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苏教版高中数学必修第二册-12.1 复数的概念
同步练习
[A　基础达标]
1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是(　　)
A．1－i　　 B．1＋i
C．－3＋3i D．3＋3i
2．若复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)是纯虚数，则　(　　)
A．a＝0或a＝2
B．a＝0
C．a≠1且a≠2
D．a≠1或a≠2
3．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝(　　)
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
4．下列四个复数中，实部大于虚部的是(　　)
A．1＋2i B．1＋i
C．i2－2i D．2i
5．下列命题：
①若z＝a＋bi，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；
②若z＋z＝0，则z1＝z2＝0；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
6．设i为虚数单位，若2＋ai＝b－3i(a，b∈R)，则a＋bi＝________．
7．下列命题中，真命题的个数是________．
①实数集与虚数集的交集是{0}；
②若x2＋y2＝0且x，y∈C，则x＝y＝0；
③若z＝1－2i，则复数z的虚部是2.
8．设z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)是虚数，则m的取值范围是________．
9．已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.
(1)若复数z是实数，求实数m的值；
(2)若复数z是虚数，求实数m的取值范围；
(3)若复数z是纯虚数，求实数m的值；
(4)若复数z是0，求实数m的值．
10．已知a是实数，b是纯虚数，且满足ai－b＝3＋bi，求a2＋b2的值．
[B　能力提升]
11．“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．(多选)已知i为虚数单位，下列命题中正确的是(　　)
A．若a≠0，则ai是纯虚数
B．虚部为－的虚数有无数个
C．实数集在复数集中的补集是虚数集
D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
13．已知sin θ＋icos θ＝－i，θ∈[0，2π]，则θ＝________．
[C　拓展探究]
14．已知复数z＝m2＋3m＋1＋(m2＋5m＋6)i<0(m∈R)，则m的值为________．
15．实数m为何值时，复数z＝＋i是：
(1)纯虚数？
(2)等于3＋6i
(3)复数z≤0
参考答案
[A　基础达标]
1．解析：选A．－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.
2．解析：选B．因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.
3．解析：选B．由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.
4．解析：选C．复数1＋2i的实部为1，虚部为2，实部小于虚部；
复数1＋i的实部与虚部相等，都是1；
复数i2－2i＝－1－2i的实部为－1，虚部为－2，实部大于虚部；
复数2i的实部为0，虚部为2，实部小于虚部．
故选C．
5．解析：选A．在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z＋z＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A．
6．解析：由2＋ai＝b－3i，得a＝－3，b＝2，则a＋bi＝－3＋2i，故答案为－3＋2i.
答案：－3＋2i
7．解析：①实数集与虚数集的交集是空集，所以①是假命题；②当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0同样成立，所以②是假命题；③复数z的虚部是－2，所以③是假命题．故真命题的个数为0.
答案：0
8．解析：因为z为虚数，所以log(3－m)≠0，
故解得－1答案：(－1，2)∪(2，3)
9．解：(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，
所以m＝5或m＝－3.
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数．
所以m≠5且m≠－3.
所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠－3}．
(3)当时，复数z是纯虚数，所以m＝－2.
(4)当时，复数z是0，所以m＝－3.
10．解：设b＝xi，x∈R且x≠0，则ai－xi＝3＋xi2，即(a－x)i＝3－x，
所以解方程组，得那么a2＋b2＝32＋(3i)2＝0.
[B　能力提升]
11．解析：选B．因为1－a＋a2＝＋＞0，所以若复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数，则4－a2＝0，即a＝±2；当a＝－2时，4－a2＋(1－a＋a2)i＝7i为纯虚数，故选B．
12．解析：选BCD．对于A，若a＝i，则ai＝i2＝－1，不是纯虚数，故A错误；对于B，虚部为－的虚数可以表示为m－i(m∈R)，有无数个，故B正确；根据复数的分类，判断C正确；两个复数相等一定能推出实部相等，必要性成立，但两个复数的实部相等推不出两个复数相等，充分性不成立，故D正确．故选BCD．
13．解析：因为sin θ＋icos θ＝－i，故
又θ∈[0，2π]，故θ＝.
故答案为.
答案：
[C　拓展探究]
14．解析：因为z<0，所以z∈R，
所以m2＋5m＋6＝0，
解得m＝－2或m＝－3.
当m＝－3时，z＝1>0，不符合题意，舍去；
当m＝－2时，z＝－1<0，符合题意．
故m的值为－2.
答案：－2
15．解：(1)由题意可得解得m＝3.
(2)由复数相等可得解得m＝6.
(3)解得m＝5.

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