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本册过关检测
分值：150分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a＝(1，3，－1)，b＝(2，k，5)，若a⊥b，则实数k的值为(　　)
A．1 B．－1 C． D．－
2．若离散型随机变量X的分布列如图所示．
X 0 1
p 4a－1 3a2＋a
则实数a的值为(　　)
A．a＝－2或a＝ B．a＝－2
C．a＝ D．a＝2或a＝－
3．若曲线f(x)＝ln x＋在点(1，f(1))处的切线的斜率为－1，则实数a的值为(　　)
A．2 B．1 C．0 D．－2
4．下列关于独立性检验的说法正确的是(　　)
A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验
B．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系
C．利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们则可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病
D．对于独立性检验，随机变量χ2的观测值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
5．首届中国国际进口博览会期间，甲、乙两家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为，且两家企业的购买结果相互之间没有影响，则两家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是(　　)
A． B． C． D．
6．函数f(x)＝的最大值为(　　)
A．1 B．e C． D．e2
7．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且CM⊥平面BDE，则M点的坐标为(　　)
A．(，1) B．(1，，1)
C．() D．(1，1，1)
8．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为(　　)
A．0.132　　　　　　　　B．0.112　　　　　　　　C．0.868　　　　　　　　D．0.888
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是(　　)
A．若两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2，－2，－1)，b＝(－2，－2，1)，则l1∥l2
B．若直线l的方向向量是a＝(1，1，2)，平面α的法向量是n＝(－2，－2，－4)，则l⊥α
C．若直线l的方向向量是a＝(0，2，0)，平面α的法向量是n＝(－2，0，2)，则l∥α
D．若两个不同的平面α，β的法向量分别是m＝(3，－4，2)，n＝(－2，0，3)，则α⊥β
10．下列命题是假命题的有(　　)
A．回归方程＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个
B．若变量y和x之间的相关系数r＝－0.936 2，则变量y和x之间的负相关性很强
C．在回归分析中，决定系数R2为0.80的模型比决定系数R2为0.98的模型拟合的效果要好
D．在回归方程＝0.5x－8中，变量x＝2时，变量y预测值是－7，则变量y 观测值一定是－7
11．下列结论正确的是(　　)
A．若随机变量X服从两点分布，P(X＝1)＝，则D(X)＝
B．若随机变量ξ服从二项分布B(4，)，则D(ξ)＝1
C．若随机变量ξ服从二项分布B(4，)，则P(ξ＝3)＝
D．若随机变量Y的方差D(Y)＝2，则D(3Y＋2)＝8
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．)
12．设某次化学试验的成功率是失败率的5倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________．
13．某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30 000名高中男生的身高ξ(单位：cm)服从正态分布N(172，σ2)，且P(172＜ξ≤180)＝0.4，那么该市身高高于180 cm的高中男生人数大约为________．
14.如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕将△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝，则C到平面PBD的距离为________；PC与平面PBD所成角的余弦值为________．
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(13分)甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为.设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响．
(1)如果甲、乙两人各投篮1次，求两人投篮都没有命中的概率；
(2)如果甲投篮3次，求甲至多有1次投篮命中的概率．
16．(15分)已知函数f(x)＝(x＋a)ex.
(1)若f(x)在x＝1处取得极小值，求实数a的值；
(2)若f(x)在(－1，1)上单调递增，求实数a的取值范围．
17．(15分)如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是矩形，AB＝2BC＝2A1B1＝2，平面A1B1BA⊥平面ABCD，平面A1D1DA⊥平面ABCD.
(1)求证：AA1⊥平面ABCD；
(2)若二面角A BB1 D的余弦值为，求四棱台ABCD A1B1C1D1的高．
18．(17分)“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康、解决群众急难愁盼问题的重要举措．为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业．因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：
男生 女生 总计
90分钟以上 80 x 180
90分钟以下 y z 220
总计 160 240 400
(1)求x，y，z的值，并根据题中的列联表，判断是否有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？
(2)教务处从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，校长再从这9人中选取3人进行访谈，记校长选取的3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：χ2＝
P(χ2≥x0) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
x0 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635
19．(17分)已知函数f(x)＝ax ln x－x2＋2.
(1)设g(x)＝，讨论g(x)的单调性；
(2)若y＝f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程为y＝1.
①求实数a的值；
②当x∈(0，2)时，证明：0本册过关检测
1．解析：因为a⊥b，
所以a·b＝0，
即2＋3k－5＝0，解得k＝1.
故选A.
答案：A
2．解析：依题意，，解得a＝，
所以实数a的值为.
故选C.
答案：C
3．解析：根据题意得：f′(x)＝，所以f′(1)＝＝－1，解得a＝2.
故选A.
答案：A
4．解析：对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是否是线性相关，故错误；
对于B，独立性检验并不能100%确定两个变量相关，故错误；
对于C，99%是指“抽烟”和“癌症”存在关联的可能性，并非抽烟人中癌症的发病率，故错误；
对于D，根据卡方计算的定义，正确．
答案：D
5．解析：两家企业中恰有1家购买该机床设备的概率为×(1－)＋(1－)×＝.
故选B.
答案：B
6．解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝，
令f′(x)>0可得0e，
所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴函数f(x)＝在x＝e处取得极大值，即最大值，所以＝f(e)＝.
故选C.
答案：C
7．解析：设M点的坐标为(x，y，1)，C(0，0，0)，D(，0，0)，B(0，，0)，E(0，0，1)，则＝(－，0，1)，＝(－，0)，＝(x，y，1)，
∵CM⊥平面BDE，
∴CM⊥DE，CM⊥DB，即⊥⊥，
所以，，解得，所以，M点的坐标为(，1)，
故选A.
答案：A
8．解析：从仓库中随机提出的一台是合格品为事件B，
事件Ai表示提出的一台是第i车间生产的，i＝1，2，
由题意可得P(A1)＝＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，
由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868，
所以该产品合格的概率为0.868.
故选C.
答案：C
9．解析：对于A，因为向量a，b不平行，所以l1，l2不平行，故A不正确；
对于B，因为n＝－2a，所以a∥n，故B正确；
对于C，因为a·n＝0×(－2)＋2×0＋0×2＝0，所以a⊥n，所以l∥α或l在平面α内，故C不正确；
对于D，因为m·n＝－6＋0＋6＝0，所以α⊥β，故D正确．
故选BD.
答案：BD
10．解析：对于A，回归方程＝x＋是由最小二乘法计算出来的，它不一定经过其样本数据点，一定经过()，所以A是假命题；
对于B，由相关系数的意义，当|r|越接近1时，表示变量y与x之间的线性相关程度越强，变量y和x之间的相关系数r＝－0.936 2，则变量y和x之间具有很强的线性相关关系，所以B是真命题；
对于C，用决定系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，所以C是假命题；
对于D，在回归方程＝0.5x－8中，变量x＝2时，变量y的预测值是－7，但实际观测值可能不是－7，所以D是假命题．
故选ACD.
答案：ACD
11．解析：若随机变量X服从两点分布，P(X＝1)＝，则D(X)＝(1－)＝，A对；
若随机变量ξ服从二项分布B(4，)，则D(ξ)＝4××(1－)＝1，B对；
若随机变量ξ服从二项分布B(4，)，则P(ξ＝3)＝(1－)＝，C对；
若随机变量Y的方差D(Y)＝2，则D(3Y＋2)＝9D(Y)＝18，D错，
故选ABC.
答案：ABC
12．解析：依题意设失败率为x，则成功率为5x，所以x＋5x＝1，解得x＝，
所以成功率为，失败率为，
所以P(X＝0)＝.
答案：
13．解析：由题，P(ξ＞180)＝0.5－P(172＜ξ≤180)＝0.1，
所以该市身高高于180 cm的高中男生人数大约为30 000×0.1＝3 000.
答案：3 000
14．解析：如图，连接EC.在△PEC中，PE＝1，EC＝，PC＝，
所以PE2＋EC2＝PC2，所以PE⊥EC.
因为PE⊥DE，DE＝E，DE，EC 平面BCDE，所以PE⊥平面BCDE.
以E为坐标原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系E－xyz，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，＝(1，－1，0)，＝(0，－1，1)，＝(1，1，－1)，＝(－1，0，0)．
设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则，令x＝1，得n＝(1，1，1)，
所以C到平面PBD的距离d＝＝＝.
因为cos 〈，n〉＝＝，所以PC与平面PBD所成角的余弦值为.
答案：
15．解析：(1)记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A，
因为甲每次投篮命中的概率为，
所以甲投篮一次且没有命中的概率为1－＝.
同理，乙投篮一次且没有命中的概率为1－＝，
所以P(A)＝＝.
(2)记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B.
因为甲每次投篮命中的概率为，
以甲投篮3次，且都没命中的概率为×(1－)3＝，
甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率为＝.
所以P(B)＝＝.
16．解析：(1)因为f′(x)＝ex＋(x＋a)ex＝(x＋a＋1)ex，
所以f′(1)＝(a＋2)e＝0，得a＝－2，此时f′(x)＝(x－1)ex，
所以在(－∞，1)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在(1，＋∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，符合题意，
故实数a的值为－2.
(2)由(1)知，f′(x)＝(x＋a＋1)ex，
因为f(x)在(－1，1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1，1)上恒成立．
因为ex>0，所以x＋a＋1≥0在(－1，1)上恒成立，即a≥－x－1在(－1，1)上恒成立．
因为g(x)＝－x－1在(－1，1)上单调递减，所以g(x)故实数a的取值范围为[0，＋∞)．
17．解析：(1)证明：因为底面四边形ABCD是矩形，有AD⊥AB，而平面A1B1BA⊥平面ABCD，平面A1B1BA∩平面ABCD＝AB，
AD 平面ABCD，则AD⊥平面A1B1BA，又AA1 平面A1B1BA，则有AD⊥AA1，
因平面A1D1DA⊥平面ABCD，同理有AB⊥AA1，而AB＝A，AB，AD 平面ABCD，
所以AA1⊥平面ABCD.
(2)在四棱台ABCD A1B1C1D1中，由(1)知，AB，AD，AA1两两垂直，且AA1即为四棱台ABCD A1B1C1D1的高，
以A为原点，射线AB，AD，AA1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
设AA1＝h，则＝(－1，0，h)，＝(－2，1，0)，
设平面BB1D的一个法向量n＝(x，y，z)，
则，令z＝1，得n＝(h，2h，1)，
平面ABB1的一个法向量＝(0，1，0)，因此，
|cos 〈，n〉|＝＝＝，
解得h＝1，
所以四棱台ABCD－A1B1C1D1的高为1.
18．解析：(1)由表中的数据可得x＝100；y＝80；z＝140；
所以2×2列联表如下：
男生 女生 总计
90分钟以上 80 100 180
90分钟以下 80 140 220
总计 160 240 400
χ2＝≈2.694<3.841.
所以由临界值表可知没有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关．
(2)抽取的9人中，需要抽取男生：×80＝4人，女生：×100＝5人，
X取值0，1，2，3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝0＋1×＋2×＋3×＝.
19．解析：(1)由题意可知g(x)＝＝＝a ln x－x＋，
所以函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝－1－＝，
令h(x)＝－x2＋ax－2，
①Δ＝a2－8≤0，即－2≤a≤2时，h(x)≤0(且不恒为0)，即g′(x)≤0(且不恒为0)，g(x)在(0，＋∞)单调递减；
②Δ＝a2－8＞0即a＞2或a＜－2时，
令h(x)＝0，x1＝或x2＝，
当a＜－2时，x1＜x2＜0，x＞0时，h(x)＜0，g′(x)<0恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a＞2时，0＜x1＜x2，
令g′(x)<0，0＜x＜或x＞，
令g′(x)>0，＜x＜，
∴g(x)在(0，)，(，＋∞)上单调递减，
在()上单调递增．
综上所述，当a≤2时，g(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当a>2时，g(x)在(0，)，(，＋∞)上单调递减，
在()上单调递增．
(2)①f′(x)＝a ln x＋a－2x，
因为f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程为y＝1.所以f′(1)＝0，即f′(1)＝a－2＝0，解得a＝2；
所以实数a的值为2.
②f′(x)＝2(ln x＋1－x)，设F(x)＝ln x＋1－x，x∈(0，2)，
F′(x)＝－1＝，
令F′(x)＝0，即＝0，解得x＝1，
当1当00，所以F(x)在(0，1)上递增，
F(x)max＝F(1)＝ln 1＋1－1＝0，∴F(x)≤0，
即f′(x)≤0(且不恒为0)成立，f(x)在(0，2)上单调递减，
f(x)>f(2)＝4ln 2－2＝ln 16－ln e2>0，
由F(x)≤0可得ln x≤x－1，
则f(x)＝2x ln x－x2＋2≤2x(x－1)－x2＋2＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1<2，
综上可得，当x∈(0，2)时，0

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