资源简介

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2024-2025学年春学期联盟校第二次阶段考试
四解答题
16(15分)
高一年级数学答题纸
15(13分)
姓名：
班级：
考场
注意事项
1.答题前请将姓名、班级、考场、座
号和准考证号填写清楚。
2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂
修改时用橡皮擦干净。
3.
主观题必须使用黑色签字笔书写。
贴条形码区
4.
必须在题号对应的答题区域内作答，
超出答题区域书写无效，
5.保持答卷清洁完整。
正确填涂■缺考标记
一.单项选择题(40分)
1 [A]CB][c][D]4 [A][B][e][D]
7[A][B][c][D
2[AJ[B][c][D]5[AJ[B][c][D
8[A][B][c][DJ
◆
3 [A][B][c][D]6 [A][B][c][D]
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二，多项选择题(18分)
9[A][B][c][]10[A][B][c][JI1[A][B][c][D]
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三填空题(15分)
2
请勿在此区域作答
回回
口口■
ID:3684261
第1页共2页
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请使用2B钼笔填涂选择题答桑等顼及考号
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17(15分)
18(17分)
19(17分)
可
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口■口
ID:36842612024/2025学年度第二学期
联盟校第二次阶段性考试高一年级数学试题
（总分150分 考试时间120分钟）
注意事项:
1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分。
2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上。
3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则 ( )
A．2 B．3 C．5 D．7
2．已知的内角A,B,C所对的边分别是，若，则( )
A． B． C． D．
3．在平行四边形ABCD中，AC为对角线，若，，则( )
A． B． C． D．
4．设α，β是两个不同平面，m，n是两条直线，下列命题中错误的个数是(　 　)
⑴．如果m∥n，m⊥α，n⊥β，那么α∥β；
⑵．如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α∥β；
⑶．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；
⑷．如果α∥β，m与α所成的角和n与β所成的角相等，那么m∥n
A． B．2 C．3 D．4
5．函数的值域为( )
A． B． C． D．
6．( )
A． B． C． D．
7. 在中，若，，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，，若点是线段上的动点，设，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 对于函数与的图象，下列说法错误的是（ ）
A．与有三个交点 B．与有两个交点
C．，当时，恒在的下方
D．，当时，恒在的上方
10. 如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，
则下列四个结论正确的是(　 　)
A．三棱锥A－D1PC的体积变化
B．A1P∥平面ACD1
C．DP⊥BC1
D．平面PDB1⊥平面ACD1
11. 中国古代杰出数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上;以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实;一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即为三角形的面积，a，，c为三角形的三边现有满足，且的面积，则 ( )
A. 的最长边长为14 B. 的三个内角满足
C. 的三条高的和为 D. 的中线CD的长为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知复数，若，则 ▲ ．
13. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若有三个零点，则实数的取值范围为 ▲ ．
14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设若，则的值为____▲_______
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)求角的大小；(2)设，．（i）求的值；（ii）求的值．
16. （本小题满分15分）已知向量a，b的夹角为60°，且a＝(1,0)．
(1)若|b|＝2，求b的坐标；(2)若(a＋b)⊥(a－b)，求|a－2b|的值．
17. （本小题满分15分）已知函数f(x)＝sin＋cos.
(1)求函数f(x)在区间上的最值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f 的值．
18. （本小题满分17分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝30°，PD⊥平面ABCD，AD＝2，点E为AB上一点，且＝m，点F为PD中点.
(1)若m＝，证明：直线AF∥平面PEC；
(2)是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB？
若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
19. （本小题满分17分）
对任意两个非零向量，，定义新运算：，其中为与的夹角．
（1）若非零向量满足，且，求的取值范围；
（2）若向量，，且，求正数的值；
（3）已知非零向量满足（是正整数），向量的夹角，和都是有理数，且，求．2024/2025学年度第二学期
联盟校第二次阶段性考试高一年级数学试题（答案）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知，则 ( C )
A．2 B．3 C．5 D．7
2．已知的内角A,B,C所对的边分别是，若，则( D)
A． B． C． D．
3．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，，则( A)
A． B． C． D．
4．设α，β是两个不同平面，m，n是两条直线，下列命题中错误的个数是(　C　)
⑴．如果m∥n，m⊥α，n⊥β，那么α∥β；⑵．如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α∥β；
⑶．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；
⑷．如果α∥β，m与α所成的角和n与β所成的角相等，那么m∥n
A． B．2 C．3 D．4
5．函数的值域为( B)
A． B． C． D．
6． (D)
A． B． C． D．
7. 在中，若，，则角的大小为（ B ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，，若点是线段上的动点，设，则的最大值为（ A ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 对于函数与的图象，下列说法错误的是（ BC ）
A．与有三个交点 B．与有两个交点
C．，当时，恒在的下方
D．，当时，恒在的上方
10. 如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论正确的是(　BD　)
A．三棱锥A－D1PC的体积变化
B．A1P∥平面ACD1
C．DP⊥BC1
D．平面PDB1⊥平面ACD1
11. 中国古代杰出数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上;以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实;一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即为三角形的面积，a，，c为三角形的三边现有满足，且的面积，则 ABD
A. 的最长边长为14 B. 的三个内角满足
C. 的三条高的和为 D. 的中线CD的长为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知复数，若，则 2-i ▲ ．
13. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若有三个零点，则实数的取值范围为 （-3,3）▲ ．
14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了"勾股圆方图"，亦称"赵爽弦图"(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成)．类比"赵爽弦图"，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设若，则的值为____4▲_______
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)求角的大小；
(2)设，．
（i）求的值；
（ii）求的值．
解（1）因为得；
即，得； -------3'
所以，因为；
所以. ------6'
（2），则. -------------8'
，则，.
所以. -----------13'
16. （本小题满分15分）
已知向量a，b的夹角为60°，且a＝(1,0)．
(1)若|b|＝2，求b的坐标；
(2)若(a＋b)⊥(a－b)，求|a－2b|的值．
解　(1)设b＝(x，y)，因为向量a，b的夹角为60°，且a＝(1,0)，|b|＝2.
所以cos 〈a，b〉＝cos 60°＝＝＝，解得x＝1，
所以|b|＝2＝＝，解得y＝±，所以b＝(1，±)． ------7'
(2)因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0，由于a＝(1,0)，所以|a|＝|b|＝1，所以|a－2b|＝＝＝＝. -----15'
17. （本小题满分15分）
已知函数f(x)＝sin＋cos.
(1)求函数f(x)在区间上的最值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f 的值．
【解】　(1)由题意得f(x)＝sin＋cos
＝×
＝－sin. ----4'
因为x∈，所以x－∈，sin∈，
所以－sin∈，
即函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－. ----8'
(2)因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝－，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，
cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝， ------12'
所以 f ＝－sin＝－sin
＝－(sin 2θ－cos 2θ)＝(cos 2θ－sin 2θ)＝＝. --------15'
18. （本小题满分17分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝30°，PD⊥平面ABCD，AD＝2，点E为AB上一点，且＝m，点F为PD中点.
(1)若m＝，证明：直线AF∥平面PEC；
(2)是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
(1)证明　如图作FM∥CD，交PC于点M，连接EM，
因为点F为PD的中点，所以FM＝CD.
因为m＝，所以AE＝AB＝FM，
又FM∥CD∥AE，所以四边形AEMF为平行四边形，
所以AF∥EM，因为AF 平面PEC，EM 平面PEC，
所以直线AF∥平面PEC. -------7'
(2)解　存在一个常数m＝，使得平面PED⊥平面PAB，
理由如下：
要使平面PED⊥平面PAB，只需AB⊥DE，因为AB＝AD＝2，∠DAB＝30°，
所以AE＝ADcos 30°＝，又因为PD⊥平面ABCD，PD⊥AB，PD∩DE＝D，
所以AB⊥平面PDE，
因为AB 平面PAB，所以平面PDE⊥平面PAB，所以m＝＝. ------17'
19. （本小题满分17分）
对任意两个非零向量，，定义新运算：，其中为与的夹角．
（1）若非零向量满足，且，求的取值范围；
（2）若向量，，且，求正数的值；
（3）已知非零向量满足（是正整数），向量的夹角，和都是有理数，且，求．

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