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2025年陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校中考数学八模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为( )
A. B. 1 C. D. 0
2.直角三角尺绕它的最长边即斜边旋转1周，所形成的几何体为( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.如图所示，在中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，并且CD，BE交于点P，若，则等于( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，，，连接OE，设，，则OE的长为( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
6.若直线经过点，且与y轴的交点在x轴下方，则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图，已知AB是的直径，E为CD的中点，，若，则AE的长为( )
A. 1
B. 2
C.
D.
8.已知抛物线，若点，，均在该抛物线上，且，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.分解因式：______.
10.如图，AD，CE都是的角平分线，且交于点O，，，则的度数为______.
11.不等式组的解集为，则a的取值范围是______.
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在直线上，点B的纵坐标为3，点A是x轴负半轴上一点，点C在反比例函数图象上，连结AC、AB和如果四边形ACOB是矩形，那么k的值为______.
13.菱形ABCD中，，点E为AD上一点且，，点P为BE所在直线上一点，连接AP、CP，当取得最大值时，BP的长为______.
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题5分
计算：
15.本小题5分
解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.
16.本小题5分
解方程：
17.本小题5分
如图，中，请用尺规作图法，求作，使圆心O落在BC边上，且经过A，B两点保留作图痕迹，不写作法
18.本小题5分
如图， ABCD中，点E是BC边的一点，延长AD至点F，使
求证：四边形DECF是平行四边形．
19.本小题5分
如图，M，N为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知数轴上表示数2，的两点对应刻度尺上的读数分别为1cm，
该数轴以多少厘米为1个单位长度？直接画出数轴原点O的位置；
若刻度尺左端N的刻度为ncm且对应数轴上表示数的点，右端M的刻度为，求n的值及MN的长度.
20.本小题5分
甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”.两人游戏时，若出现相同手势，则不分胜负.三人游戏时，若三人的手势都相同或互不相同，则不分胜负；游戏规则.例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，则甲、乙获胜.
甲、乙两人玩此游戏，则甲胜出的概率是______；
甲、乙、丙三人玩此游戏，甲决定出“石头”，请用画树状图或列表的方法分析甲胜出的概率其中石斗、剪刀、布分别用序号A、B、C表示
21.本小题7分
校训是一个学校的灵魂，体现了一所学校的办学传统，代表着校园文化和教育理念，是人文精神的高度凝练，是学校历史和文化的积淀.小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量学校教学楼上校训牌的高度AP，如图，她先在教学楼前的D处测得校训牌上端A处的仰角为，然后她后退2m到达F处，又测得该校训牌下端P处的仰角为，发现与恰好互余，已知教学楼的高，，小颖的眼睛离地面的距离，且A，P，B三点共线，，，，校训牌的顶端与教学楼顶端平齐，请你根据以上信息帮助她求出校训牌的高度
22.本小题7分
某校为了解本校九年级男生“引体向上”项目的训练情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试满分10分，成绩均记为整数分，并按测试成绩单位：分分成四类：A类，B类，C类，D类，绘制出如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
本次抽样调查的人数为______，并补全条形统计图；
扇形统计图中A类所对的圆心角是______，测试成绩的中位数落在______类；
若该校九年级男生有500名，请估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为A类或B类的共有多少名？
23.本小题6分
如图，深50cm的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，如图为容器顶部离水面的距离随时间分钟的变化图象.
放入的长方体的高度为______ cm；
求该容器注满水所用的时间.
24.本小题8分
如图，AB是的直径，点C、D在上，D为的中点.
求证：；
延长DO交于点E，连接CE交OB于点F，过点B作的切线交DE的延长线于点若，，求的值.
25.本小题8分
如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器.将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米.已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米.
求抛物线的解析式；
试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
26.本小题10分
问题提出
如图1，点D，E分别是边AB，AC上的点，且，，则与的高之比为______；
问题解决
如图2，在中，，，矩形DEFG的顶点D、E分别在边AB、AC上，顶点F、G在边BC上，若设，求当x取何值时，矩形DEFG面积最大并求出最大面积.
拓展应用
如图3，某校计划在操场北侧规划一片四边形空地ABCD，其中，，，，E、F分别是AD和CD上一点，且E、F到AC的距离相等，H是AC上一点，现在计划在E处、F处和B安装水龙头用于灌溉，在H处打一口水井并用管道将HE、HB、EF相连接，在和内种植花卉，剩余部分铺上草地.根据设计要求，想让花卉面积足够大即最大，请根据以上要求求出花卉的最大面积，并求取得最大面积时管道即的最小长度结果保留根号
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：，
故选：
根据零指数幂的运算法则计算即可．
本题考查了零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：直角三角尺绕它的最长边即斜边旋转1周，所形成的几何体是两个同底且相连的圆锥．
故选：
根据面动成体的原理：一个直角三角形绕它的最长边旋转一周，得到的是两个同底且相连的圆锥．
此题主要考查了面动成体，解决本题的关键是掌握各种面动成体的特征．
3.【答案】D
【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：
根据同底数幂的乘法可以判断A；根据合并同类项的方法可以判断B；根据积的乘方可以判断C；根据单项式除以单项式可以判断
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：，，
，
又，
，
故选：
首先根据直角三角形的两个锐角互余，求得的度数，再根据三角形的内角和定理的推论进行求解．
此题主要考查了三角形的内角和定理以及三角形的外角性质．
5.【答案】C
【解析】解：，，
四边形OCED为平行四边形，
四边形ABCD是菱形，，，
，，，
，，
平行四边形OCED为矩形，
，
故选：
由菱形的性质和勾股定理求出，再证出平行四边形OCED为矩形，得即可．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：直线中，令，则，
直线与y轴交于点，
又直线经过点，
，
，
又直线与y轴的交点在x轴下方，
，即，
解得，
故选：
由于与y轴交于，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．直线与y轴交于点，依据直线经过点，即可得出，再根据直线与y轴的交点在x轴下方，即可得到k的取值范围．
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握系数与图象关系是关键．
7.【答案】A
【解析】解：连接BD，
为CD的中点，
，
，
，
垂直平分CD，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：
连接BD，由等腰三角形的性质推出BA垂直平分CD，得到，判定是等边三角形，得到，推出，由圆周角定理得到，求出，判定是等边三角形，推出
本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定，关键是判定和是等边三角形．
8.【答案】D
【解析】解：由题意，抛物线为，
对称轴是直线
又在抛物线上，
抛物线为
抛物线开口向上．
抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
，且抛物线过，，，
，，
，
故选：
依据题意，由抛物线为，从而可得对称轴是直线，又在抛物线上，从而求出a，可得函数解析式，再结合二次函数的性质计算可以得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
9.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：平分，CE平分，，，
，，
的三条角平分线交于一点，
平分，
故答案为：
根据角平分线的定义可得出、，结合三角形内角和可得出，由三角形的三条角平分线交于一点，可得出BO平分，进而可得出的度数，此题得解．
本题考查了三角形内角和定理、角平分线以及三角形的内心，利用角平分线的定义结合三角形内角和定理找出的度数是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：解这个不等式组为，
则，
解这个不等式得
故答案
根据口诀“同小取小”可知不等式组的解集，解这个不等式即可．
主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，注意：当符号方向不同，数字相同时如：，，没有交集也是无解但是要注意当两数相等时，在解题过程中不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解
12.【答案】
【解析】解：如图，连接BC交OA于E，过B作于D，
当时，，解得，，
，，
四边形ACOB是矩形，
，E是BC中点，
在中，由勾股定理得，
在中，，
，
解得，
，
，
，
将代入得，，
故答案为：
连接BC交OA于E，过B作于D，先求得B的坐标，利用勾股定理求得OB，然后利用射影定理求得OA，根据矩形的性质求得E的坐标，进一步求得C点的坐标，将C点坐标代入反比例函数解析式求解k值即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，矩形的性质以及射影定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
13.【答案】
【解析】解：如图所示，连接AC，交BE于点，连接BD，
在中，，
当点A、、C在同一条直线上时，最大，
四边形ABCD是菱形，，
，，，，
，
是等边三角形，，
，，
，，
，
，
，，
，
，
故答案为：
当点A、P、C在同一条直线上时，最大，根据可得，利用勾股定理可以求出BP的最大长度．
本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系，掌握以上性质是解题的关键．
14.【答案】解：

【解析】先根据负整数指数幂、绝对值的性质、算术平方根的定义计算，再合并即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
15.【答案】解：去分母，得，
去括号，得
移项，得
合并，得
解得
在数轴上表示为：
.
【解析】根据不等式的性质：去分母、移项，再合并同类项最后系数化1即可．
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意性质3而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：
不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
16.【答案】解：，
，
等式两边同时乘以得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，
检验：当时，最简公分母，
时原分式方程的根．
【解析】根据因式分解、去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1等解答即可．
本题考查解分式方程，涉及分式方程的解法步骤，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的关键．
17.【答案】解：如解图，即为所求．

【解析】作线段AB的垂直平分线就熬BC于点O，以O为圆心，OB为半径作即可．
本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，掌握线段的垂直平分线的性质．
18.【答案】解：四边形ABCD是平行四边形
，且
，且
四边形DECF是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质可得，可得，可证，可得结论．
本题考查平行四边形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．
19.【答案】解：该数轴的单位长度为，
原点O的位置如图所示，
，
答：该数轴为1个单位长度；
，
解得，
答：n的值是，MN的长度是
【解析】先根据已知数轴上两点数值及对应刻度尺读数求出单位长度和原点位置，再根据比例关系求出n的值，进而得出MN的长度．
本题考查数轴两点之间的距离，有理数的四则混合运算以及一元一次方程的应用，解题的关键是找出数轴上的数值差与刻度尺上的长度差之间的比例关系．
20.【答案】；
【解析】解：将“石头”、“剪刀”、“布”三种手势分别记作A、B、C，
列表如下：
A B C
A
B
C
由表格可知，共有9种等可能出现的结果，其中甲胜出的有3种结果，
所以甲胜出的概率为，
故答案为：
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲胜出的有3种结果、、，
甲胜出的概率为
将“石头”、“剪刀”、“布”三种手势分别记作A、B、C，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21.【答案】解：延长EC交AB于点G，
由题意得：，，，，
，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
校训牌的高度AP为
【解析】延长EC交AB于点G，根据题意可得：，，，，从而可得，再利用同角的余角相等可得，然后再利用线段的和差关系求出，从而利用ASA证明≌，进而可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】本次抽样调查的人数为人，
补全的条形统计图如图；
，B；
类或B类的共有名，
答：估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为A类或B类的共有320名．
【解析】解：本次抽样调查的人数为人，
C组人数为人，
补全的条形统计图如图；
故答案为：50人；
类所对的圆心角是；
样本量为50，可知数据从大到小排列，第25，26个数在B组，故中位数在B类；
故答案为：72，B；
类或B类的共有名，
答：估计该校九年级男生“引体向上”项目成绩为A类或B类的共有320名．
由统计图之间的联系求出样本容量，进一步求出C组人数，补齐图形；
由A组的占比求出对应圆心角；根据中位数定义，可知第25，26个数在B组，故中位数在B组；
由样本占比估计总本的人数．
本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，中位数；通过统计图之间的联系求出样本容量是解题的关键．
23.【答案】20；
该容器注满水所用的时间为21分钟．
【解析】由图象可知，当时，水面到达长方体的上表面，
长方体的高度为，
故答案为：20；
设BC所在直线y与x的函数关系式为、b为常数，且
将，和，代入，
得，
解得，
当该容器注满水时，，
即，
解得，
该容器注满水所用的时间为21分钟．
根据图象，当时，水面到达长方体的上表面，根据长方体的高度=容器高度-此时水面的高度计算即可；
利用待定系数法求出BC所在直线对应的函数，当时解方程求出对应的t即可．
本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数表达式及理清体积之间的数量关系是解题的关键．
24.【答案】见解析；

【解析】证明：是的直径，
，
为的中点，
，
，
；
解：，
∽，
，
设，，
，
是的直径，PB是的切线，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，
根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，根据平行线的判定定理得到；
根据相似三角形的性质得到，设，，求得，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据三角函数的定义得到
本题是圆的综合题，考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，平行线的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
25.【答案】解：由题意，发射石块在空中飞行的最大高度为10米，
石块运行的函数关系式为
把代入解析式得：，
，即
石块能飞越防御墙AB，理由如下：
点B与点O的水平距离为28米，且米，
可令代入得：
，
石块能飞越防御墙
【解析】依据题意，由发射石块在空中飞行的最大高度为10米，从而，故石块运行的函数关系式为，再结合过，可以计算得解；
依据题意，把代入，求得y的值，与6作比较即可得解．
本题主要考查了二次函数的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
26.【答案】1：4；
当时，；
花卉的最大面积为：，
【解析】，
∽，
，
：：4，
和的相似比是1：4，
和对应高的比等于相似比1：4，
故答案为：1：4；
如图1，
作于H，交DE于Q，
，，，
，
四边形EFGD是矩形，
，，
四边形DGHQ是矩形，∽，
，，
，
，
，
，
当时，；
如图2，
作于Q，交EF于T，
设，
，，，
，
由得，
，
、F到AC的距离相等，
，
∽，
，
，
，
，
，
时，，
，
作等边三角形ACW，当点B在W处时，的面积最大，作于X，作于V，
，
，
花卉的最大面积为：，
连接EW，交AC于H，此时最小，
可得矩形XVWR，
，，
，，
，
，
根据∽，得出和对应高的比等于相似比求得结果；
作于H，交DE于Q，设，可得出∽，从而，从而得出，进而得出S矩形，进一步得出结果；
作于Q，交EF于T，设，可得出，从而得出∽，从而，进而表示出DT，从而表示出QT，从而表示出的关系式，进而求得EF的值和的最大值，作等边三角形ACW，当点B在W处时，的面积最大，作于X，作于V，进而求得面积的最大值，连接EW，交AC于H，此时最小，进一步得出结果．
本题考查了相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形，矩形的性质和判定等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．

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