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北京师范大学附属实验中学
2027届高一下学期数学阶段测试二
2025.06.03
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为（ ）
A. 8 B. 16 C. D.
2. 如图，在正方体中，则与所成角为（ ）
A B. C. D.
3. 设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 在中，角所对的边分别为已知，，给出下列五个a的值：①；②；③；④2；⑤3．其中能使得△ABC存在且唯一确定的是（ ）
A ①④ B. ②③ C. ④⑤ D. ②④⑤
5. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，若，，，则为（ ）
A. B. C. D.
7. 在锐角中，，则一个可能的取值为（ ）
A. 1 B. 1.5 C. 1.8 D. 2
8. 如图，直三棱柱中，为棱的中点，为线段上的动点．以下结论中正确的是（ ）
A. 存在点，使
B. 不存在点，使
C. 对任意点，都有
D. 存在点，使平面
二、填空题（每小题4分，共24分）
9. 已知i是虚数单位，化简 的结果为_________.
10. 在中，，则________．
11. 已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到的是___________.（填入条件的序号即可）
①；②；③；④.
12. 在中，角的对边分别是，若，且，则______，的面积最大值是______．
13. 一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为,,,根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为__________m．
14. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是________．
①直线与直线相交；
②当时，为四边形；
③当为的中点时，平面截正方体所得的截面面积为；
④当时，截面与，分别交于，则．
三、解答题（共44分）
15. 如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面；
16. 在中，，，．
（1）求；
（2）求的面积．
17. 已知函数.
（1）求的值；
（2）求的对称轴；
（3）若方程在区间上恰有一个解，求的取值范围.
18. 如图1，在中，，，，，分别为，的中点．将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2．
（1）求证：；
（2）若M是线段上的点，平面与线段交于点N．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．使点M唯一确定，并解答问题．
（ⅰ）求证：为中点；
（ⅱ）求证：平面．
条件①；
条件②；
条件③．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
附加题（10分）
19. 设，对定义在上的函数，若存在常数，使得对任意恒成立，则称函数满足性质．
（1）判断下列函数是否具有性质？
①，②，③．
（2）若函数具有性质，其中，求证：函数具有性质；
（3）设函数具有性质，其中是奇函数，是偶函数．若，求值．
北京师范大学附属实验中学
2027届高一下学期数学阶段测试二
2025.06.03
一、选择题（每小题4分，共32分）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】C
二、填空题（每小题4分，共24分）
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】或
【11题答案】
【答案】①③（或②④）
【12题答案】
【答案】 ①. ②.
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】②③④
三、解答题（共44分）
【15题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）选择条件，答案见解析.
附加题（10分）
【19题答案】
【答案】（1）①具有性质；②不具有性质；③具有性质
（2）证明见解析 （3）

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