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　导数及其应用
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列导数运算正确的是(　　)
A．(2x2＋3)′＝4x＋3 B．(cos )′＝－sin
C．()′＝ D．(e－x)′＝e－x
2．已知函数f(x)＝x5的导函数为y＝f′(x)，则f′(－1)＝(　　)
A．－1 B．1
C．5 D．－5
3．如图是导函数y＝f′(x)的图象，那么函数y＝f(x)在下面哪个区间是减函数(　　)
A．(x1，x3) B．(x2，x4)
C．(x4，x6) D．(x5，x6)
4．如图所示，是函数f(x)的图象与其在点P处的切线，则f(1)＋f′(1)＝(　　)
A．－2 B．0
C．2 D．4
5．已知函数f(x)＝x3－12x，则(　　)
A．函数f(x)在(－∞，0)上单调递增 B．函数f(x)在(－∞，＋∞)上有两个零点
C．函数f(x)有极大值16 D．函数f(x)有最小值－16
6．已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝ax2－x.若经过点A(1，0)存在一条直线l与曲线y＝f(x)和y＝g(x)都相切，则a＝(　　)
A．－1 B．1
C．2 D．3
7．若函数f(x)＝x3－3x2－9x在(a，＋∞)内有极大值，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，3)
C．(－1，3) D．(－∞，3]
8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝xex，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(e)C．f(4)二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．下列说法正确的有(　　)
A．曲线的切线与曲线有且只有一个公共点
B．设函数y＝ln x＋x2，则导函数y′>0恒成立
C．函数h(t)＝－4.9t2＋5t＋11在t＝2附近单调递增
D．某质点沿直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为y(t)＝t2＋2t，则t＝2 s时的瞬时速度为4 m/s
10．已知函数f(x)＝x－ln x，则(　　)
A．f′(1)＝1 B．f(x)在(1，＋∞)上为增函数
C．f(x)在(－∞，1)上为减函数 D．f(x)的最小值为f(1)＝1
11．若函数f(x)＝x ln (x＋2)，则(　　)
A．f(x)的定义域是(0，＋∞) B．f(x)有两个零点
C．f(x)在点(－1，f(－1))处切线的斜率为－1 D．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．)
12．已知曲线f(x)＝a(x＋1)－ex在点(0，f(0))处的切线与直线x－2y＋3＝0垂直，则实数a的值为________．
13．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则a＝________，f(x)的极大值为________．
14．设函数f(x)＝(ex－m－ax)(ln x－2ax)，若存在实数a使得f(x)＜0成立，则m的取值范围是 ________.
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(13分)设函数f(x)＝x＋1－ln x.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对任意的x>0，都有f(x)－a≥0成立，求实数a的取值范围．
16．(15分)已知函数f(x)＝(x－1)ex＋ax－1.
(1)若a＝0，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围．
17．(15分)已知函数f(x)＝2x－ln x.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)设g(x)＝f(x)＋(a－2)x，a>0，若x∈(0，e]时，g(x)的最小值是2，求实数a的值(e是自然对数的底数)．
18．(17分)如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.
(1)求包装盒的容积V(x)关于x的函数表达式，并求出函数的定义域；
(2)当x为多少时，包装盒的容积V(x)(cm3)最大？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
19．(17分)已知函数f(x)＝a ln x＋＋x(a≠0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a∈(－∞，0)时，记函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)≤e2.
章末过关检测(一)　导数及其应用
1．解析：对于A，(2x2＋3)′＝4x，A错误；对于B，因cos 是常数，则(cos )′＝0，B错误；对于C，()′＝，C正确；对于D，(e－x)′＝e－x(－x)′＝－e－x，D错误．
答案：C
2．解析：由题意可得：
f′(x)＝5x4，所以f′(－1)＝5.
答案：C
3．解析：当f′(x)<0时，函数单调递减，由图可知，x∈(x2，x4)时，f′(x)<0，
所以函数的单调递减区间是(x2，x4)．
故选B.
答案：B
4．解析：由题意，切线经过点(2，0)，(0，4)，可得切线的斜率为k＝＝－2，即f′(1)＝－2，
又由切线方程为y＝－2x＋4，令x＝1，可得y＝2，即f(1)＝2，
所以f(1)＋f′(1)＝2－2＝0.
故选B.
答案：B
5．解析：f′(x)＝3x2－12，由f′(x)>0，得x<－2或x>2，由f′(x)<0，得－2所以f(x)在(－∞，－2)上递增，在(－2，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，
所以极大值为f(－2)＝16>0，极小值为f(2)＝－16<0，所以f(x)有3个零点，且f(x)无最小值．
答案：C
6．解析：∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝1＋ln x，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1，∴k＝1，∴曲线y＝f(x)在A(1，0)处的切线方程为y＝x－1，由得ax2－2x＋1＝0，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.
答案：B
7.解析：由f(x)＝x3－3x2－9x，得f′(x)＝3x2－6x－9，
令f′(x)>0 x<－1或x>3，令f′(x)<0 －1所以函数f(x)在(－∞，－1)和(3，＋∞)上单调递增，在(－1，3)上单调递减，
且f(－1)＝5，f(3)＝－27，如图，
由图可知函数f(x)在x＝－1处取得极大值，在x＝3处取得极小值，
又函数f(x)在(a，＋∞)内有极大值，
故a<－1.
故选A.
答案：A
8．解析：∵f(3＋x)＝f(3－x)，
∴f(4)＝f(2)，
当x∈(0，3)时，f(x)＝xex，
∴f′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex，故f′(x)>0，
∴f(x)在(0，3)内单调递增，
又0∴f(ln 3)所以f(ln 3)故选B.
答案：B
9．解析：对于A，函数f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(1)＝3，则函数f(x)＝x3的图象在点(1，1)处切线y＝3x－2，
由解得：或，即曲线y＝x3在点(1，1)处切线与曲线有两个公共点(－2，－8)，(1，1)，A不正确；
对于B，函数y＝ln x＋x2定义域为(0，＋)，y′＝＋2x>0，B正确；
对于C，在函数h(t)＝－4.9t2＋5t＋11中，h′(t)＝－9.8t＋5，当t>时，h′(t)<0，即h(t)在(，＋∞)上递减，C不正确；
对于D，依题意，y′(t)＝t＋2，当t＝2时，y′(2)＝4，即t＝2 s时的瞬时速度为4 m/s，D正确．故选BD.
答案：BD
10．解析：因为f′(x)＝1－＝，所以f′(1)＝0，所以A不正确；
因为x>1时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数，所以B正确；
因为f′(x)的定义域为{x|x>0}，且0因为f(x)的定义域为{x|x>0}．且f(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，所以当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝1，所以D正确，
故选BD.
答案：BD
11．解析：对于A：函数的定义域是(－2，＋∞)，故A错误；
对于B：令f(x)＝0，即x ln (x＋2)＝0，解得：x＝0或x＝－1，故函数f(x)有2个零点，故B正确；
对于C：斜率k＝f′(－1)＝ln (－1＋2)＋＝－1，故C正确；
对于D：f′(x)＝ln (x＋2)＋，x>0时，
ln (x＋2)>0，>0，故f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故D正确．
故选BCD.
答案：BCD
12．解析：f′(x)＝a－ex，则f′(0)＝a－1，则a－1＝－2，解得a＝－1.
答案：－1
13．解析：由题意得，f′(x)＝＋2ax－3，
因为函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，
所以f′(2)＝4a－2＝0，解得a＝，
所以f(x)＝2ln x＋x2－3x，f′(x)＝＋x－3＝ ，
∴f(x)在(0，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，
∴f(x)的极大值为f(1)＝－3＝－.
答案：　－
14．解析：∵f(x)＝(ex－m－ax)(ln x－2ax)＝2x2(－a)(－a)(x＞0)，
令h(x)＝，则h′(x)＝，
由h′(x)＞0，得x＞1，由h′(x)＜0，得0＜x＜1，
∴h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴h(x)∈[e1－m，＋∞)，
令g(x)＝，则g′(x)＝，由g′(x)＞0，得0＜x＜e，由g′(x)＜0，得x＞e，
∴g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴g(x)∈(－∞，]，
若存在实数a，使得f(x)＜0成立，即存在实数a，使得(－a)(－a)＜0成立，
即存在实数a，使得＜a＜恒成立，
∴h(x)min＞g(x)max，∴e1－m＞，解得m＜2＋ln 2，
∴m的取值范围为(－∞，2＋ln 2)．
答案：(－∞，2＋ln 2)
15．解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1－，
由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0∴f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)由(1)可知f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
所以f(x)min＝f(1)＝2，
∵对任意的x>0，都有f(x)－a≥0成立，
即对任意的x>0，都有a≤f(x)成立，
∴a≤f(x)min＝f(1)＝2，
∴实数a的取值范围为(－∞，2].
16．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝(x－1)ex－1，所以f′(x)＝xex，
当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为f(0)＝－2，无极大值．
(2)f′(x)＝xex＋a，
因为f(x)在R上单调递增，所以f′(x)≥0恒成立，即a≥－xex恒成立，
令h(x)＝－xex，则h′(x)＝－(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(－1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
所以h(x)max＝h(－1)＝，所以a的取值范围为[，＋∞)．
17．解析：(1)f(x)定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2－＝，
当f′(x)>0时，x>，当f′(x)<0时，0所以f(x)的单调增区间是(，＋∞)，单调减区间是(0，)．
当x＝时，f(x)取得极小值且为f()＝1＋ln 2，无极大值．
(2)因为g(x)＝f(x)＋(a－2)x＝ax－ln x，所以g′(x)＝a－＝，
当≥e，即0解得a＝(舍去)，
当0<时，当00，
所以g(x)min＝g()＝1＋ln a＝2，解得a＝e.满足条件，
综上，实数a的值是e.
18．解析：(1)设包装盒的高为h(cm), 底面边长为a(cm)，
则a＝x，h＝(30－x)，0所以V＝a2h＝2(－x3＋30x2)＝－2x3＋60x2，
其定义域为{x|0(2)由V＝2(－x3＋30x2)，可得V′＝6x(20－x)，
当x∈(0，20)时，V′>0；当x∈(20，30)时，V′<0；
∴当x＝20时，V取得极大值也是最大值：8 000.
此时，h∶a＝(30－x)∶x＝，所以，高与底面边长的比值为.
19．解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋1＝＝，
当a>0时，令f′(x)>0，得x>a，令f′(x)<0，得0所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
当a<0时，令f′(x)>0，得x>－2a，令f′(x)<0，得0所以f(x)在(0，－2a)上单调递减，在(－2a，＋∞)上单调递增．
(2)当a∈(－∞，0)时，由(1)知，f(x)在(0，－2a)上单调递减，在(－2a，＋∞)上单调递增，
所以g(a)＝f(－2a)＝a ln (－2a)＋－2a＝a ln (－2a)－3a，
g′(a)＝ln (－2a)＋×(－2)－3＝ln (－2a)－2，
令g′(a)>0，得a<－，令g′(a)<0，得－所以g(a)在(－∞，－)上单调递增，在(－，0)上单调递减，
所以g(a)≤g(－)＝－ln [－2×(－)]－3(－)＝.

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