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2024学年第二学期高三年级5月质量监控考试数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、填空题 (本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分。考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。)
1．已知全集，，则 ．
2．已知复数 ，其中为虚数单位，则 ．
3. 展开式中的系数为______.
4．已知角在第二象限，且 ， 则= .
5．若正数、满足，则的最大值为_____________。
6．设实数，圆:的面积为，则 ．
7．已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则 ．
8．某学校物理兴趣小组有6个男生，4个女生，历史兴趣小组有3个男生，5个女生，先从两个兴趣小组中随机选取一个兴趣小组，再从所取的兴趣小组中随机抽取一个学生，则该学生是男生的概率是 ．
9．已知函数的表达式为，则不等式的解集为 ．
10．若 是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为 .
11．如图所示，已知， 内有一点与的距离为1 km， ，，
垂足分别为A、B且．
当四边形的面积为最大值时，
则 ．(结果精确至0.01)
12. 已知关于的方程有四个互不相等的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是______．
二、选择题（满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 已知，则“”是“”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）.
A.直线AA1 B.直线A1B1
C.直线A1D1 D.直线B1C1
15．已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题：
①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有.
则下列判断正确的是（ ）
A．①②都是假命题 B．①②都是真命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题
三、解答题：（本大题共5题，满分78分，
17. 如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，．
（1）求证：平面PBC；
（2）求二面角的正弦值．
18．(第1小题满分6分，第2小题满分8分)
设，.已知函数的定义域为D，且．
(1) 若函数是偶函数，求的值；
(2) 设.若对任意的，均有，求的取值范围．
19．同程旅游随机调查了年龄在（单位：岁）内的1250人的购票情况，其中50岁以下（不包含50岁）的有900人，50岁以上（包含50岁）的有350人，由调查数据的统计结果显示，有的人参与网上购票，网上购票人数的频率分布直方图如下图所示.
（1）已知年龄在，，的网上购票人数成等差数列，求的值；
（2）根据题目数据填写列联表，并根据填写数据判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为网上购票与年龄有关系？
50岁以下 50岁以上 总计
参与网上购票
不参与网上购票
总计
附：
（3）为鼓励大家网上购票，该平台常采用购票就发放酒店入住代金券的方法进行促销，具体做法如下：年龄在岁的每人发放20元，其余年龄段的每人发放50元，先按发放代金券的金额采用分层抽样的方式从参与调查的1000位网上购票者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访调查，求此3人获得代金券的金额总和的分布列和数学期望.
20．已知椭圆，点、分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点的直线与椭圆交于A、B两点．
(1)若直线平行于轴，求线段AB的长；
(2)若点A在y轴左侧，且，求直线l的方程；
(3)已知椭圆上的点C满足，是否存在直线l使得的重心在x轴上？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
21．(第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义
．
(1) 设，求；
(2) 设，若函数在处的切线经过()，求的值并求出集合；
(3) 若且,求．2024学年第二学期高三年级5月质量监控考试数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、填空题 (本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分。考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。)
1．已知全集，，则 ．【答案】
2．已知复数 ，其中为虚数单位，则 ．【答案】
3. 展开式中的系数为______.【答案】
4．已知角在第二象限，且 ， 则= . 【答案】
5．若正数、满足，则的最大值为_____________．【答案】
6．设实数，圆:的面积为，则 ．【答案】
7．已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则 ．【答案】
8．某学校物理兴趣小组有6个男生，4个女生，历史兴趣小组有3个男生，5个女生，先从两个兴趣小组中随机选取一个兴趣小组，再从所取的兴趣小组中随机抽取一个学生，则该学生是男生的概率是 ．【答案】
9．已知函数的表达式为，则不等式的解集为 ．【答案】
10．若 是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为 .
11．如图所示，已知， 内有一点与的距离为1 km， ，，
垂足分别为A、B且．
当四边形的面积为最大值时，
则 ．(结果精确至0.01)
12. 已知关于的方程有四个互不相等的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是______．【答案】
二、选择题（满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 已知，则“”是“”的（ C. ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
14．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ D. ）.
A.直线AA1 B.直线A1B1
C.直线A1D1 D.直线B1C1
15．已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ A ）
A． B． C． D．
16．已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题：
①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有.
则下列判断正确的是（ B）
A．①②都是假命题 B．①②都是真命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题
三、解答题：（本大题共5题，满分78分，
17. 如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，．
（1）求证：平面PBC；
（2）求二面角的正弦值．
【解答】
（1）由正方形，得，而平面，平面，则平面，
又，平面，平面，则平面，
又平面，因此平面平面，而平面，
所以平面.
（2）由平面，且四边形为正方形，得直线两两垂直，以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
令，则，
，
设平面的法向量，则，取，得，
设平面的法向量，则，取，得，
设二面角的大小为，则，，
所以二面角正弦值为.
18．(第1小题满分6分，第2小题满分8分)
设，.已知函数的定义域为D，且．
(1) 若函数是偶函数，求的值；
(2) 设.若对任意的，均有，求的取值范围．
【解答】
(1) 方法一：
由函数是偶函数，可知，解得. ……2分
同时，解得. ……4分
此时，对任意，显然有
综上所述：，. ……6分
方法二：
由函数是偶函数，可知，解得. ……2分
且对任意，有，即
化简得恒成立 ……4分
综上所述：，. ……6分
(2) 根据，且，可知，解得或 ……2分
情况1：当时，对任意，，故只需.
即. 设，
则，故是上的严格增函数. ……4分
故只需，解得，且 ……6分
情况2：当时，对任意，，故只需.
同理可知，只需，即，舍去
综上所述：的取值范围是 ……8分
19．同程旅游随机调查了年龄在（单位：岁）内的1250人的购票情况，其中50岁以下（不包含50岁）的有900人，50岁以上（包含50岁）的有350人，由调查数据的统计结果显示，有的人参与网上购票，网上购票人数的频率分布直方图如下图所示.
（1）已知年龄在，，的网上购票人数成等差数列，求的值；
（2）根据题目数据填写列联表，并根据填写数据判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为网上购票与年龄有关系？
50岁以下 50岁以上 总计
参与网上购票
不参与网上购票
总计
附：
（3）为鼓励大家网上购票，该平台常采用购票就发放酒店入住代金券的方法进行促销，具体做法如下：年龄在岁的每人发放20元，其余年龄段的每人发放50元，先按发放代金券的金额采用分层抽样的方式从参与调查的1000位网上购票者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访调查，求此3人获得代金券的金额总和的分布列和数学期望.
【解答】
（1）依题意，，，
解得，；
（2）
50岁以下 50岁以上 总计
参与网上购票 750 250 1000
不参与网上购票 150 100 250
总计 900 350 1250
所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，能认为网上购票与年龄有关系；
（3）利用分层抽样的方式从1000位网上购票者中抽取10人，其中年龄在岁的有6人，其余年龄段的有4人，
从中随机抽取3人，则这3人获得代金券的金额总和的所有可能取值为60，90，120，150，
且，，，
，
故分布列为
60 90 120 150
数学期望.
20．已知椭圆，点、分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点的直线与椭圆交于A、B两点．
(1)若直线平行于轴，求线段AB的长；
(2)若点A在y轴左侧，且，求直线l的方程；
(3)已知椭圆上的点C满足，是否存在直线l使得的重心在x轴上？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3
(2)或
(3)存在，或或
【分析】（1）根据椭圆方程求出直线与椭圆交点的横坐标后可求；
（2）设，根据点在椭圆上和可得关于的方程组，求出其解后可得直线方程；
（3）就斜率是否存在分类讨论，若斜率存在，则联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理结合中心在轴上求出的纵坐标，再根据求出的横坐标，代入椭圆方程可求斜率.
【详解】（1）由题意，、，所以直线的方程是，
代入中，得，所以
（2）设，则
所以，
又，所以所以点坐标是或，
所以直线的方程是或.
（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
代入中，得，此时，
设、、，
则，所以中点.
又的重心在轴上，所以，
即，故，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为点在椭圆上，所以，解得或
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时、恰为长轴顶点，点为短轴顶点，满足题意．
综上所述，存在直线l使得的重心在轴上，
其方程为：或或.
21．(第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义
．
(1) 设，求；
(2) 设，若函数在处的切线经过()，求的值并求出集合；
(3) 若且,求．
【解答】
(1) 对求导有，
所以，，
因此， ……2分
求解不等式有，
由于该式对于任意均成立， ……3分
所以. ……4分
(2) 对求导有，
则在处的切线方程为， ……2分
代入可得或，
由于，所以. ……4分
因此. ……5分
求解不等式可得. ……6分
(3) 先证明：
设，
则，
所以在上的最大值为，
进而，
因此. ……3分
再证明：
根据和，分别推出和， ……4分
由不等式性质可得，，即. ……6分
由于在和处的切线为和，
所以在和处的切线重合. ……7分
因此，. ……8分

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