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2025年河北省石家庄市中考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.小军同学学习完有理数后，写了下列四个式子，其中是负数的是( )
A. B. C. D.
2.如图，该几何体的俯视图是( )
A. B.
C. D.
3.已知，若是任意有理数，则下列不等式中总是成立的是
A. B. C. D.
4.下列命题中真命题的个数是( )
过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
同角的余角相等；
垂直于同一条直线的两直线平行；
长度相等的弧是等弧．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.已知与的和是单项式，则式子的值是( )
A. B. C. D.
6.已知亩药材平均每年可获得收入万元，某县种植该品种药材约千亩，若用科学记数法表示该县种植此品种药材的年收入是元，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知与的乘积中不含的一次项，则当时，其乘积为( )
A. B. C. D.
8.如图，，，，，均是上的点，且是的直径，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
9.某中学田径队的名队员的年龄情况如下表：
年龄单位：岁
人数
则这些队员年龄的众数是( )
A. B. C. D.
10.活动课上，王老师把班级里名学生分成若干小组，每小组只能是人或人，则有分组方案．
A. B. C. D.
11.如图，，分别为，的中点，则：( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
12.如图，分别以的各边为一边向外作三个三角形，使，，再按图的方式将两个较小的三角形放在最大的三角形内，使，，，若要求出的面积，则需要知道下列哪个图形的面积( )
A. 四边形 B. 四边形 C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13. ．
14.已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的边长为______．
15.如图，将矩形沿折叠，使顶点落在上的点处，然后将矩形展平，沿折叠，使顶点落在折痕上的点处，再将矩形沿折叠，此时顶点恰好落在上的点处，如图，若，则______，______．
16.用边长相等的正多边形进行平面镶嵌时，若在每个顶点处有个边数分别为、、、的正多边形，则 ______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
先化简再求值：，其中，．
18.本小题分
阅读下面材料，并完成相应的任务．
“速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性观察下列各式：
；
发现如下速算规律：十位数字是是至的整数，个位数字是的两位数平方的结果是：______用含的代数式表示．
我们可以用所学知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理请你证明中的结论．
19.本小题分
为“弘扬校园足球精神，彰显校园文化魅力”，体育处举行了“足够精彩，追球卓越”知识竞赛现随机抽取了部分参赛学生的比赛成绩，并对数据进行整理、描述和分析比赛成绩用表示，共分为五组：：，：，：，：，：，绘制成如图所示的两个不完整的统计图：
请填空：随机抽取学生的人数为______， ______，扇形的圆心角度数是______；
请补全频数分布直方图；
如果该校有名学生参加此次比赛，分及以上称为资深足球迷，请估计本次比赛中资深足球迷有多少人？
20.本小题分
如图，已知菱形，，延长至点，连接，，延长交于点．
求证：；
若，求的面积．
21.本小题分
如图，从水平面看一山坡上竖直的通讯铁塔，在点处测得塔顶端点的仰角是，向前走米到达点处米，此时测得塔顶端点和塔底端点的仰角分别是和求该铁塔的高度结果精确到米；参考数据：，
22.本小题分
综合与实践
驱动任务：
跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了相关设计．
研究步骤：
数学建模：图是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线如图所示．
实践操作：
第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且两人相距；
第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高米的小敏同学从乙持绳手的左侧距离乙米处进入游戏，恰好通过；
第三步：现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
问题解决：
求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标．
当绳子甩到最高处时，通过计算说明身高的小明，从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能否通过跳绳．
现有位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳如图，为了保证安全，要求人与人之间距离至少，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不能，请说明理由．
同学编号
身高
23.本小题分
如图，已知是的直径，点在上，，，延长至，使以点为圆心任意长为半径作弧，与、分别交于、两点，再分别以这两点为圆心，大于的一半，长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，交于点．
______度
求证：是的切线；
求的值．
24.本小题分
问题背景：如图，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、．
探究图中线段，，之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接，先证明≌，再证明≌，可得出结论，他的结论就是______．
探究延伸：如图，在四边形中，，，，，绕点旋转它的两边分别交、于、，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论：______直接写出“成立”或者“不成立”，不要说明理由．
探究延伸：如图，在四边形中，，，，绕点旋转它的两边分别交、于、上述结论是否仍然成立？并说明理由．
实际应用：如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处北偏西的处舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以海里小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为此时两舰艇之间的距离为______海里．
答案和解析
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：原式
；
原式
，
当，，
原式
．
18.【解析】解：十位数字是是至的整数，个位数字是的两位数平方的结果是：．
故答案为：．
证明：由题知，．
理由如下：左边，
右边，
所以左边右边，
故此等式成立．
19.【解析】解：随机抽取学生的人数为：人；
，
；
扇形的圆心角度数为：，
故答案为：，，；
组的人数为：人，
补全频数分布直方图如下：
人，
答：估计本次比赛中资深足球迷有人．
20.【解析】证明：在菱形中，，平分，，
，，
，
，
，，
为等边三角形．
，
，
在与中，
，
≌，
，
即；
解：由得，，．
，
，
四边形是菱形，为等边三角形，
，，
．
，
．
21.【答案】解：如图，延长交直线于点，则，
根据题意，得，，，
，，
设米，则米，
在中，米，米，
在中，，
即，
解得，
米，
即该铁塔的高度约为米．
22.【答案】解：设抛物线的解析式为：，
根据题意，抛物线经过点、、，
代入解析式得：，
解得：，
设抛物线的解析式为：，
当时，，
顶点坐标为．
答：抛物线的解析式为，顶点坐标为；
当时，，
小明从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能否通过跳绳；
绳子能顺利地甩过所有队员的头顶，方案如下：
有位同学采取一路纵队并排的方式同时起跳且人与人之间距离至少米，
则首尾两位同学的距离是米，
最理想状态是最高的同学站在对称轴的位置，身高越高的同学越靠近对称轴，按照，，，，，，，，的顺序排列，
此时首尾两位同学距离对称轴距离恰好是米，
将代入得，此时绳子能顺利的甩过头顶，
将代入得，此时绳子能顺利的甩过头顶，
将代入得，此时绳子能顺利的甩过头顶，
将代入得，此时绳子能顺利的甩过头顶，
将代入得，此时绳子能顺利的甩过头顶，
当按照，，，，，，，，的顺序排列时，绳子能顺利的甩过所有队员的头顶答案不唯一．
23.
【解析】解：是得直径，
，
根据作图过程可知：平分，
，
故答案为：；
如图，连接，
是得直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
如图，连接，
是得直径，
，
在中，，，
，
平分，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，，
∽，
，
．
24.【解析】解：问题背景：
如图，延长到，使，连接，先证明≌，再证明≌，可得出结论：；
故答案为：；
探究延伸：
上述结论仍然成立，即，理由如下：
如图，延长到，使，连接，
，，，
≌，
，，
，
，
即，
，
又，
≌，
，
即，
可得出结论：；
探究延伸：
上述结论仍然成立，即，理由：
如图，延长到，使得，连接，
，，
，
，，
≌，
，，
，
又，
，
，
≌，
；
实际应用：
如图，连接，延长交的延长线于，
因为舰艇甲在指挥中心处北偏西的处．舰艇乙在指挥中心南偏东的处，所以，
因为指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，所以，所以．
依题意得，，，，所以，
因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题：
在四边形中，，，，的两边分别交，于，，求的长．
根据探究延伸的结论可得：，
根据题意得，海里，海里，
所以海里．
答：此时两舰艇之间的距离为海里．
故答案为：．
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