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第7讲 运算方法课--二次根式综合提升
知识梳理
1、二次根式的概念：一般地，形如 的式子叫做二次根式， 叫做被开方数。
2、最简二次根式的概念
一般地，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。
化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。
3、二次根式的乘法与除法
二次根式的乘法法则： ：二次根式的除法法则：
4、分母有理化
（1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式。如： 与，和。
（2）分母有理化的依据是：分式的基本性质；
（3）分母有理化的方法是：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。
5、二次根式的加减法
二次根式加减法法则：二次根式相加减，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式分别合并。（二次根式的加减与整式的加减相类似。）
6、二次根式的混合运算
二次根式的运算顺序与实数的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最好算加减，有括号的先算括号里面的。
多项式乘法法则和乘法公式对二次根式的运算同样适用。
例1、使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）
x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
例2、与最简二次根式是同类二次根式，则m=　 　．
例3、如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．
把下列各式化为最简二次根式：
（1）；
（2）（a＞0，b＞0）
例1、先化简，再求值：，其中a=+1．
例2.先化简，再求值：，其中a=+1．
例3、已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y+5=0，求的值．
若x=2﹣，求（7+4）x2+（2+）x+的值．
已知a=，求的值．
已知x=2+，y=2﹣，求的值．
化简求值：﹣，其中x=2，y=3．
4．已知+=b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
化简求值：（），其中a=2+．
计算：﹣（3﹣π）0﹣|﹣3+2|
已知，且x为偶数，求的值．
1. 下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．﹣2与 B．|﹣|与
C．与 D．与
2．的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
3．若二次根式有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠2
4．已知x=﹣，y=+，则x﹣y的值为　 　．
5．若m2=100，||=1，则m+=　 　．
6．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为　 　．
7．计算：（）2+|﹣3|﹣（π+）0．
8．计算：3+（﹣2）3﹣（π﹣3）0．
9．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图：
比较a﹣b与a+b的大小； （2）化简|b﹣a|+|a+b|．
10．若最简二次根式和是同类二次根式，则ba=　 　．
11．化简求值：（）÷，其中x=．
12．已知x=﹣1，y=+1，求代数式x2+xy+y2的值．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第7讲 运算方法课--二次根式综合提升
知识梳理
1、二次根式的概念：一般地，形如 的式子叫做二次根式， 叫做被开方数。
2、最简二次根式的概念
一般地，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式。
化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。
3、二次根式的乘法与除法
二次根式的乘法法则： ：二次根式的除法法则：
4、分母有理化
（1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式。如： 与，和。
（2）分母有理化的依据是：分式的基本性质；
（3）分母有理化的方法是：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。
5、二次根式的加减法
二次根式加减法法则：二次根式相加减，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式分别合并。（二次根式的加减与整式的加减相类似。）
6、二次根式的混合运算
二次根式的运算顺序与实数的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最好算加减，有括号的先算括号里面的。
多项式乘法法则和乘法公式对二次根式的运算同样适用。
例1、使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）
x≠1 B．x＞1
C．x≤1 D．x≥1
【解析】由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1，
故选：D．
例2、与最简二次根式是同类二次根式，则m=　1　．
【解析】∵=2，∴m+1=2，∴m=1．
故答案为1．
例3、如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．
【解析】∵是最简二次根式，∴a=1，2b﹣5=1，解得：a=1，b=3，
∴==4，∴的平方根为±2．
把下列各式化为最简二次根式：
（1）；
（2）（a＞0，b＞0）
【解析】（1）原式==4；
（2）原式===（a+2b）．
例1、先化简，再求值：，其中a=+1．
【解析】==
=，
当时，原式==．
例2.先化简，再求值：，其中a=+1．
【解析】===，
当时，原式==．
例3、已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y+5=0，求的值．
【解析】∵x2+y2﹣4x﹣2y+5=0，∴x2﹣4x+4+y2﹣2y+1=0，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=0∴x﹣2=0或y﹣1=0，
解得x=2，y=1，
∴=====1．
例4、若x=2﹣，求（7+4）x2+（2+）x+的值．
【解析】∵x=2﹣，∴x2=7﹣4，
∴（7+4）x2+（2+）x+，
=（7+4）（7﹣4）+（2+）（2﹣）+，
=72﹣（4）2+22﹣（）2+=49﹣48+4﹣3+=2+．
1．已知a=，求的值．
【解答】解：∵a=，∴a﹣1＜0；
∴原式==a﹣1+，
当a=时，原式=﹣1+=．
2．已知x=2+，y=2﹣，求的值．
【解答】解：由已知，得x+y=2++2﹣=4，
x﹣y=2+﹣2+=2，
xy=（2+）（2﹣）=4﹣3=1，
∴原式=．
3．化简求值：﹣，其中x=2，y=3．
【解答】解：原式=﹣=，
当x=2，y=3时，原式=﹣5．
4．已知+=b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
【解答】解：根据题意得：，
解得：a=17；
（2）b+8=0，解得：b=﹣8．
则a2﹣b2=172﹣（﹣8）2=225，
则平方根是：±15．
1.化简求值：（），其中a=2+．
【解析】原式=[+] +
= +
==，
当a=2+时，原式=+1．
2．计算：﹣（3﹣π）0﹣|﹣3+2|
【解析】﹣（3﹣π）0﹣|﹣3+2|=2﹣1﹣1=0．
3．已知，且x为偶数，求的值．
【解析】由题意得，解得：6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8．
原式=（1+x）=（x+1）=．
∴当x=8时，原式=．
1. 下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．﹣2与 B．|﹣|与
C．与 D．与
【解析】C．
2．的绝对值是（　　）
A． B．
C． D．
【解析】C．
3．若二次根式有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠2
【解析】A
∵a-2≥0
∴a≥2
已知x=﹣，y=+，则x﹣y的值为　 　．
【答案】﹣2
若m2=100，||=1，则m+=　 　．
【答案】13或﹣7
若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为　 　．
【答案】4
7．计算：（）2+|﹣3|﹣（π+）0．
【解析】原式=5+3﹣1=7．
8．计算：3+（﹣2）3﹣（π﹣3）0．
【解析】原式=15﹣8﹣1=6．
9．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图：
（1）比较a﹣b与a+b的大小； （2）化简|b﹣a|+|a+b|．
【解析】由图可知，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，
（1）∵（a﹣b）﹣（a+b）=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b＞0，∴a﹣b＞a+b；
（2）因为b﹣a＜0，a+b＜0，所以|b﹣a|+|a+b|=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．
10．若最简二次根式和是同类二次根式，则ba=　1　．
【解析】∵最简二次根式和是同类二次根式，∴，
解方程组得：b=2，a=0，∴ba=20=1，故答案为：1．
11．化简求值：（）÷，其中x=．
【解析】原式=×=．将x=代入，得原式==．
12．已知x=﹣1，y=+1，求代数式x2+xy+y2的值．
【解析】∵x=﹣1，y=+1，∴x+y=2，xy=4，
∴x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=20﹣4=16．
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