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2025年山东省淄博市周村区中考四模数学模拟练习卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的．错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分．
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．代数式中x的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
4．下列命题是真命题的是（　　）
A．两点之间直线最短 B．相等的角是对顶角
C．若，则 D．若，则且
5．下面几何体中，主视图是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
7．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE．过点D作DF⊥BC于点F，连结EF．若△DEF的面积为1，则四边形DECB的面积为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，1)， C(1，3). 若直线y=3x+b与△ABC的边至少有两个交点，则b的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．图 1 是捣谷物的＂碓＂，图 2 是其示意图，为转动支点， 于点 与水平线 夹角 ， ．当点 绕点 旋转下落到 上时，点 上升（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，动点D在折线段BAC上沿B→A→C方向以每秒1个单位的速度运动，过D垂直于BC的直线交BC边于点E．如果AB＝5，BC＝8，点D运动的时间为t秒，△BDE的面积为S，则S关于t的函数图象的大致形状是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
11．在数轴上，点A表示的点是，与点A相距个单位长度的点表示的数是　 　．
12．对于任意的正数，定义运算“*”为计算计算的结果为　 　．
13．如图，在中，的平分线交BC于点.点D，E分别在AB，AC上，连结DE交AF于点.若，则　 　.
14．如图，点E是边长为6的正方形的边上一动点，F是以为直径的半圆上的一动点，连接，则的最小值是　 　.
15．如图，已知点是直线上一点，点是轴上一定点，四边形是平行四边形．在直线上有一动点，若的最小值为10，则点的坐标为 ．
三、解答题：本大题共8小题，共90分．要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．计算
（1）；
（2）
17．解答下列各题：
（1）解不等式组：；
（2）先化简，再求值：，试从0，1，2，3四个数中选取一个你喜欢的数代入求值．
18．中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；
（2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
19．某旅游商品经销店欲购进、两种纪念品，种纪念品每件进价是种纪念品每件进价的1.5倍，用600元购买种纪念品的数量比用同样金额购买种纪念品的数量多10件．
（1）求、两种纪念品的每件进价分别为多少元？
（2）若该商店种纪念品每件售价25元，种纪念品每件售价37元，该商店准备购进、两种纪念品共40件，且种纪念品不少于30件，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大利润为多少元？
20．如图，一次函数y1＝x+b的图象与与反比例函数y2＝（k≠0，x＜0）的图象交于点A（﹣2，1），B两点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
21．如图，是的直径，点C在上，过点C作交于点E，交于点D，连接交于点G，连接，设（m为常数）．
（1）求证：；
（2）设，．求证：；
（3）求的值（用含m的代数式表示）．
22．如图所示，为矩形，，，点为上一动点，与交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，与交于点．
（1）求线段的长；
（2）连接，若，求的长；
（3）连接，与交于点，求面积的最小值．
23．如图，直线交y轴于点A，交x轴于点B，抛物线经过点A，点B，且交x轴于另一点C.
（1）求点A，点B，点C的坐标并求抛物线的解析式；
（2）在直线上方的抛物线上有一点P，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）将线段绕x轴上的动点逆时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求t的取值范围.
参考答案
1．C
2．A
3．B
4．D
5．B
6．D
7．C
8．A
9．D
10．B
11．或
12．
13．2：3
14．
15．
16．（1）
（2）
17．（1）
（2），当时，原式
18．解：（1）1，2；
（2）°；
（3）2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人
补全统计图如图所示．
（4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，
．
19．（1）、两种纪念品的进价分别为20元，30元；（2）A纪念品进货30件，B进货10件所获利润最大为220元
20．解：（1）把A（﹣2，1）代入y1＝x+b得﹣2+b＝1，
解得：b＝3；
把A（﹣2，1）代入y2＝（k≠0，x＜0），
得：k＝﹣2×1＝﹣2，
∴一次函数的表达式是y1＝x+3，反比例函数的表达式y2＝；
（2）如图所示：
由，
解得或，
∴B点坐标为（﹣1，2），
设直线y＝x+3与x轴的交点为C，
把y＝0代入求得x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴△AOB的面积＝△BOC的面积﹣△AOC的面积＝＝．
21．（1）证明：是的直径．
如图，连接．
，
又，即，
，
，
，，
；
（2）证明：如图，设，相交于点，连接．
由（1）可知，
，即．
又．
，
又，
．
，
；
（3）解：，，
，
，即．
又，
，
，即，
．
22．（1）解：，，，
；
（2）解：（法一）过点作的垂线分别交、于点，，过点作的平行线分别交、的延长线于点，，如图所示：
设，，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
化简得，
，
，
，
，
化简得，
由得，，
，
，
，
；
（法二）
如图，过点作，，
设，
，，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
解得，
，
；
（3）解：如图所示，作的外接圆，连接，，，过点作，过点作，
，
四边形ADHF四点共圆，
为定值，
，
，，
又，
，
又，
，
，
设的半径为，由（1）值，
，
，
，，
，
，
，
由图可知，
，
解得：，
，
即的面积的最小值为，当，，共线即时取等号．
23．（1）解：令，则，
，
令，则，
，
将，代入，
，
，
，
令，则，
解得或，
；
（2）解：如图1，过点P作轴交于点F，交x轴于点E，
设，则，
，，
，
，
当的面积最大时，就最大，
，
，
当时，的面积最大，最大值为2，
当时，的最大值为6；
（3）解：如图2，由题意可知，，
，
，
，
，
当在抛物线上时，，
解得或（舍），
当在抛物线上时，，
解得或（舍），
线段与抛物线只有一个公共点，
.

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