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2024-2025学年高一下学期数学期末专题复习：向量的实际背景与概念（含解析）（人教A版2019）
一．选择题（共25小题）
1．（2025春 保定期末）下列各量中是向量的为（　　）
A．海拔 B．压强 C．加速度 D．温度
2．（2024春 大理州期末）已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 北京校级期末）已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则，是“存在非零实数x，y，使得”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2024春 永州期末）八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中．给出下列结论，其中正确的结论为（　　）
A．与的夹角为
B．
C．
D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）
5．（2024秋 辽宁期末）关于平面向量，下列说法正确的是（　　）
A．零向量没有方向
B．两个单位向量是相等向量
C．共线的两个向量方向相同
D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
6．（2024春 鹿泉区校级期末）一个人向南走10米，再向西走10米，则这个人的位移是（　　）
A．20米 B．西南方向20米
C．西南方向米 D．西南方向米
7．（2024春 鹿泉区校级期末）下列物理量中：①质量；②速度；③位移；④时间；⑤力；⑥密度；⑦路程．不能称为向量的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024春 武威校级期末）下列物理量中哪个是向量（　　）
A．质量 B．功 C．温度 D．力
9．（2024春 高碑店市校级期末）已知平面直角坐标系上三点A（﹣1，1）、B（3，2）、C（2，5），那么＝（　　）
A． B．3 C． D．
10．（2024春 平阳县校级期末）向量＝（12，5）的单位向量为（　　）
A．
B．
C．或
D．或
11．（2024春 吉林期末）下列说法正确的是（　　）
A．若，则与的长度相等且方向相同或相反
B．若，且与的方向相同，则
C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上
D．若∥，则与方向相同或相反
12．（2024春 沾益区校级期末）设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（　　）
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共线向量 D．共起点的向量
13．（2024春 清镇市校级期末）下列说法错误的是（　　）
A．
B．、是单位向量，则
C．若，则
D．任一非零向量都可以平行移动
14．（2023秋 西城区期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则||＝（　　）
A． B． C．3 D．
15．（2023秋 昌黎县校级期末）下列物理量中，不能称为向量的是（　　）
A．质量 B．速度 C．位移 D．力
16．（2019秋 清江浦区校级期末）已知A（0，﹣1），B（0，3），则||＝（　　）
A．2 B． C．4 D．2
17．（2024春 安徽期末）若向量是两个单位向量，则（　　）
A． B． C． D．
18．（2024春 图木舒克校级期末）设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（　　）
A． B．或
C． D．
19．（2024春 黑龙江期末）下列说法中正确的个数是（　　）
①身高是一个向量；
②∠AOB的两条边都是向量；
③温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量；
④物理学中的加速度是向量．
A．0 B．1 C．2 D．3
20．（2024春 南开区期末）已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（　　）
A．正方形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
21．（2022春 濮阳期末）若平面向量，，两两所成的角相等，且＝1，＝1，＝3，则等于（　　）
A．2 B．5 C．2或5 D．或
22．（2020秋 大连期末）“＝”是“||＝||”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
23．（2023秋 昌平区期末）已知向量在平面直角坐标系中的位置如图所示，则||＝（　　）
A． B．2 C． D．4
24．（2023春 濮阳期末）下列说法正确的是（　　）
A．若，则＝
B．若∥，∥，则∥
C．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量
D．单位向量都相等
25．（2023春 普陀区校级期末）已知、是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共15小题）
（多选）26．（2024春 夏河县校级期末）下列关于向量的说法中，正确的是（　　）
A．若向量互为相反向量，则
B．若，则
C．若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同
D．若与是共线向量，则A，B，C三点共线
（多选）27．（2024春 威信县校级期末）以下关于平面向量的说法中，正确的是（　　）
A．既有大小，又有方向的量叫做向量
B．所有单位向量都相等
C．零向量没有方向
D．平行向量也叫做共线向量
（多选）28．（2024春 峨山县校级期末）下列命题中错误的有（　　）
A．起点相同的单位向量，终点必相同
B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形
C．若，则
D．若，则
（多选）29．（2024春 武威校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．
B．是单位向量，则
C．任一非零向量都可以平行移动
D．若，则
（多选）30．（2024春 汉中期末）下列命题正确的是（　　）
A．若||＝||，则＝ B．若||＞||，则＞
C．若＝，则∥ D．若||＝0，则＝
（多选）31．（2024春 凉山州期末）下列关于平面向量的说法正确的是（　　）
A．若，是共线的单位向量，则
B．若，是相反向量，则
C．若，则向量，共线
D．若，则点A，B，C，D必在同一条直线上
（多选）32．（2024春 萍乡期末）下列命题为真命题的是（　　）
A．若向量，，满足，，则
B．240°化成弧度数为
C．若向量，满足，，，则
D．在4：30时刻，时针与分针所夹的锐角为θ，则tanθ＝1
（多选）33．（2024春 富平县期末）已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（　　）
A．与相等
B．如果与平行，那么与相等
C．与共线
D．如果与平行，那么＝或＝﹣
（多选）34．（2024春 科左中旗校级期末）下列结论正确的是（　　）
A．若A（0，0），B（2，3），C（﹣4，﹣6），则A，B，C三点共线
B．若A（0，0），B（2，4），则线段AB的中点坐标为（1，2）
C．模等于1个单位长度的向量称为单位向量
D．y＝2x3是幂函数
（多选）35．（2024春 肥城市校级期末）下列物理量中是向量的是（　　）
A．质量 B．位移 C．速度 D．力
（多选）36．（2024春 韩城市期末）下列命题错误的是（　　）
A．若A、B、C是平面内的三点，则
B．若、是两个单位向量，则
C．若是任意两个向量，则
D．向量可以作为平面内所有向量的一组基底
（多选）37．（2024春 丰城市校级期末）已知平面向量、、，下列四个命题不正确的是（　　）
A．若，则
B．单位向量都相等
C．方向相反的两个非零向量一定共线
D．若，满足，且与同向，则
（多选）38．（2023秋 辽宁期末）下列命题正确的是（　　）
A．数轴上零向量的坐标为0
B．若与都是单位向量，则的最小值为0
C．若A（﹣2，1），B（2，﹣1），则AB＝0
D．若A（﹣2，1），B（2，﹣1），则线段AB的中点坐标为（0，0）
（多选）39．（2024春 东坡区期末）下列说法中正确的是（　　）
A．若，则
B．
C．若为单位向量，则
D．是与非零向量共线的单位向量
（多选）40．（2024春 喀什市期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量的方向不确定
D．两个相等向量的起点相同，则终点也相同
三．填空题（共8小题）
41．（2024秋 南宁期末）已知O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是 　 　 （填序号）
①平行向量；
②相等向量；
③有相同终点的向量；
④模都相等的向量．
42．（2024秋 唐县校级期末）在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若（其中，分别为x，y轴方向相同的单位向量），则P的坐标为（x，y），若P关于斜坐标系xOy的坐标为（2，﹣1），则＝　 　
43．（2024秋 海淀区校级期末）已知向量＝（x，x﹣2），＝（3，4），若，则向量的模为　 　 ．
44．（2019春 濮阳期末）向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量，为邻边的平行四边形的面积是 　 　
45．（2024春 肥城市校级期末）已知向量，则与向量平行的单位向量为 　 　 ．
46．（2024春 武汉期末）已知向量＝（1，﹣2），与垂直的单位向量是　 　 ．
47．（2024春 无锡期末）已知向量，则与方向相同的单位向量的坐标为 　 　 ．
48．（2023秋 辽宁期末）与向量共线的单位向量为 　 　 ．
四．解答题（共1小题）
49．（2024秋 葫芦岛期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直线EF过点G，交BA于点E，交BC于点F．
（1）求；
（2）若，λ，μ为正实数，求2λ+8μ的最小值．
五．判断题（共1小题）
50．（2024春 鹿泉区校级期末）向量的模与方向有关． 　 　 （判断对错）
解析
一．选择题（共25小题）
1．（2025春 保定期末）下列各量中是向量的为（　　）
A．海拔 B．压强 C．加速度 D．温度
【答案】C
【分析】利用向量的定义判断即可．
【解答】解：向量是既有大小，又有方向的量，
∵海拔，压强，温度只有大小，没有方向，加速度既有大小，又有方向，
∴加速度是向量，
故选：C．
【点评】本题考查向量的定义，属于基础题．
2．（2024春 大理州期末）已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量的坐标除以向量的模，可得与向量同向的单位向量的坐标．
【解答】解：根据题意，向量，则，
所以与向量同向的单位向量为．
故选：B．
【点评】本题考查向量的坐标计算，涉及单位向量的定义，属于基础题．
3．（2024秋 北京校级期末）已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则，是“存在非零实数x，y，使得”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】将已知等式两边平方化简，根据充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：，故，
整理得，即cos＜，＞＝1，故，共线且方向相同，
存在非零实数x，y，使得，故，共线，但方向不一定相同，
即“ 是“存在非零实数x，y，使得的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查向量共线，考查充分必要条件，属于基础题．
4．（2024春 永州期末）八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH，其中．给出下列结论，其中正确的结论为（　　）
A．与的夹角为
B．
C．
D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）
【答案】D
【分析】根据向量夹角定义可得A错误；利用向量加、减法运算法则及模长关系可得B错误，C错误；再利用投影向量定义计算可得D正确．
【解答】解：对于A：由八卦图可知与的夹角为∠AOH，其大小为，
即与的夹角为，所以A错误；
对于B：由向量的平行四边形法则可知，即B错误；
对于C：易知，又∠AOC＝90°，所以，
而，所以，即C错误；
对于D：易知在上的投影向量为＝＝，即D正确．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点：向量的夹角运算，向量的投影，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
5．（2024秋 辽宁期末）关于平面向量，下列说法正确的是（　　）
A．零向量没有方向
B．两个单位向量是相等向量
C．共线的两个向量方向相同
D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
【答案】D
【分析】根据零向量的定义判定A；根据单位向量的定义判定B；由共线向量定义判定C；由相反向量定义判定D．
【解答】解：零向量的方向是任意的，故A错误；
两个单位向量长度相等，但方向不一定相同，
故不一定是相等向量，故B错误；
由共线向量的定义可知，
共线的两个向量方向可能相同，可能相反，
还可能是零向量，故C错误；
由相反向量的定义可知，
若两个非零向量的和为零向量，
则它们必定互为相反向量，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的基本概念，属基础题．
6．（2024春 鹿泉区校级期末）一个人向南走10米，再向西走10米，则这个人的位移是（　　）
A．20米 B．西南方向20米
C．西南方向米 D．西南方向米
【答案】D
【分析】根据平面向量的概念和平面向量的模，进行判断．
【解答】解：根据向量的加法可知，这个人的位移是西南方向米．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量的概念和平面向量的模，属于基础题．
7．（2024春 鹿泉区校级期末）下列物理量中：①质量；②速度；③位移；④时间；⑤力；⑥密度；⑦路程．不能称为向量的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据向量的定义进行判断．
【解答】解：根据向量的定义，不能称为向量的有①、④、⑥、⑦．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量的定义，属于基础题．
8．（2024春 武威校级期末）下列物理量中哪个是向量（　　）
A．质量 B．功 C．温度 D．力
【答案】D
【分析】根据向量的定义判断即可．
【解答】解：质量，功，温度不是向量，故ABC错误，
力是向量，故D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了向量的定义，是基础题．
9．（2024春 高碑店市校级期末）已知平面直角坐标系上三点A（﹣1，1）、B（3，2）、C（2，5），那么＝（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】由向量的运算知＝||，利用坐标运算求模即可．
【解答】解：∵B（3，2）、C（2，5），
∴＝（1，﹣3），
∴＝||＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
10．（2024春 平阳县校级期末）向量＝（12，5）的单位向量为（　　）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合单位向量的定义，即可求解．
【解答】解：向量＝（12，5）的单位向量为＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查单位向量的定义，属于基础题．
11．（2024春 吉林期末）下列说法正确的是（　　）
A．若，则与的长度相等且方向相同或相反
B．若，且与的方向相同，则
C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上
D．若∥，则与方向相同或相反
【答案】B
【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题分析，判断真假性即可．
【解答】解：对于A，当时，与的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，选项A错误；
对于B，当，且与的方向相同时，＝，选项B正确；
对于C，平面上所有单位向量，如果起点相同，那么其终点在同一个圆上，所以选项C错误；
对于D，当∥时，若＝，则的方向是任意的，与的方向不是相同或相反，选项D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
12．（2024春 沾益区校级期末）设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（　　）
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共线向量 D．共起点的向量
【答案】B
【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解．
【解答】解：∵O是正△ABC的中心，∴向量，，分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，
∵O是正三角形的中心，∴O到三个顶点的距离相等，
即，
但是向量，，它们不是相同的向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量．
故选：B．
【点评】本题考查相等向量的定义，属基础题，正三角形中心的定义，正确理解相等向量的定义是解决问题的关键．
13．（2024春 清镇市校级期末）下列说法错误的是（　　）
A．
B．、是单位向量，则
C．若，则
D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】C
【分析】运用向量、单位向量、相反向量的定义可判断．
【解答】解：对于A项，因为，所以，故A项正确；
对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确；
对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；
对于D项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了向量的基本概念，属于基础题．
14．（2023秋 西城区期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则||＝（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】以A为原点建立如图所示平面直角坐标系，求出对应的坐标，再结合平面向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解．
【解答】解：如图，以A为原点建立如图所示平面直角坐标系，
网格中每个小正方形的边长均为1，
则A（0，0），B（1，2），C（1，0），D（2，﹣1），
故，，
故＝（2，1），
所以||＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量的模，属于基础题．
15．（2023秋 昌黎县校级期末）下列物理量中，不能称为向量的是（　　）
A．质量 B．速度 C．位移 D．力
【答案】A
【分析】据向量的概念进行排除，质量质量只有大小没有方向，因此质量不是向量，而速度、位移、力既有大小，又有方向，因此它们都是向量．
【解答】解：既有大小，又有方向的量叫做向量；
质量只有大小没有方向，因此质量不是向量．
而速度、位移、力既有大小，又有方向，因此它们都是向量．
故选：A．
【点评】此题是个基础题．本题的考点是向量的概念，纯粹考查了定义的内容．注意知识与实际生活之间的连系．
16．（2019秋 清江浦区校级期末）已知A（0，﹣1），B（0，3），则||＝（　　）
A．2 B． C．4 D．2
【答案】C
【分析】先求出，然后利用向量模的计算公式求出即可．
【解答】解：∵A（0，﹣1），B（0，3），
∴，∴．
故选：C．
【点评】本题考查了向量是运算和向量的模，属基础题．
17．（2024春 安徽期末）若向量是两个单位向量，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由单位向量的定义、数量积的定义以及模的性质即可逐一判断并求解．
【解答】解：由单位向量的定义可知，，即，且，故A正确，B错误；
因为方向和夹角不确定，故CD错误．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：单位向量，向量的定义，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
18．（2024春 图木舒克校级期末）设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（　　）
A． B．或
C． D．
【答案】D
【分析】根据相等向量的定义，结合单位向量的定义逐一判断即可．
【解答】解：两个向量模相等，但是方向也可能不同，所以选项AB不正确；
题中没有明确向量模的大小关系，所以选项C不正确；
因为分别是的单位向量，所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查相等向量和单位向量的定义，属于基础题．
19．（2024春 黑龙江期末）下列说法中正确的个数是（　　）
①身高是一个向量；
②∠AOB的两条边都是向量；
③温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量；
④物理学中的加速度是向量．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据向量的概念依次对各选项判断即可．
【解答】解：对于①身高只有大小，没有方向，所以不是向量；
②温度的零上和零下表示温度的大小，温度没有方向，所以温度不是向量；
③角的边是没有大小和方向的，角是计算角度的，所以∠AOB的两条边都不是向量；
④物理学中的加速度既有大小又有方向是向量．
综上可得④正确，
故选：B．
【点评】本题考查对向量的概念理解和应用，比较基础．
20．（2024春 南开区期末）已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（　　）
A．正方形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
【答案】B
【分析】根据向量相等，可得向量所在的直线平行，且线段长度相等，即可得结论．
【解答】解：在平面四边形ABCD中，由，
知AB∥CD，AB＝CD，故四边形ABCD为平行四边形．
故选：B．
【点评】本题考查平行向量与向量的模，是基础题．
21．（2022春 濮阳期末）若平面向量，，两两所成的角相等，且＝1，＝1，＝3，则等于（　　）
A．2 B．5 C．2或5 D．或
【答案】C
【分析】由已知可得：平面向量，，两两所成的角相等，因此其夹角为0°或120°．再利用向量共线的性质和向量数量积得性质即可得出．
【解答】解：∵平面向量，，两两所成的角相等，∴其夹角为0°或120°．
①当夹角为0°时，＝＝1+1+3＝5；
②当夹角为120°时，＝＝
＝＝2．
综上可知：等于5或2．
故选：C．
【点评】熟练掌握向量共线的性质和向量数量积得性质是解题的关键．
22．（2020秋 大连期末）“＝”是“||＝||”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可．
【解答】解：＝时，有||＝||成立，是充分条件；
||＝||时，＝不一定成立，不是必要条件；
所以“＝”是“||＝||”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的基本概念与充分、必要条件的判断问题，是基础题．
23．（2023秋 昌平区期末）已知向量在平面直角坐标系中的位置如图所示，则||＝（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】由题意可知，＝（1，2），＝（﹣3，﹣2），进而求出的坐标，再利用向量的模长公式求解即可．
【解答】解：由题意可知，＝（1，2），＝（﹣3，﹣2），
∴＝（﹣2，0），
∴||＝＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，考查了向量的模长公式，属于基础题．
24．（2023春 濮阳期末）下列说法正确的是（　　）
A．若，则＝
B．若∥，∥，则∥
C．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量
D．单位向量都相等
【答案】C
【分析】由向量的概念逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：由，不一定有＝，两向量方向可能不同，故A错误；
当时，由∥，∥，不一定得到∥，故B错误；
由平行向量的概念可知，长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量，故C正确；
单位向量不一定相等，方向不一定相同，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查向量的概念与向量的模，是基础题．
25．（2023春 普陀区校级期末）已知、是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件得出，然后根据向量长度的求法及数量积的运算即可得出模最大的向量．
【解答】解：∵，∴，且，
∴，，，．
故选：D．
【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，单位向量的定义，向量长度的求法，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
二．多选题（共15小题）
（多选）26．（2024春 夏河县校级期末）下列关于向量的说法中，正确的是（　　）
A．若向量互为相反向量，则
B．若，则
C．若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同
D．若与是共线向量，则A，B，C三点共线
【答案】ACD
【分析】根据向量的定义和相关概念，即可判断选项．
【解答】解：对于A：由向量互为相反向量，得的长度相等，即，则A正确；
对于B：当时，向量可以不平行，则B错误；
对于C：由，得表示向量的有向线段的长度和方向都相同．由两个相等向量的起点相同，得这两个向量的终点一定相同，则C正确；
对于D：由，且有公共点A，得A，B，C三点共线，则D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查的知识点：向量的定义，向量的共线，主要考查学生的理解能力，属于基础题．
（多选）27．（2024春 威信县校级期末）以下关于平面向量的说法中，正确的是（　　）
A．既有大小，又有方向的量叫做向量
B．所有单位向量都相等
C．零向量没有方向
D．平行向量也叫做共线向量
【答案】AD
【分析】由向量及其有关概念逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：既有大小，又有方向的量叫做向量，故A正确；
所有单位向量的模都相等，方向不一定相同，故B错误；
零向量的方向是任意的，故C错误；
平行向量也叫做共线向量，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查向量的基本概念，是基础题．
（多选）28．（2024春 峨山县校级期末）下列命题中错误的有（　　）
A．起点相同的单位向量，终点必相同
B．已知向量，则四边形ABCD为平行四边形
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【分析】由单位向量的定义、向量共线和相等的条件，判断各选项的结论．
【解答】解：单位向量的方向不确定，所以起点相同，终点不一定相同，故A错误；
四边形ABCD中，由，可得AB∥CD，但四边形ABCD不一定为平行四边形，故B错误；
当时，满足，，但不能得到，故C错误；
由向量相等的条件可知，若，则，故D正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查单位向量定义，向量共线及相等的条件，属基础题．
（多选）29．（2024春 武威校级期末）下列说法正确的是（　　）
A．
B．是单位向量，则
C．任一非零向量都可以平行移动
D．若，则
【答案】ABC
【分析】利用向量的相关概念，逐一判断各个命题作答．
【解答】解：对于A，与互为相反向量，它们的模相等，A正确；
对于B，所有的单位向量的模相等，B正确；
对于C，任一非零向量都可以平行移动，C正确；
对于D，向量的模有大小，而向量无大小，D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查平面向量的相关概念，属于基础题．
（多选）30．（2024春 汉中期末）下列命题正确的是（　　）
A．若||＝||，则＝ B．若||＞||，则＞
C．若＝，则∥ D．若||＝0，则＝
【答案】CD
【分析】利用向量的有关知识即可得出．
【解答】解：A．||＝||，则＝±，不正确；
B．||＞||，则与不能比较大小；
C.＝，则∥，正确；
D．||＝0，则＝，正确．
故选：CD．
【点评】本题考查了向量的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
（多选）31．（2024春 凉山州期末）下列关于平面向量的说法正确的是（　　）
A．若，是共线的单位向量，则
B．若，是相反向量，则
C．若，则向量，共线
D．若，则点A，B，C，D必在同一条直线上
【答案】BC
【分析】利用相反向量、共线向量的概念分析判断各选项．
【解答】解：对于A，，是共线的单位向量，则或，A错误；
对于B，若，是相反向量，则，B正确；
对于C，，即，则向量，共线，C正确；
对于D，，点A，B，C，D可以不在同一 直线上，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查向量的概念，属于基础题．
（多选）32．（2024春 萍乡期末）下列命题为真命题的是（　　）
A．若向量，，满足，，则
B．240°化成弧度数为
C．若向量，满足，，，则
D．在4：30时刻，时针与分针所夹的锐角为θ，则tanθ＝1
【答案】BD
【分析】根据零向量即可判断A，根据角度与弧度的互化即可判断B，根据向量的模长公式即可求解C，根据θ＝45°即可求解D．
【解答】解：对于A，若为零向量，则不一定成立，故A错误，
对于B，，B正确，
对于C，，故C错误，
对于D，4：30时刻，时针与分针所夹的锐角θ＝45°，故tanθ＝1，D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，属于基础题．
（多选）33．（2024春 富平县期末）已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（　　）
A．与相等
B．如果与平行，那么与相等
C．与共线
D．如果与平行，那么＝或＝﹣
【答案】ABC
【分析】根据单位向量以及向量平行，共线相等的定义分别进行判断即可．
【解答】解：A．因为，为两个单位向量，当两个向量方向不相同时，两个向量不相等，故A错误；
B．如果与平行，则两个向量方向相同时，与相等，方向相反时，则与不相等，故B错误；
C．当两个向量方向不相同时，两个向量不共线，故C错误；
D．如果与平行，则两个向量方向相同或相反，那么＝或＝﹣，故D正确．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查向量平行，共线和相等的判断，属于基础题．
（多选）34．（2024春 科左中旗校级期末）下列结论正确的是（　　）
A．若A（0，0），B（2，3），C（﹣4，﹣6），则A，B，C三点共线
B．若A（0，0），B（2，4），则线段AB的中点坐标为（1，2）
C．模等于1个单位长度的向量称为单位向量
D．y＝2x3是幂函数
【答案】ABC
【分析】直接利用向量的共线，中点坐标公式，单位向量的定义，幂函数的定义判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：由于A（0，0），B（2，3），C（﹣4，﹣6），所以，，故，所以A、B、C三点共线，故A正确；
对于B：由于A（0，0），B（2，4），则线段AB的中点坐标为（），即（1，2），故B正确；
对于C：模长等于1个单位长度的向量称为单位向量，故C正确；
对于D：函数y＝2x3由于系数不为1，故不是幂函数，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查的知识点：向量的共线，中点坐标公式，单位向量的定义，幂函数的定义，重点考查学生的运算能力和对基础知识的理解能力，属于基础题．
（多选）35．（2024春 肥城市校级期末）下列物理量中是向量的是（　　）
A．质量 B．位移 C．速度 D．力
【答案】BCD
【分析】根据已知条件，结合向量的定义，即可求解．
【解答】解：位移、速度、力均有大小与方向，均为向量，质量没有方向，不为向量．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查向量的定义，属于基础题．
（多选）36．（2024春 韩城市期末）下列命题错误的是（　　）
A．若A、B、C是平面内的三点，则
B．若、是两个单位向量，则
C．若是任意两个向量，则
D．向量可以作为平面内所有向量的一组基底
【答案】ABC
【分析】根据向量减法的几何意义可判断A的正误；
根据相等向量和单位向量的定义可判断B的正误；
根据向量加法的几何意义可判断C的正误；
根据基底的定义可判断D的正误．
【解答】解：，A错误；
是单位向量，只保证长度相同，方向不一定相同，得不出，B错误；
，当同向时取等号，C错误；
与不共线，可以作为平面内所有向量的一组基底，D正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查了单位向量、相等向量的定义，向量加法和减法的几何意义，基底的定义，是基础题．
（多选）37．（2024春 丰城市校级期末）已知平面向量、、，下列四个命题不正确的是（　　）
A．若，则
B．单位向量都相等
C．方向相反的两个非零向量一定共线
D．若，满足，且与同向，则
【答案】BD
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可．
【解答】解：对于A，若，则，故A正确；
对于B，单位向量的模为1，但是方向不一定相同，故B错误；
对于C，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故C正确；
对于D，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故D错误．
故选：BD．
【点评】本题主要考查向量相等的概念，属于基础题．
（多选）38．（2023秋 辽宁期末）下列命题正确的是（　　）
A．数轴上零向量的坐标为0
B．若与都是单位向量，则的最小值为0
C．若A（﹣2，1），B（2，﹣1），则AB＝0
D．若A（﹣2，1），B（2，﹣1），则线段AB的中点坐标为（0，0）
【答案】ABD
【分析】根据向量的基本概念判定A，B，由平面上两点的距离公式判断C，由中点坐标公式判断D．
【解答】解：数轴上零向量的坐标为0，故A正确；
若与都是单位向量，则当与反向时，
的最小值为0，故B正确；
若A（﹣2，1），B（2，﹣1），则由两点间距离公式，
可得AB＝，故C错误；
若A（﹣2，1），B（2，﹣1），则由中点坐标公式，
可得线段AB的中点坐标为（0，0），故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查平面向量的基本概念，考查距离公式及中点坐标公式，属基础题．
（多选）39．（2024春 东坡区期末）下列说法中正确的是（　　）
A．若，则
B．
C．若为单位向量，则
D．是与非零向量共线的单位向量
【答案】ABD
【分析】根据零向量的定义，向量加法的几何意义即可判断A，B的正误；根据相等向量的定义即可判断C的正误；根据向量数乘的几何意义即可判断D的正误．
【解答】解：A．根据零向量的定义知A正确；
B．根据向量加法的几何意义知B正确；
C.与方向不同时，，C错误；
D.，∴与非零向量共线，且是单位向量，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了零向量的定义，单位向量的定义，共线向量基本定理，相等向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．
（多选）40．（2024春 喀什市期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量的方向不确定
D．两个相等向量的起点相同，则终点也相同
【答案】ACD
【分析】根据相等向量的定义，向量模的定义，零向量的定义即可求解．
【解答】解：对A，根据向量的模的定义，可知向量与向量的长度相等，∴A正确；
对B，∵两个有共同起点，且长度相等的向量，
它们的终点相同或关于起点对称，∴B错误；
对C，∵零向量的方向是任意的，∴C正确；
对D，根据相等向量的定义，可知两个相等向量的起点相同，则终点也相同，∴D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查向量的基本概念，属基础题．
三．填空题（共8小题）
41．（2024秋 南宁期末）已知O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是 　④　 （填序号）
①平行向量；
②相等向量；
③有相同终点的向量；
④模都相等的向量．
【答案】④．
【分析】结合平面向量的概念，以及向量模的定义，即可求解．
【解答】解：由平行向量、相等向量的定义可知，向量，，，不是平行向量、相等向量，故①②错误；
向量终点为O，终点为B，故③错误；
向量，，，的模均为正方形ABCD对角线长度的一半，故④正确．
故答案为：④．
【点评】本题主要考查平面向量的概念，以及向量模的定义，属于基础题．
42．（2024秋 唐县校级期末）在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若（其中，分别为x，y轴方向相同的单位向量），则P的坐标为（x，y），若P关于斜坐标系xOy的坐标为（2，﹣1），则＝　　
【答案】．
【分析】由斜坐标定义用，表示，然后平方转化为数量积求得模．
【解答】解：由题意，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题．
43．（2024秋 海淀区校级期末）已知向量＝（x，x﹣2），＝（3，4），若，则向量的模为　10　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据向量平行的坐标表示得到x＝﹣6，然后根据向量模的定义求出向量的模，
【解答】解：∵∥，∴4x﹣3（x﹣2）＝0，解得x＝﹣6，
∴＝（﹣6，﹣8），∴||＝＝10
故答案为：10
【点评】本题考查了向量的概念与向量的模，属基础题．
44．（2019春 濮阳期末）向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量，为邻边的平行四边形的面积是 　3　
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出向量，的坐标，再利用两个向量的数量积定义和公式，三角形的面积公式求得以向量，为邻边的平行四边形的面积．
【解答】解：设的起点为原点O（0，0），则的终点为（2，1），＝（2，1），||＝，
的起点为（1，2），则的终点为（2，4），＝（1，2），||＝．
∴设 与 的夹角为θ，θ为锐角，＝2+2＝4＝ cosθ，求得cosθ＝，∴sinθ＝，
∴向量，为邻边的平行四边形的面积是 2× || || sinθ＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查向量的模，两个向量的数量积定义和公式，三角形的面积公式，属于基础题．
45．（2024春 肥城市校级期末）已知向量，则与向量平行的单位向量为 　和　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用与向量平行的单位向量为，求解即可．
【解答】解：因为，所以，所以与向量平行的单位向量为和．
故答案为：和．
【点评】本题考查的知识点：单位向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
46．（2024春 武汉期末）已知向量＝（1，﹣2），与垂直的单位向量是　（，）或（﹣，﹣）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】设要求的向量为＝（x，y），可得＝x﹣2y＝0，＝1，解出即可得出．
【解答】解：设要求的向量为＝（x，y），
则＝x﹣2y＝0，＝1，
联立解得x＝，y＝；x＝﹣，y＝﹣．
∴要求的向量为：（，）或（﹣，﹣）．
故答案为：（，）或（﹣，﹣）．
【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
47．（2024春 无锡期末）已知向量，则与方向相同的单位向量的坐标为 　　 ．
【答案】（﹣，）．
【分析】由平面向量的坐标运算化简即可．
【解答】解：∵||＝＝，
∴与方向相同的单位向量的坐标为（﹣1，2）＝（﹣，），
故答案为：（﹣，）．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
48．（2023秋 辽宁期末）与向量共线的单位向量为 　和　 ．
【答案】和．
【分析】根据向量共线的坐标表示及单位向量模长为1，列方程组即可求解．
【解答】解：设与向量共线的单位向量为（x，y），
则有，解得或，
所以与向量共线的单位向量为，
故答案为：和．
【点评】本题考查向量共线的坐标表示，考查单位向量概念，属基础题．
四．解答题（共1小题）
49．（2024秋 葫芦岛期末）在△ABC中，A（﹣2，3），B（2，7），C（﹣6，﹣5），G是重心，直线EF过点G，交BA于点E，交BC于点F．
（1）求；
（2）若，λ，μ为正实数，求2λ+8μ的最小值．
【答案】（1）；
（2）6．
【分析】（1）由重心性质可得得坐标，从而求得模长；
（2）由平面向量基本定理的推论得，再利用基本不等式求得最值．
【解答】解：（1）根据题意：，，
由G是△ABC的重心，
可得，
所以；
（2）由，
可得，，
所以，
因为E，F，G三点共线，所以，
则，
当且仅当，即λ＝1，时等号成立，
所以2λ+8μ的最小值为6．
【点评】本题考查平面向量的模长公式及平面向量基本定理，考查基本不等式求最值，属中档题．
五．判断题（共1小题）
50．（2024春 鹿泉区校级期末）向量的模与方向有关． 　×　 （判断对错）
【答案】×．
【分析】根据平面向量的概念进行判断．
【解答】解：向量的模是指向量的大小，与向量的方向无关．
故答案为：×．
【点评】本题主要考查平面向量的概念，属于基础题．
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