图象；
② 小莉通过图象得到了以下性质，其中不正确的是____________；
A．当时，随的增大而增大
B．此函数的图象关于原点中心对称
C．函数图象经过原点且位于第一、三象限
D．此函数有最小值，是当时，最小值为
(3)若正比例函数与函数的图象交于，两点，则的值为_____．
18．综合与实践：
函数复习课后，数学兴趣小组的同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下．请完成探究过程：
(1)初步感知：函数的自变量取值范围是__________；
(2)作出图象
①列表：
x … 0 1 2 3 …
y … 2 3 4 m 6 0 …
填空：表中__________，__________；
②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，可画出该函数的图象如下所示；
(3)研究性质
小明观察图象，发现这个图象为双曲线，结合反比例函数的知识，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来．已知反比例函数是中心对称图形，对称中心为，结合小明的分析，可知函数的对称中心为__________；
(4)拓展应用
已知当时，关于的方程有实数解，请直接写出k的取值范围是__________．
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