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2025年湖南省永州市宁远县中考复习数学模拟练习卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1．下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．与3 B．与 C．与 D．3与
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．八边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
4．估算的值在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
5．某个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（　　）
A． B． C． D．
6．如图是某班1~8月份全班同学每月的课外阅读数量折线统计图，下列说法正确的是（　　）
A．每月阅读数量的中位数是32 B．每月阅读数量的众数是73
C．每月阅读数量的平均数是46 D．每月阅读数量的极差是55
7．下列四边形：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形．对角线一定相等的是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①② D．②③
8．我国古代著作《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成．如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，得到方程组为，则根据图2所示的算筹图，列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，点A，B，C，E在上，于点D，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．π
10．在同一直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．方程的解为　 　．
12．下列各数中：，3.1415926，，0.202002002…（每两个2中间依次增加1个0），，，无理数的个数有　 　个．
13．我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示.2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，点A的坐标是，，，若将菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，则点的坐标是 　 　．
15．为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是　 　．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC，~OA分别在轴，轴的正半轴上，反比例函数分别与边AB，边BC相交于点，点，且点，点分别为AB，~BC边的中点，连接EF．若的面积为3，则的值是　 　．
17．定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．已知在直角中，，，，如图4，如果点在边上，且是准直角三角形，那么　 　．
18．如图，在正方形中，F是边上一点，连接，过点B作于点E，连接并延长，交边于点G．若，，则线段的长为　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．先化简，再求值：，其中
20．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．
（1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
（2）若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？并列出所有方案；
（3）现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围．
21．近几年，中国新能源汽车凭借其创新技术、智能化特性和独特设计赢得了全球的关注．某品牌新能源汽车的侧面示意图如图所示，当汽车后背箱门关闭时，后备厢门与水平面的夹角，顶端A和底端B与水平地面的距离分别为和．现将后背箱门绕顶端A逆时针旋转至，若，求此时的后备厢门底端到地面的距离．（参考数据：）
22．某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．
23．某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
24．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G．
（1）求证：AG∥CD；
（2）求证：PA2＝PG PB；
（3）若sin∠APD＝，PG＝6．求tan∠AGB的值．
25． 如图，是的直径，点、是上异于、的点．点在外，，延长与的延长线交于点，点在的延长线上，，．点在直径上，，点是线段的中点．
（1）求的度数；
（2）求证：直线与相切：
（3）看一看，想一想，证一证：
以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
26．如图，中，，点D为上一点，过D作射线交于点E，且满足．
（1）求证：；
（2）设，写出y关于x的函数表达式，当x取何值时y值最大，最大值是多少？
参考答案
1．A
2．D
3．C
4．C
5．D
6．D
7．C
8．A
9．B
10．D
11．
12．3
13．5
14．
15．
16．12
17．或．
18．
19．；
20．（1）解：设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，
依题意得，，
解得，
答：该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元．
（2）解：设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，由题意得，
解得，
∴整数m的值为17，18，19，20．
一共有4种方案，分别为：
方案①新建个地上充电桩，43个地下充电桩；
方案②新建个地上充电桩，42个地下充电桩；
方案③新建个地上充电桩，41个地下充电桩；
方案④新建个地上充电桩，40个地下充电桩.
（3）．
21．解：如图所示，过点作于Q，过点A作于P，则四边形是矩形，
∴，
由题意得，四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
答：此时的后备厢门底端到地面的距离为．
22．（1）解：调查学生人数：人，
科普类人数：人，
补全条形统计图，如图：
（2）解：愿意参加劳动社团的学生人数：人.
（3）解：根据题意，画出树状图，如下图：
共有9种等可能的结果，选中同一社团的结果有3种．
∴恰好选中同一社团的概率为．
23．（1）解：设该商品每次降价的百分率为x，
60（1-x）2=48.6，
解得x1=0.1，x2=1.9（舍去），
答：该商品每次降价的百分率是10%；
（2）解：设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20-a）件，
由题意可得，[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200，
解得a≥ ，
∵a为整数，
∴a的最小值是6，
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．
24．（1）证明：∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，
∴AB⊥CD，
∵AB为⊙O的直径，AG是切线，
∴AG⊥AB，
∴AG∥CD；
（2）证明：∵AG是切线，
∴AG⊥AB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝∠GAD，
∵由折叠可得∠ABD＝∠ABC，
∴∠CBD＝2∠ABD，
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠PAD＝180°﹣∠CAD＝∠DBC＝2∠ABD，
∴∠PAG＝∠PAD﹣∠GAD＝2∠ABD﹣∠ABD＝∠ABD，
又∵∠APG＝∠BPA，
∴△APG∽△BPA，
∵，即PA2＝PG PB；
（3）解：，
设，则，
由折叠可得，
在Rt中，，
25．（1）解：∵是的直径，点是上异于、的点，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴直线与相切；
（3）解：我认为正确，理由如下：
连接，连接交于点，如图所示：
则，
∴点在线段的中垂线上，
∵，
∴点在线段的中垂线上，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴．
26．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
由（1）可得，，
∴，即，
∴，
∵，
∴当时，y值最大，最大值是．

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