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杨村第一中学
YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL
杨村一中2024~2025学年度第二学期第三次学业质量检测
高一数学
参考答案
一、选择题（本题共8小题，每题4分，共32分）
题号
1
3
4
6
>
8
答案
A
D
D
二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）
9.-1-8i
10.2W6
11.√2i
12.④⑤
13.86π
6
三、解答题
15.(本小题满分10分)
5d+5c2=5-2ac得a+c2-b=-25
Cos B=a+c2-b1
.25
由余弦定理知，
3 de
5.2分
2ac
2ac
3
又B∈(0，π)，
…3分
所以sinB=V仁cosB-6
4分
b
(2)(i)由正弦定理知，
sin A sin B'
sinA=asinB 3.
3=
5分
2
又a<6,所以4e0引所以A=牙
6分
m4-引m子引mg9
7分
(ii)b2=a2+c2-2accos B,
即c2+2c=1,解得c=反-1（舍去负根)，8分
所以v8c的面积5-0csm8-×5x(5-x5.2-5
2
2
10分
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16.(本小题满分12分)
(1)由题意
,∴△ABC为等腰直角三角形，
在三棱柱ABC-AB,C中，侧面BCC,B,ABB,A均为正方形，
易知：△AB,C为等腰直角三角形，
又D是棱的AC中点，则B1D1A1C1,2分
由AA⊥面A,BC,BDC面AB,C,则AA⊥BD,而AA∩AC=A,且AA、ACC面
ACCA,
.B,D⊥面ACCA,3分
又BDc平面ABD,
.平面ABD⊥平面ACC4:…4分
(2)设O是AB,B4的交点，又ABB,4为正方形，则O为BA的中点，
.在△BAG中，OD1IBC,6分
又ODc面ABD,BCt面ABD,7分
六BC1平面ABD:8分
D
B
(3)由(1)知：
40-4G-竖，而4=1，则D=5,又B02,
2
2
2
S.m=80A0=
4
9分
由Sm-8a0-40=子则m=写5w=71分
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又'44s='s,若A到平面AB,D的距离为d,
号5m古可得d=5
…12分
17.(本小题满分12分)
(1)由题设(0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,…2分
可得a=0.03,2分
由(0.01+0.015+0.015+0.03)×10=0.7<0.75，(0.07+0.025)×10=0.95>0.75，
所以样本的第75百分位数位于区间[80,90)，设为x,
则0.7+(x-80)×0.025=0.75
所以x=82分
则其第75百分位数为82分4分
(2)由题设0.1×45+0.15×55+0.15×65+0.3×75+0.25×85+0.05×95=71分：
则平均分为71分6分
(3)由题设，【40,50)，50,60)的频率比为2：3，
7分
故抽取的5人中[40,50)有2人为a,b、[50,60)有3人为A,B,C,
任抽2人有ab,aM,aB,aC,bMbB,bC,1B1C,BC,共10种情况，9分
分数在40,50).[50,60)各一人有aA,aB,aC,bM,bB,bC,共6种情况，11分
所以这2名同学分数在[40,50)，[50,60)各一人的概率=
°10512分
18.(本小题满分12分)
(1)因为在锐角VABC中，a=c-2 acos B,
由正弦定理得sinA=sinC-2 sin Acos B,1分
sin A=sin(+B)-2sin Acos B,
所以sinA=sin Acos B+sin Bcos A-2 sinAcos B,3分
则sinA=sin(B-A),所以B-A=A或B=π（舍去），
所以B=2A4分
(2)因为VABC是锐角三角形，又B=2A,
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高一数学
第Ⅰ卷(选择题 共32分)
一、选择题(本题共8小题，每题4分，共32分)
1.某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取( )
A. 40人 B. 28人 C. 12人 D. 8人
2.盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于(
A. B. C. D.
3.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是( )
A. a的值为0.005
B.估计这组数据的众数为75
C.估计成绩低于 60分的有250人
D.估计这组数据的第85百分位数为85
4.已知a，b，c表示不同的直线，α，β表示不同的平面，给出下面四个命题：
(1)若α∥β,a α, 则a∥β; (2)若 则ab;
(3)若a∥β,b β, 则a∥b; (4)a⊥β,b β, 则a⊥b.
上面四个命题正确的有( )
A. (1), (3) B. (2), (4)
C. (1), (2), (4) D. (1), (3), (4).
5. 设x, y∈R, 向量=(x,1), =(1,y), =(2,-4).且⊥, ∥c, 则 与 夹角的余弦值为( )
6.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 则
B. D.
7. 如图, 在平行四边形ABCD中, CE=DE, EB和AC相交于点G,且F为AG上一点(不包括端点)，若 则 的最小值为( )
A.
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8. 已知正方体ABCD-A B GD 的体积为 则四棱锥A -ABCD与四棱锥 重叠部分的体积是( )
第Ⅱ卷(非选择题 共88分)
二、填空题(本题共6小题，每题5分，共30分)
9. 已知复数z满足z(1+i)=7-9i, 则z= .
10.若用斜二测画法画△ABC的直观图△A'B'C'是边长为2的正三角形，如图所示，则原 的面积为 .
11.在△ABC中, 若 其面积为 , 则a+b= .
12.已知△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a,b,c,
①若sin2A=sin2B, 则△ABC定为等腰三角形
②若 则△ABC一定是锐角三角形
③若点M是边 BC上的点，且 则△AMC的面积是△ABC面积的
④若△ABC平面内有一点0满足： 且 则△ABC为等边三角形
⑤0为△ABC平面内有一点，若动点P满足 则动点P的轨迹一定通过△ABC的外心.其中所有正确结论的序号 .
13.已知正方体.ABCD-AB C D 的的棱长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形CDD C 内(包括边界)的一动点，且满足B P∥平面BA E，B P的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为 .
14.在梯形ABCD中,. CM与BD相交于点 Q.若 则 若 N为线段AC延长线上的动点，则 的最小值为 .
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三、解答题(本题共5道大题，共58分)
15.(本小题满分10分)
在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且.
(1) 求sinB;
(2) 若 ①求 的值；②求△ABC的面积
16.(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱 中, 侧面BCC B , ABB A 均为正方形,
点D是棱的A C 中点.
(1)求证: 平面AB D⊥平面ACC A ;
(2)求证: BC //平面AB D;
(3)求点A 到平面AB D的距离.
17.(本小题满分12分)
2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试. 根据测试成绩, 将所得数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组,其频率分布直方图如图所示.在天津考生下载更多资料
(1)求该样本的第-75百分位数；
(2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)；
(3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格(60分以下的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在[40,50),[50,60)各一人的概率.
18.(本小题满分12分)
在锐角三角形ABC中，a；b，c分别为角A，B，C所对的边，
(1)证明:
(2)求 的范围.
19.(本小题满分12分)
如图, 在菱形ABCD中, AB=3,∠ABC的余弦值为 M为BC靠近B的三等分点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB M,连接B C和.
(1)求证: 平面B MC⊥平面AMCD;
(2)判断线段CN的长是否为定值 若是，请求出线段CN的长，若不是，请说明理由；
(3)求二面角 的正切值.
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