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第七章 相交线与平行线
7.3定义、命题、定理
1.知道命题的概念,会把一个命题写成“如果……,那么……”的形式,会区分命题的题设和结论.
2.知道真命题和假命题的概念,会对一个真命题进行证明,会通过举反例判断一个命题是假命题.
3.在学习过程中,体会证明的必要性,发展初步的演绎推理能力.
请同学们读出下列语句
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（3）对顶角相等；
（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．
像这样判断一件事情的语句，叫做命题（proposition）.
下列语句，哪些是命题？哪些不是？
(1) 过直线AB外一点P，作AB的平行线.
(2) 经过直线AB外一点P ，可以作一条直线与AB平行吗？
(3) 经过直线AB外一点P，有且只有一条直线与这条直线平行.
(4)若|a|= a，则a<0.
(1)如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；
(2)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
(3)如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.
都是“如果……那么……”的形式
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？
如果
那么
结果仍是等式
两个角相等
它们是对顶角
a>b,b>c
a>c
等式两边都加上同一个数
结果仍是等式
题设
结论
任务：
（1）把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式并分别指出它们的题设和结论；
（2）判断哪些是正确的，哪些是错误的。
如果两条直线平行于同一直线，那么这两条直线也平行
②平行于同一直线的两条直线平行；
如果内错角相等，那么这两条直线平行。
①内错角相等，两直线平行；
③相等的角是对顶角．
如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。
√
√
×
注意：添加“如果”、“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗.
真命题
真命题
假命题
任务：下列哪些命题是真命题，哪些命题是假命题？
1.对顶角相等；
2.如果a≠b，b≠c，那么a≠c；
3.如果a =b ，那么a=b;
4.互补的两个角是邻补角；
真命题
假命题
假命题
假命题
一般地，命题由题设和结论两部分组成.
题设：是已知事项；
结论：是由已知事项推出的事项.
数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是_____，“那么”后接的部分是_____.
命题的构成
例如，“两条直线都与第三条直线平行”是_____，“这两条直线也互相平行”是_____.
可改写成：
题设
结论
题设
结论
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，从而将它写成“如果……，那么……”的形式.
例如，“对顶角相等”
可改成：
命题的构成
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
可改成：
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补。
等式两边加同一个数，结果仍是等式。
可改成：
如果等式两边加同一个数，那么结果仍是等式。
注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套。
命题的构成
定理：
一些真命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。
可以说成：可以作为判定其他命题真假依据的真命题叫做定理。
定理：
我们学过的一些的性质，都是真命题，其中有些命题是基本事实，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据.即定理可以作为推理其他命题正确性的依据.
如，“内错角相等，两条直线平行“，是平行线的判定定理.
证明：
很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理的过程叫做证明。
（1）求证：两条直线平行，一组内错角的平分线互相平行。
探究新知
探究命题、定理、证明
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
典例分析
证明：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.
已知：如图所示，b∥c，a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明：∵ a⊥b（已知），
又∵ b∥c（已知），
∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2＝∠1＝90 （等量代换）．
∴∠1＝90 （垂直的定义）．
∴ a⊥c（垂直的定义）．
典例分析
判断一个命题是假命题，也可举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
举反例说明：“相等的角是对顶角”是假命题
解：如图所示，
∵ OC是∠AOB的平分线
∴ ∠1＝∠2
但∠1和∠2不是对顶角
∴“相等的角是对顶角”是假命题。
1.“对顶角相等”是_______ 命题（真、假），写成“如果…，那么…”的形式为___________________________________________ ．
如果两个角是对顶角，那么两个角相等
真
2.下列语句中，是命题的是（ ）
A. 直线AB和CD垂直吗
B. 过线段AB的中点C画AB的垂线
C. 同旁内角不互补，两直线不平行
D. 连接A，B两点
C
3.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举一个反例并画出图形，说明其是假命题.
解：如图，∠，∠， ∠是∠的补角，而∠∠.
所以，“任何一个角的补角都不小于这个角”是假命题.
4．下列命题正确的是（　　）
A．两直线与第三条直线相交，同位角相等；　
B．两直线与第三条直线相交，内错角相等
C．两直线平行，内错角相等；　　　　　　　D．两直线平行，同旁内角相等
答案：C
解析：A、B选项没有说明平行的前提条件，故错误；D中两直线平行，同旁内角是互补的，不是相等的，故D错误；C是平行线的性质之一，正确，故选C．
随 堂 练 习
5．下列语句不是命题的为（　　　）
A．两点之间，线段最短　　　B．同角的余角不相等
C．作线段AB的垂线　　　　 D．不相等的角一定不是对顶角
答案：C
随 堂 练 习
判断一件事情的语句，叫做命题.命题由题设和结论组成.
数学中的命题通常写成“如果那么 ”的形式.
可以作为判定其他命题真假的依据的真命题叫做定理.
判断一个真命题正确性的推理过程叫做证明.
说明一个命题是假命题只要举出一个反例.

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