资源简介

2025届高三第六次模拟考试
数学试卷
考试时间：120分钟 卷面分值：150分
一、单选题
1．设复数在复平面内对应的点为，则的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．3
2．已知为等比数列前项和，若，则（ ）
A．5 B．3 C． D．
3．已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数是奇函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．某公司有甲，乙两个部门，每个部门各有7名员工，其中甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，乙部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，现从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，交换完成后，再从甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，直线与直线的交点为，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据“，，，，，”的第百分位数为
B．已知具有线性相关关系的变量、，设其样本点为，经验回归
方程为，若，，则
C．若随机变量，且，则
D．若随机变量，且，则
10．如图，在长方体中，，，E为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．四面体的体积等于
D．经过AB的平面截该长方体的截面面积的最大值为
11．已知曲线，则以下结论正确的是（ ）
A．的范围是 B．若，则曲线具有周期性
C．曲线既是轴对称图形又是中心对称图形 D．曲线与圆有公共点
三、填空题
12．在中，已知，，.则 .
13．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，的准线交于两点，为等边三角形，则的离心率为 ．
14．若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ．
四、解答题
15．某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．右表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据．
10 20 30 40 50
650 640 600 590 580
(1)一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．
(2)请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度．
参考公式：；
相关系数．
参考数据：．
16．已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程；
(2)已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点.
17．如图，在三棱柱中，，，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值．
18．已知函数
(1)已知在点处的切线方程为，求实数的值；
(2)已知在定义域上是增函数，求实数的取值范围；
(3)已知有两个零点，，求实数的取值范围并证明.
19．设正整数，对于数列，定义变换，将数列变换成数列：．已知数列满足．记．
(1)若：，写出数列，；
(2)若为奇数且不是常数列，求证：对任意正整数，都不是常数列；
(3)求证：当且仅当时，对任意，都存在正整数，使得为常数列．
2025届高三第六次模拟考试数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A D B A A C A AC ACD BCD
8．A【详解】由双曲线的方程可得，焦点，可得，所以，当，，三点共线时，最小，因为直线和相互垂直，且和分别过定点和，所以交点的轨迹方程是以和为直径的两个端点的圆，圆心在，半径为2，所以，当过与圆心的直线与圆的交点且在和圆心之间时最小．所以的最小值为6，故选：A
9．AC【详解】对于A选项，因为，因此，该组数据的的第百分位数为，A对；对于B选项，由已知可得，，将样本中心点的坐标代入经验回归方程得，解得，B错；对于C选项，若随机变量，且，可得，则，C对；对于D选项，若随机变量，且，则，D错.
10．ACD【详解】如图，连接，，，易知平面平面，且平面，故有平面，A正确；易知，为等腰三角形，为底边，故与BD不垂直，即平面不成立，B错误；由平面知，，C正确；经过AB的截面为矩形，截面与侧面的交线最长为对角线，故截面面积的最大值为，D正确.故选：ACD．
11．BCD【详解】曲线，则，A选项错误；当，则曲线，，所以是周期，所以曲线具有周期性，B选项正确；代入曲线成立，所以曲线关于轴成轴对称图形，代入曲线成立，所以曲线关于对称图形，所以曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，C选项正确；曲线，与圆有公共点，D选项正确；故选：BCD.
12．【详解】由正弦定理可得，故，故,故答案为：.
13．【详解】设双曲线右焦点坐标为，左焦点为，则抛物线准线为，将代入得，，所以，在中，，解得或（舍），所以的离心率为，故答案为：．
14．【详解】，设直线与曲线相切于点，则且，解得，所以，从而得，所以，设，，令得，令得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即的最小值为.
15．【详解】（1）易知，因为，，，因为所以该经验回归方程的拟合效果非常好．
（2）由（1）知，由，因为，所以，故所求的经验回归方程为．当时，，所以冷却速率为时，该金属的凝固点温度为．
16．【详解】（1）设，，是的中点， ，，又，代入得．故点的轨迹方程是．
（2）由题意点坐标适合，即点A在C上，由题意可知BD斜率不会为0，设直线：，联立，消去并整理得，需满足，即，设，，则，，
因为，，
所以，
所以，将，代入得，
即，所以直线：，即，所以直线BD经过定点.
17．【详解】（1）在中，，，则，所以，则，由，都在面内，
则面，又面，所以面面；
（2）由（1）及，即两两垂直，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如下图示，设，由（1），
则，所以，若是面的一个法向量，则，取，则，设直线与面所成角为，则，所以，则，在中，则，若是面的一个法向量，则，取，则，设面与面所成角为，则.
18．【详解】（1）因为，所以.所以，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，所以，解得..
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，所以在（0，+∞）上恒成立.即恒成立.，即，令，所以，时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即.
（3）定义域为当时，，所以在（0，+∞）上单调递减，不合题意.当时，在（0，）上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，函数存在两个零点的必要条件是，即，又，所以在（1，）上存在一个零点（）.当时，，所以在（，+∞）上存在一个零点，
综上函数有两个零点，实数a的取值范围是.不妨设两个零点
由，所以，所以，所以，
要证，只需证，只需证，
由，只需证，
只需证，只需证，令，只需证，
令，，
∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴，即成立，所以成立.
19．【详解】（1）由题意可得；.
（2）证明：设，其中．假设存在正整数，使得是常数列，由不是常数列，不妨设不为常数列且为常数列，记，则．令当时，因为，且，所以．故．此时为常数列，矛盾．另法：①若，则，有此时为常数列，矛盾．②若，则，有，矛盾．综上，对于任意正整数，都不是常数列.
（3）首先证明，若，其中，则存在项的数列，使得对任意的正整数都不是常数列．证明：构造项的数列，其中，构造项的数列对任意的正整数，设，则由于不是常数列，故不是常数列．其次证明：若，其中，对任意，都存在正整数是常数列．证明：假设存在，其中，使得存在数列，使得对任意的正整数都不是常数列，不妨设的最小值为．情形一：，则，记，则为常数列，矛盾．情形二：，对任意的数列，则记，定义数列，其中．则．则依此类推，对任意正整数，记，存在正整数，使得为常数列，记，则数列均为常数列，设，则的各项均为．即时，是常数列，矛盾．综上，当且仅当时，对任意，都存在正整数，使得为常数列．
试卷第1页，共3页

展开更多......

收起↑