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新人教版高中数学必修第二册-6.4.2 向量在物理中的应用举例－同步练习
基础强化　
1.人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为(　　)
A．v1－v2 B．v2－v1
C．v1＋v2 D．|v1|－|v2|
2．一物体在力F的作用下，由点A(4，－2)移动到点B(5，4).已知F＝(3，2)，则F对该物体所做的功为(　　)
A．－15 B．15
C．28 D．－28
3．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)
A．6 B．2
C．2 D．2
4．河水的流速为5 m/s，一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为(　　)
A．13 m/s B．12 m/s
C．17 m/s D．15 m/s
5.
如图，一个力F作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，F的大小为50 N，且与小车的位移方向(s的方向)的夹角为60°，则力F做的功为(　　)
A．1 000 J B．1 000 J
C．2 000 J D．500 J
6．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是(　　)
A．船垂直到达对岸所用时间最少
B．当船速v的方向与河岸垂直时用时最少
C．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样
D．船垂直到达对岸时航行的距离最短
7．飞机以300 km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是________ km/h.
8．三纤夫用牵绳拉船，船的航行方向由M(2，1)至N(5，－3)，若三纤夫所用力分别为F1＝(1，4)，F2＝(3，－2)，F3＝(0，4)，则三纤夫对船所做的功为________．
9．已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0).
(1)求力F1、F2分别对质点所做的功；
(2)求力F1、F2的合力F对质点所做的功．
10．如图，一个质量为20 kg的物体用两根绳子悬挂起来，两根绳子与铅垂线的夹角分别为30°和45°.求这两根绳子所承受的力f1和f2的大小(精确到0.1 N).(重力加速度g＝9.8 m/s2)
注：≈1.414，≈1.732.
能力提升
11.两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120°时，合力大小为(　　)
A．40 N B．10 N C．20 N D．40 N
12．一个物体同时受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8 m，已知|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为(　　)
A．24 J B．24 J C．24 J D．24 J
13．一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度v1的大小为|v1|＝10 m/s，水流速度v2的大小为|v2|＝2 m/s.设船行驶方向与水流方向的夹角为θ，若船的航程最短，则(　　)
A．θ＝ B．θ＝ C．<θ< D．<θ<
14．(多选)在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ.下列结论中正确的是(　　)
A．θ越大越费力，θ越小越省力
B．θ的取值范围为[0，π]
C．当θ＝时，|F1|＝|G|
D．当θ＝时，|F1|＝|G|
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案
15.平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝2 N，F1，F2成为120°角，则力F1与F3所成的角为________．
16．如图，长江某地南北两岸平行，江面的宽度d＝1 km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝4 km/h，设v1和v2的夹角为θ，北岸A′在A的正北方向．
(1)当θ＝120°时，判断游船航行到北岸时的位置是在图中A′的左侧还是右侧，并说明理由．
(2)当cos θ多大时，游船能到达A′处？需航行多长时间？
参考答案
1．解析：由题得v1和v2都是向量，根据向量的加法运算得逆风行驶的速度为v1＋v2.故选C.
答案：C
2．解析：由题意得＝(1，6)，所以F对该物体所做的功为1×3＋6×2＝15.故选B.
答案：B
3．解析：由题意知F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2F1·F2＝4＋16＝20，∴|F3|＝2.故选C.
答案：C
4．解析：设河水的流速v2＝5 m/s，静水速度与河水速度的合速度v＝12 m/s，小船的静水速度为v1，为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即静水速度v1斜向上游方向，河水速度v2＝5 m/s平行于河岸，静水速度与河水速度的合速度v＝12 m/s指向对岸，所以静水速度v1＝＝＝13(m/s).故选A.
答案：A
5．解析：因为|F|＝50且F与小车的位移方向的夹角为60°，又力F作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，则力F做的功为W＝F·s＝|F||s|cos 60°＝50×40×＝1 000(J).故选A.
答案：A
6．解析：设船在静水中的速度为v，水流速度为v1，船实际速度为v2，两岸间的垂直距离为s；对于ABC，船垂直到达对岸时，v2＝，则所用时间t＝；当船速v的方向与河岸垂直时，所用时间t＝；∵v≥v2，∴当船速v的方向与河岸垂直时，用时最少，且沿不同直线航行到达对岸的事件不相同，A错误，B正确，C错误．对于D，船垂直到达对岸时，航行的距离为两岸间的垂直距离，此时距离最短，D正确．故选BD.
答案：BD
7．解析：飞机以300 km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，如图，
设v＝300，所以飞机在水平方向的分速度vx＝300·cos 30°＝300×＝150.
答案：150
8．解析：因为F1＝(1，4)，F2＝(3，－2)，F3＝(0，4)，所以F＝F1＋F2＋F3＝(1，4)＋(3，－2)＋(0，4)＝(4，6)，
因为船的航行方向由M(2，1)至N(5，－3)，所以＝(5，－3)－(2，1)＝(3，－4)，所以F·＝4×3＋6×(－4)＝－12.
答案：－12
9．解析：(1)＝(－13，－15)，
力F1对质点所做的功W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，
力F2对质点所做的功W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3，
所以，力F1、F2对质点所做的功分别为－99和－3.
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·＝F1·＋F2·＝－99－3＝－102.
10．解析：易知f1＋f2的模为20×9.8＝196(N)，方向竖直向上．
设|f1|＝xN，|f2|＝yN，
则x cos 45°＋y cos 30°＝196，x sin 45°＝y sin 30°，
解得
所以|f1|≈101.5 N，|f2|≈143.5 N．
11.
解析：如图，以F1，F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力．由题意，易知|F|＝|F1|，|F|＝20 N，∴|F1|＝|F2|＝10 N.当它们的夹角为120°时，以F1，F2为邻边作平行四边形，此平行四边形为菱形，此时合力的大小|F′|＝|F1|＝10 N．故选B.
答案：B
12.
解析：如图，以正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3，3)，所以合力F＝F1＋F2＋F3＝(2－2，2＋4).由题意得，位移s＝(4，4)，故合力F所做的功W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝6×4＝24(J).故选D.
答案：D
13.
解析：当航线垂直于河岸时，航程最短，如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝2，所以sin ∠BAC＝∈(0，)，所以∠BAC∈(0，)，所以θ＝＋∠BAC∈(，).故选C.
答案：C
14．解析：对于A，根据题意，得|G|＝|F1＋F2|，所以|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1|×|F2|×cos θ＝2|F1|2(1＋cos θ)，解得|F1|2＝，因为θ∈(0，π)时，y＝cos θ单调递减，所以θ越大越费力，θ越小越省力，故A正确；对于B，由题意知θ的取值范围是(0，π)，故B错误；对于C，因为|F1|2＝，所以当θ＝时，|F1|2＝，所以|F1|＝|G|，故C错误；对于D，因为|F1|2＝，所以当θ＝时，|F1|2＝|G|2，所以|F1|＝|G|，故D正确．故选AD.
答案：AD
15．解析：
如图所示，A(1，0)，∠AOB＝120°.＝F1，＝F2.把＝F2分别沿x，y轴方向正交分解，可得＝(0，).∵三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，∴F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－＝－(0，)＝(0，－).∴力F1与F3所成的角为90°.
答案：90°
16．解析：(1)θ＝120°时，游船水平方向的速度大小为|v1|cos (180°－θ)－|v2|＝1(km/h)，方向水平向左，故最终到达北岸时游船在A′点的左侧；
(2)若游船能到达A′处，则有|v2|＝|v1|cos (180°－θ)，
则有cos θ＝－cos (180°－θ)＝－＝－，
此时游船垂直江岸方向的速度|v|＝|v1|sin θ＝2(km/h)，
时间t＝＝(h).

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