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启星中学2024-2025学年第二学期第二次检测
高一年级数学学科试卷
一、单选题（每题5分，共40分）
1．复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
2．一个圆台的母线长为5，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（ ）
A． B． C． D．
4．的值为（ ）
A． B． C． D．
5．设是平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若与所成的角相等，则
6．在长方体中，若，，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角的对边分别为，若.则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．圆锥的表面积为，其内切球的表面积为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题6分，共18分）
9．下列基本事实叙述正确的是（ ）
A．经过两条相交直线，有且只有一个平面
B．经过两条平行直线，有且只有一个平面
C．经过三点，有且只有一个平面
D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面
10．下列说法正确的是（ ）
A．，
B．
C．若，，则的最小值为1
D．若是关于x的方程的根，则
11．三棱锥中，平面平面ABC，，，则（ ）
A．
B．三棱锥的外接球的表面积为
C．点A到平面SBC的距离为
D．二面角的正切值为
三、填空题（每题5分，共15分）
12．已知向量．若，则实数的值为 ．
13．若，且，则 .
14．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若，则 ；若为锐角三角形，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知向量．
（1）若，求x的值；
（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点.
（1）证明平面;
（2）证明:平面.
17．在中，角的对边分别为．
(1)求；
(2)若的面积为边上的高为1，求的周长．
18．已知如图一，在矩形ABCD中，，．将沿BD折起，得到大小为的二面角．
(1)当时，求与平面BCD所成角的正切；
(2)当时，求B到平面的距离；
(3)①当，求的值；
②如图二，在三棱锥中，已知，，，二面角的大小为，试直接写出利用，，的三角函数表示的结论，不需要证明．
19．如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，.
(1)若，求的面积；
(2)证明：；
(3)若，求的面积的取值范试卷第1页，共3页参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A C B B B B AB ACD
题号 11
答案 AD
1．C
【详解】的共轭复数.
故选：C.
2．D
【详解】圆台的高为，
圆台的体积．
故选：D
3．A
【详解】.
故选：.
4．C
【详解】.
故选：C
5．B
【详解】对于A选项，若，，则与可能平行、相交或异面.
例如，在正方体中，平面，平面，但与是相交的；平面，平面，但与是平行的.平面，平面，但与是异面的.
所以A选项错误.
对于B选项，若，则存在直线，使.
又因为，根据直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的任意一条直线垂直，所以.
由于，根据异面直线所成角的定义可知，所以B选项正确.
对于C选项，若，，则或.例如，当在平面内时，也能满足且,所以C选项错误.
对于D选项，若，与所成的角相等，则与可能平行、相交或异面.
例如，圆锥的母线与底面所成的角都相等，但母线之间可能相交.所以D选项错误.
故选：B.
6．B
【详解】连接、，由题可得，又，
则四边形为平行四边形，则，
即，所成角，即为与所成角或其补角，
又由题可得，，
则.
因此，异面直线，所成角的余弦值为.
故选：B.
7．B
【详解】因为，得到，
又，，则，所以，
又，则，所以，得到，所以，即，
故选：B.
8．B
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内切球半径为，
如图作出圆锥的轴截面，其中设为外接圆圆心，为切点，为圆锥母线，
连接.
设，，.
，，，又，
，，
，
则圆锥表面积，圆锥内切球表面积，
所求比值为，
令，则，
则，且当时，取得最大值，
故，即的取值范围是.
故选：B.
9．AB
【详解】根据基本事实以及推论，易知A，B正确；
对于C项，若三点共线，经过三点的平面有无数多个，故C错误；
对于D，若这个点在直线外，则确定一个平面，若这个点在直线上，可有无数平面，故D不正确；
故选：AB
10．ACD
【详解】对于A，，设复数，则，，
故，A正确；
对于B，由于，故，B错误；
对于C，，设，由于，则，
故，
由，得，则，
故当时，的最小值为1，C正确；
对于D，是关于x的方程的根，
故，即，
故，D正确，
故选：ACD
11．AD
【详解】对于A，因为平面平面ABC，，即，
平面平面，平面SAB，所以平面ABC，
又因为平面ABC，所以，故A正确；
对于B，因为，，，
所以平面SAB，因为平面SAB，
所以.又平面ABC，平面ABC，
所以，即，
所以三棱锥外接球的直径为SC.因为，
所以，
所以三棱锥的外接球的表面积，故B错误；
对于C，因为平面SAB，平面SBC，
所以平面平面SBC，过点A作，交SB于点G，
根据面面垂直的性质定理，可得平面SBC，
故点A到平面SBC的距离为AG，由，，
得，则，
则，故C错误；
对于D，，，所以∠SBA为二面角的平面角，
在中，，故D正确；
故选：AD.

12．
【详解】因为，所以.
又，所以，解得.
故答案为：.
13．
【详解】由，得.
因为，所以，则，则.
由，得，则，解得.
故答案为：.
14．
【详解】因为，所以，
，
，
，由，
则，即，
代入，可得，则，且，
解得.
由，
①当时，且，若是锐角三角形，则，
所以，不成立；
②当时，且，所以，代入上式，
可得，若是锐角三角形，则，所以，即，
且
，又，
所以.
故答案为：；.
15．（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.
【详解】解：（1）∵向量．
由，
可得：，
即，
∵x∈[0，π]
∴．
（2）由
∵x∈[0，π]，
∴
∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；
当，即时．
16．(1)见详解；（2）见详解.
【详解】(1)记中点为，连，由分别为中点，
所以
又平面 ，平面，
所以平面；
(2) 由底面，
所以，
又 ，，
所以平面，
所以，
由， 为中点，
所以
又，
所以平面.
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理，得，
即，即.
因为在中，，
所以.
又因为，所以.
（2）因为的面积为，
所以，得.
由，即，
所以.由余弦定理，得，即，
化简得，所以，即，
所以的周长为.
18．(1)
(2)
(3)①②
【详解】（1）过作于，连接，如图，
因为二面角的大小为，所以平面平面，
因为，平面∩平面，平面，
所以平面，
所以为与平面所成角，
在中，
在中，
在中，，
所以在中，
，
所以,
在中，
即与平面所成角的正切是.
（2）在（1）图中，，
在中，
所以，
的面积
因为平面，
所以三棱锥的体积
所以B到平面的距离.
（3）①矩形中找到的对应线段，并设的延长线交于，
在中，，
所以
在三棱锥中，如图，
由，所以为二面角的平面角，
即
在中，
在中，
②
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记，
在中，由余弦定理，，
所以，则，所以，
又因为为等边三角形，
所以，且，
所以，
则的面积为；
（2）在中，由正弦定理可得，
即且，
由于，
故，
由于三角形中，，因此，得证，
（3）在平面四边形中，已知，，为等边三角形，，设，
在中，由余弦定理，，
，
在中，由正弦定理，，即，所以，
结合
，
又因为，所以，
所以，
即的面积的取值范围为．
答案第1页，共2页

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