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苏教版高中数学必修第二册-12 章末演练-同步练习
[A　基础达标]
1．在复平面内，若表示复数z＝m2－1＋i的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．　　　　　　
B．
C．∪
D．
2．已知x，y∈R，i＝y－i，则(　　)
A．x＋y＝0　 B．x－y＝0
C．xy＝2 D．xy＝－2
3．在复平面内，复数2i，3对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且＝，则点C对应的复数是(　　)
A．1＋i B．＋i
C．1＋i D．＋i
4．设z＝－2i，则|z|＝(　　)
A．0 B．1
C． D．3
5．复数z1＝cos x－isin x，z2＝sin x－icos x，则＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
6．若3a＋2bi＝i4＋i3(a，b∈R)则复数z＝a＋bi的虚部为________．
7．若复数z与其共轭复数满足＝，z＋＝2，则z＋＝________．
8．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，是实数，那么复数z的实部与虚部满足的关系式为________．
9．如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)，所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)B点对应的复数．
10．已知z1，z2为虚数，且满足＝5，z2＝3＋4i.
(1)若z1z2是纯虚数，求z1；
(2)在(1)的条件下，求证：为纯虚数．
[B　能力提升]
11．(多选)已知复数z满足z2＝－7－24i，在复平面内，复数z对应的点可能在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．(多选)复数z满足·z＋3i＝2，则下列说法正确的是(　　)
A．z的实部为－3 B．z的虚部为2
C．＝3－2i D．|z|＝
13．把复数z1与z2对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知z2＝－1－i，则复数z1的代数式和它的辐角主值分别是(　　)
A．－－i， B．－＋i，
C．－－i， D．－＋i，
[C　拓展探究]
14．设复数z满足|z|＝1，使得关于x的方程zx2＋2x＋2＝0有实根，则这样的复数z的和为________．
15．某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. ①；②；③.(i是虚数单位)
(1)从三个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论．
参考答案
[A　基础达标]
1．解析：选A．因为表示复数z＝m2－1＋i的点在第四象限，所以解得m<－1.
故选A．
2．解析：选A．因为(3＋xi)i＝y－(x－1)i，所以－x＋3i＝y－(x－1)i，则－x＝y，3＝1－x，
即x＝－2，y＝2，所以x＋y＝0，xy＝－4.故选A．
3．解析：选B．两个复数对应的点分别为A，B，设点C的坐标为，
则由＝，得C为AB的中点，故C的坐标为，则点C对应的复数是＋i.
故选B．
4．解析：选B．z＝－2i＝－2i＝－2i＝－i，|z|＝1.
5．解析：选D．复数z1＝cos x－isin x，z2＝sin x－icos x，则z1z2＝cos x sin x－cos x sin x＋i＝－i，则|z1z2|＝1，故选D．
6．解析：因为3a＋2bi＝i4＋i3，所以3a＋2bi＝1－i，则a＝，b＝－，
所以z＝－i，虚部为－.故答案为－.
答案：－
7．解析：设z＝a＋bi，则＝a－bi，又|z|＝，z＋＝2，所以
因此z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋a－bi＝2a＝2.
故答案为2.
答案：2
8．解析：＝＝＝＋i.因为是实数，所以＝0，即a－b＝0.故答案为a－b＝0.
答案：a－b＝0
9．解：(1)＝－，所以所表示的复数为－3－2i.
因为＝，所以所表示的复数为－3－2i.
(2)＝－，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)＝＋，所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
10．解：(1)设z1＝a＋bi，
则z1z2＝＝3a＋4ai＋3bi－4b＝＋i，
因为|z1|＝5，z1z2是纯虚数，
所以解得或
因此z1＝4＋3i或z1＝－4－3i.
(2)证明：若z1＝4＋3i，则＝＝＝＝i是纯虚数；
若z1＝－4－3i，则＝＝＝＝－3i也是纯虚数；综上，为纯虚数．
[B　能力提升]
11．解析：选BD．设复数z＝a＋bi，则z2＝a2＋2abi－b2＝－7－24i，
由复数相等得解得或
因此z＝3－4i或z＝－3＋4i，所以对应的点为或，因此复数z对应的点可能在第二或第四象限．故选BD．
12．解析：选AD．由·z＋3i＝2知，·z＝2－3i，即z＝·＝＝＝－3－2i，所以z的实部为－3，A正确；z的虚部为－2，B错误；＝－3＋2i，C错误；|z|＝＝，D正确；故选AD．
13．解析：选B．由题可知z1＝z2，
则z1＝·＝－2，
所以z1＝＝＝＝－＋i，
可知z1对应的坐标为，则它的辐角主值为.故选B．
[C　拓展探究]
14．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R且a2＋b2＝1)，
则原方程zx2＋2x＋2＝0变为＋i＝0，
所以ax2＋2ax＋2＝0，①且bx2－2bx＝0.②
(1)若b＝0，则a2＝1解得a＝±1，当a＝1时①无实数解，舍去；
从而a＝－1，此时x＝－1±，故z＝－1满足条件；
(2)若b≠0，由②知，x＝0或x＝2，显然x＝0不满足，故x＝2，代入①得a＝－，b＝±，所以z＝－±i，
综上满足条件的所有复数的和为－1＋＋＝－.　
答案：－
15．解：(1)＝＝＝i；
＝＝＝i；
＝＝＝i.
(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，可以得到：
＝i(a，b∈R且a，b不同时为零).
下面进行证明：
要证明＝i，
只需证a＋bi＝i(b－ai)，
只需证a＋bi＝a＋bi，
因为上式成立，所以＝i成立．

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