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2025年云南省昭通市中考数学模拟试卷
一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1，2，3 B. 5，12，13 C. 5，6，10 D. 12，13，14
2.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.汉字的历史悠久是其魅力所在的重要因素，下列是我国古代书法小篆书写的“云”“南”“昆”“明”，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，，，则AB的长是( )
A. 8
B. 1
C. 2
D. 4
5.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.赛龙舟是端午节的重要习俗之一，凝聚着团结、协作和勇往直前的精神，某地龙舟赛的赛程为500米，A，B两队在同一起点同时出发，已知A队的平均速度是B队的倍，结果A队比B队提前了25秒到达终点，若设B队的平均速度是x米/秒，可列方程为( )
A. B.
C. D.
7.正九边形的每一个内角的度数是( )
A. B. C. D.
8.如图，两直线a，b被直线c所截，已知，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9.如果直线经过一、二、四象限，则k，b的取值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
10.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的方程的解是( )
A.
B.
C.
D.
11.甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行20次射击测试，他们的测试平均成绩相同，方差分别是，，，，则这四名射击运动员中成绩最稳定的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
12.如图，李伯伯家有一块四边形田地ABCD，其中，，，，，则这块地的面积为( )
A.
B.
C.
D.
13.如图，在中，AD是它的角平分线，AE是它的中线，，，，则ED长为( )
A. B. C. D.
14.如图，在中，DE垂直平分若，，则AC的长是( )
A. 12
B. 10
C. 9
D. 8
15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE，若，则OE的长为( )
A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 10cm
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
16.因式分解： .
17.在函数中，自变量x的取值范围是______.
18.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则的度数为______度．
19.如图，笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B，其中，由于周边施工，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点在同一直线上，并新修一条路CH，测得千米，千米，千米，则原路线AC的长为______千米.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
20.
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题8分
先化简，再求值，其中
22.本小题8分
如图，点E，F在直线AC上，，，求证：
23.本小题8分
如图，在四边形ABCD中，，，CA平分，过点A作，交CB延长线于点四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，连接
求证：四边形ABCD是菱形；
若，，求的面积.
24.本小题8分
每年的12月4日是中国的“全国法制宣传日”.某校为了增强学生对法律知识的了解，举行了法律知识竞赛，要求每班选派12名同学参赛满分10分，成绩为整数比赛结束后，将甲，乙两班的参赛选手的成绩汇总并绘制成如下不完整的统计图表：
甲乙两班的成绩分析表
班级 平均分 中位数 方差
甲班 6 b
乙班 a 7
根据以上图表的信息，回答下列各题：
______，______，并补全条形统计图；
参赛选手说：“这次竞赛我得了8分，在我们班中得8分的人最多！”观察上表可知，A参赛选手是______班的学生；填“甲”或“乙”
根据以上图表信息，你认为甲乙两班哪个班参赛成绩更好？请结合表中的统计量说明理由.
25.本小题8分
如图，三个顶点的坐标分别为，，
请画出关于y轴对称的，并写出点的坐标；
请画出绕点B顺时针旋转后的；
求出中的面积.
26.本小题8分
某中学开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，为满足教学需求，后勤处计划购买A，B两种型号的教学展台，已知A型展台价格比B型展台价格每台贵300元，用60000元购买A型展台的数量与用48000购买B型展台的数量相同.
问A，B型展台单价分别是多少元？
该中学计划购买两种展台共30台，要求A型展台数量不少于B型展台数量的，请设计一种购买方案，使得花费最少，并计算最少花费为多少元.
27.本小题8分
如图1，矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，，，过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P，且点P不与点B、C重合，过点P作，PD交x轴于点D，交y轴于点
若为等腰直角三角形.
①求直线AP的函数解析式；
②在x轴上另有一点G的坐标为，请在直线AP上找一点M，使的周长最小，并求出此时点M的坐标和周长的最小值.
如图2，过点E作交x轴于点F，若以A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求直线PE的解析式.
1.【答案】B
【解析】解：A、因为，故不能作为直角三角形三边长，不符合题意；
B、因为，故能作为直角三角形三边长，符合题意；
C、因为，故不能作为直角三角形三边长，不符合题意；
D、因为，故不能作为直角三角形三边长，不符合题意．
故选：
根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条边的长能否构成直角三角形，从而可以解答本题．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2.【答案】B
【解析】解：，，，
所以，，都不是最简二次根式，为最简二次根式．
故选：
根据最简二次根式的条件对各选项进行判断．
本题考查了最简二次根式：熟练掌握最简二次根式的条件：被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．把二次根式化简为最简二次根式是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使剪纸图案沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，剪纸图案沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：
根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：中，
，，，
故选：
根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得
本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．比较简单．
5.【答案】A
【解析】解：，故选项A正确，符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
与不是同类项，不能合并，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由题意得，，
故选：
设B队的平均速度是x米/秒，则A队的平均速度是米/秒，根据时间等于路程除以速度分别表示出两队的时间，再根据A队比B队提前了25秒到达终点建立方程即可．
本题主要考查了分式方程的实际应用，理解题意是关键．
7.【答案】B
【解析】解：每一个外角的度数是，
一个内角的度数是
故选：
根据正n多边形的每一个外角的度数为，进而求得内角的度数，即可．
本题考查了正多边形的内角与外角问题，正确记忆相关知识点是解题关键．
8.【答案】A
【解析】解：如图，
，
两直线平行，同位角相等，
，，
，
故选：
由，根据两直线平行，同位角相等，可得，由三角形外角的性质可得，求出，即可求得的度数．
此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，正确运用数形结合思想．
9.【答案】C
【解析】解：由一次函数的图象经过第一、二、四象限，
又由时，直线必经过二、四象限，故知
再由图象过一、二象限，即直线与y轴正半轴相交，所以
故选：
根据一次函数图象在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，从而求解．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交．
10.【答案】C
【解析】解：一次函数与一次函数的图象交于点，
关于x的方程的解是，
故选：
根据一次函数的图象即可知两直线交点的横坐标即方程的解．
本题主要考查了一次函数与一元一次方程，一元一次方程可以通过作出一次函数图象来解决．一元一次方程的根就是它所对应的一次函数函数值为0时，自变量的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标．
11.【答案】D
【解析】解：，，，，
，
这四名射击运动员中成绩最稳定的是丁，
故选：
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
12.【答案】A
【解析】解：，如图，连接BD，
在中，，，
由勾股定理得：，
负值已舍去，
在中，，，
，
，
故答案为：
连接BD，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和．
本题考查了勾股定理和三角形的面积，勾股定理的逆定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
13.【答案】C
【解析】解：如图，过点D作于G，于H，
平分，，，
，
，
，
，
，
是的中线，，
，
，
故选：
过点D作于G，于H，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式求出BD，根据三角形的中线的概念求出BE，进而求出
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的中线的概念、角平分线的性质是解题的关键．
14.【答案】C
【解析】解：垂直平分AB，
，
故选：
由线段垂直平分线的性质推出，即可求出AC的长．
本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等．
15.【答案】B
【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
又点E是AB的中点，
是的中位线，
故选：
根据平行四边形的性质得出，再由三角形中位线的判断和性质求解即可．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
16.【答案】
【解析】首先提公因式2，再利用平方差进行二次分解．
解：原式
故答案为：
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
17.【答案】
【解析】解：根据二次根式有意义的条件得，
解得，且当时，，
故答案为：
根据二次根式有意义的条件得出求解，然后进行验证即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件和一元一次不等式的求解，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
18.【答案】60
【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
故答案为：
根据等边三角形和正方形的性质可知，，再利用三角形外角的性质可得答案．
本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：千米，千米，千米，
，，
，
是直角三角形且
设千米，则千米．
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
即AC的长为千米，
故答案为：
根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形且设千米，则千米．在中，由勾股定理得出方程求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，熟记勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
20.【答案】解：

【解析】依据负整数指数幂以及有理数的混合运算法则，进行计算即可得到结果．
本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂，掌握负整数指数幂的性质是解题的关键.
21.【答案】解：原式
，
当时，原式
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】见解析．
【解析】证明：点E，F在直线AC上，，，
，
，
，
，
≌，
，
先证明≌，得到，即可得到
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
23.【答案】见解析；

【解析】证明：由题意可得：
，，
，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形；
，
四边形ABCD是菱形；
解：由题意可得：，，
，
，
，
，
，
的面积
证明，得到四边形ABCD是平行四边形；由即可证明四边形ABCD是菱形；
根据菱形的性质和直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，即可求出答案．
此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，证明四边形ABCD是菱形是解题的关键．
24.【答案】，6，见解析；
乙；
乙班成绩更好，见解析．
【解析】根据加权平均数、中位数定义可得：
，
甲班10个人中位数位于第5和第6个数，故，
，
补全条形统计图如图，
故答案为：，6；
观察上表可知，A参赛选手是乙班的学生；
故答案为：乙；
乙班成绩更好．理由如下：
乙班的平均数略高于甲班，乙班的中位数高于甲班，且方差小于甲班，即成绩波动小于甲班，
乙班成绩更好．
根据加权平均数、中位数定义求解即可；
根据条形统计图即可解答；
分别从方差、平均数和中位数的角度进行比较．
本题考查频数分布表、条形统计图、平均数、中位数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25.【答案】解：如图，为所作，点的坐标为；
如图，为所作；
的面积
【解析】利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A、B、C的对应点、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点和即可；
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
26.【答案】解：设B型展台的单价为x元，则A型展台的单价为元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：A型展台的单价为1500元，B型展台的单价为1200元；
设购买A型展台a台，则购买B型展台台，总花费为W元，
依题意．得，
随a的增大而增大，
要求A型展台数量不少于B型展台数量的，
，
解得，
当时，W的值最小，最小值为39000元，此时台，
答：购买A型展台10台，B型展台20台，花费最少，最少花费为39000元．
【解析】根据用60000元购买A型展台的数量与用48000购买B型展台的数量相同，可以列出相应的分式方程，然后求解即可；
根据题意和值的结果，可以写出费用与A型展台数量的函数关系，再根据要求A型展台数量不少于B型展台数量的，可以求得A型展台数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得费用的最小值．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
27.【答案】①直线AP解析式；
②周长的最小值，；
直线PE解析式
【解析】解：①矩形OABC，，，
，，，
，，，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
设直线AP解析式，
，
，
直线AP解析式；
②作点G关于直线AP对称点，
连接交直线AP于M，此时周长的最小．
，，
，
，
，
，
，
周长的最小值，
把代入得，，
；
如图：作于M，
，
且，
，且，
，
四边形PAEF是平行四边形，
，
又，，
≌，
，，
，
，，
，，
，，
设直线PE的解析式，
则，
，
直线PE解析式
①根据题意可求，用待定系数法可求直线AP解析式
②作作点G关于直线AP对称点，连接交直线AP于M，根据两点之间线段最短，可得此时的周长最小，根据勾股定理即可得到结论；
作于M，可证，由题意可证≌，可求，，即可得E点，P点坐标，即可求直线EP解析式．
本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

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