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2024-2025学年上海市华东师范大学附属东昌中学高二年级下学期
5月月数学试卷
2025.5
一 填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.将三组数据绘制成如图的折线图，则这三组数据中，__________组数据的方差最小.
2.已知随机变量服从正念分布，若，则__________.
3.双曲线的右焦点到渐近线的距离为__________.
4.今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是星期__________.
5.如图所示，弧长为，半径为1的扇形（及其内部）绕所在的直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为__________.
6.甲 乙 丙 丁 戊 戌6名同学相约到电影院观看电影《哪吒2》，恰好买到了六张连号且在同一排的电影票，若甲不坐在6个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为__________.（用数字作答）
7.满足定义域为且值域为的函数共有__________个
8.__________.（用数字作答）
9.某小组有学生10人，则该小组中至少有两个出生的月份相同的概率为__________.（答案精确到0.001）
10.小玲 小强两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人在罚球区各投1球.已知小玲 小强每轮投中的概率分别为，每轮比赛中两人是否投中互不影响，各轮比赛之间也互不影响，则“星队”在两轮比赛中共投中3球的概率为__________.
11.在的展开式中，若展开式中有且仅有项的系数最大，则的取值范围是__________.
12.为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动，顾客需投掷一枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若三次投掷的数字之和是6，12或18，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极拟奖机会，已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示.
奖品 一个健身背包 一盒蛋白粉
概率
则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为__________.
二 选择题（本大题共有4题，满分18分，第13 14题每题4分，第15 16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的概率约为（ ）
A.0.1 B.0.15 C.0.25 D.0.5
14.从101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中采用随机数表法抽取10个人，那么下列说法正确的是（ ）
A.这是一种科学的抽样方法
B.这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会
C.由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽点的可能性是多少
D.每个人被抽到的可能性不相等
15.设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（ ）
0 1 2 3 4
0.1 0.4 0.2 0.2
A. B.
C. D.
16.一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. D.
三 解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，分别是底面圆周上的一点，，且点不与两点重合.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某生物研究小组准备探究某种蜻蜓的翼长分布规律，随机捕捉20只该种蜻蜓，测量他们的翼长（翼长为整数）并绘制成如下的茎叶图和一部分频率分布直方图，其中茎叶图中有一处数字看不清（用表示），但已知茎叶图中每一行的数据都按照从小到大的顺序排列且无相同的数据，频率分布直方图每个分组含左端点不含右端点.
（1）求的值；
（2）根据茎叶图将频率分布直方图补充完整；
（3）分别根据茎叶图和频率分布直方图计算蜻蜓翼长的中位数，并分析哪个中位数可以更准确地反应蜻蜓翼长的总体情况.
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
（1）从这10所学校中随机选取1所，事件表示“该学校参与”自由式滑雪“人数超过40人”，事件N表示“该校参与”单板滑雪“超过30人”，求在事件发生的条件下，事件N发生的概率；
（2）已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行 转弯 停止”这3个动作技巧进行集训.并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结论不要求证明）
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，且为线段的中点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）求直线的方程；
（3）过点作抛物线的两条切线，分别交于两点，求面积的最小值.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数，其中.
（1）若函数是偶函数，求；
（2）当时，讨论函数在上的零点个数：
（3）若对任意，求的取值范围.
2024-2025学年上海市华东师范大学附属东昌中学高二年级下学期
5月月数学试卷
一 填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.B
2.4
3.
4.四
5.
6.144
7.36
8.1024
9.0.996
10.
11.
12.
二 选择题（本大题共有4题，满分18分，第13 14题每题4分，第15 16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.B
14.A
15.B
16.B
三 解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.（1）证明：因为是底面圆上的一条直径，
所以，
因为底面圆，
所以底面圆，
因为底面圆，所以，
因为平画，所以平画，
因为平面，所以平面平面.
（2）因为底面圆圆，
所以，
又，又，所以为等边三角形，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，设，故，
，
，，
设平面的法向量为，
则则，
解得，令，得，故，
设直线与平面所成角的大小为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
18.（1）区间对应的个体个数为，
对应的3个数据分别为，
必须要大于4且小于6，
.
（2）区间对应的纵坐标分别为：
，
频率分布直方图，如图所示：
（3）根据茎叶图中位数为，
频率分布直方图中，区间的频率为，
因此中位数为50，
利用茎叶图计算的中位数更加准确，
因为频率分布直方图损失了样本的部分信息，
数据的分组对数字特征的估计结果也有影响：
而茎叶图是原始数据，记录了样本的全部信息，所以更准确地反应蜻蜓翼长的总体情况.
19.（1）设参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校为事件，参与“单板滑雪”超过30人的学校为事件，则，
.
（2）由题知，“基地学校”有4个，则的可能取值为，
所以，
，
所以的分布列为
0 1 2
所以.
（3）因为李华同学次测试达到优秀的概率，
则设李华同学测试获得优秀的次数为，则，
因为，解得，
因为，所以至少要进行8轮测试.
20.（1）因为抛物线的焦点为，
所以，解得，
则抛物线的方程为.
（2）易知直线的斜率存在，
设
因为两点均在抛物线上，
所以，
此时，
因为线段的中点为，
所以，
所以，
则直线的方程为，
即.
（3）设抛物线切线方程为，
联立.，消去并整理得，
此时，
解得，
由书达定理得，
设直线的方程为，
联立，
解得，
同理得，
所以，
因为点点到直线的距离，
所以，
设，
因为，
所以，
当时，单调递减：
当时，单调递增，
所以.则.
21.（1）因为函数是偶函数，所以.
即，
即，
所以，
所以恒成立，即，
因为，
得.
（2）当吋，，
又恒成立，故在上单调递增，
又，故存在，使得，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，又时，，
故在上有2个零点.
（3）原命题等价于，
当时，，
当时，则的图像需在似图像上.方考虑临界情况，两者刚好相切时，
设切点为，则有
，
所以，
又，故.

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