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2025 年凌源市九年级第三次模拟测试
数学试卷
(试卷满分 120分，答题时间 120分钟）
温馨提示：请把所有的答案都答在答题卡上,答题要求见答题卡，否则不给分.
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题都有四
个选项，只有一个最佳选项符合题目要求.）
1．在下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列算式中计算正确的是（ ）
A．x+x2＝x2 B．x6x3＝x18
C．﹣x3﹣（﹣x）3＝0 D．﹣x（x﹣1）＝﹣x2
3．交通是经济发展的“开路先锋”，辽宁正全力建设交通重点项目．一季度，全省完成交
通投资 121.5亿元，同比增长 13%；集装箱海铁联运量及占比保持全国前列，交通运输
领域工作全面稳定向好．将数据“12150000000”用科学记数法表示为（ ）
A．121.5×108 B．1.215×109
C．1.215×1010 D．1.215×1011
4．手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：dBm），则下
列信号最强的是（ ）
A．﹣50 B．﹣60 C．﹣70 D．﹣80
5．如图，在 ABCD中，∠ABC＝50°，BE平分∠ABC，则∠BED的度数为（ ）
A．25° B．130° C．145° D．155°
6．关于一元二次方程 x2﹣4x﹣4＝0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个实数根 B．没有实数根
数学试卷 第1 页（共 6页）
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
7．数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有 1 个黑球、2
个黄球、3个白球、和 4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，
某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ）
A．黑球 B．白球 C．黄球 D．红球
8．如图，背面花纹相同的 2张扑克牌，从中间剪开，将其背面朝上，打乱顺序后放在桌面
上，若从中随机抽取两张，恰好能拼成一张扑克牌的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
9．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳
长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把
绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为 x尺，则下面所列方程正
确的是（ ）
A．3x﹣4＝4x﹣1 B．3（x+4）＝4（x+1）
C．3（x﹣1）＝4（x﹣4） D．3x+4＝4x+1
10．如图，圆内接四边形 ABCD中，∠BCD＝105°，连接 OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2
∠COD．则∠CBD的度数是（ ）
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A．25° B．30° C．35° D．40°
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
1 3
11．分式方程 = 的解是 ．
2
12．分解因式：m3﹣16m＝ ．
3
13．如图，在△ABC中，D是 AC的中点，∠ADE＝∠B，且 = ，若 BC＝8，则 DE的
4
长为 ．
14 1．如图，直线 y= 3x+1与 x轴，y轴分别交于 A、B两点，△BOC与△B′O′C′是以点
A为位似中心的位似图形，且相似比为 1：2，则点 B′的坐标为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形 AOCB为菱形， ∠ = 43，且点 A落在反比
= 3 例函数 上，点 B落在反比例函数 = （k≠0）上，则 k＝ ．
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三、简答题（共 8 小题，共 75 分，解答应写出文字）
16 ﹣．(10 分)计算：（1）（﹣2） 2﹣2sin45°+ 8 |1 2|．
（2）[（x+3y）（x﹣3y）﹣（x﹣3y）2]÷6y．
17．(8 分)某超市以每袋 8元的成本价购进一些糖果，根据前期销售情况，每天销售量 y（袋）
与该商品定价每袋 x（元）是一次函数关系，如图所示．
（1）求销售量 y与定价 x之间的函数关系式；
（2）超市准备每天销售该糖果的利润是 56元，但让顾客少花钱，不考虑其它因素，求
该糖果的定价应为多少．
18 (8 分)．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产 A产品，乙车间生产 B产品．已知销售 A
产品 30件，B产品 20件，共收入 680元；销售 A产品 50件，B产品 40件，共收入 1240
元．
（1）求 A，B两种产品的销售单价．
（2）若该工厂销售 A，B两种产品共 300 件，总收入不超过 4000元，最少要销售 A产
品多少件？
19 (8 分)．随着辽宁省人工智能创新发展大会暨青年 AI创新大赛全面启动，某校为了解全
校学生对人工智能的了解情况，随机抽取该校部分学生进行测试，并对测试成绩进行收
集、整理、描述和分析（测试满分为 100分，学生测试成绩 x均为不小于 60的整数，分
为四个等级：A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70），部分
信息如下：
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信息一：
信息二：学生成绩在 C等级的数据：72，73，74，74，75，76，76，77，78，78．
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）求所抽取的学生成绩为 D等级的人数．
（2）求所抽取的学生成绩的中位数．
（3）已知该校共有 1500名学生，若全校学生都参加本次测试，请估计成绩为 A等级的
人数．
20 (8 分)．如图，5G时代，万物互联，互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，
助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号，在坡度 i＝1：2.4（即
DB：AB＝1：2.4）的山坡 AD上加装了信号塔 PQ，信号塔底端 Q到坡底 A的距离为 13m．当
太阳光线与水平线所成的夹角为 53°时，信号塔顶端 P的影子落在警示牌 MN上的点 E
处，且 AM＝8m，ME＝9m．
（1）∠PEN＝ °；
（2）求信号塔 PQ高度大约为多少米？（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°
≈1.3）
21(8 分).已知：如图，△ABC内接于⊙O，点 E为⊙O上一点，连接 EB，EA，其中 EA经过
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圆心 O，E的延长线交射线 CD于点 D，若∠ACD＝∠ABC．
（1）求证：CD是⊙O切线；
（2）若 AC＝5，∠ACD＝30°，求 的长．
22 (12 分)综合与探究
如图，在矩形 ABCD中，AB＝3，AD＝2，点 M从点 D出发沿射线 DC方向运动，运动
速度为每秒 2个单位长度．设点 M的运动时间为 t秒．
1 3（ ）如图 1，当 = 4秒时，猜想 MA与 MB的数量关系，并说明理由．
（2）如图 2，E为 AB的延长线上的一点，BE＝4，动点 N从点 E出发，以每秒 1 个单
位长度的速度向点 B运动，点 N与点 M同时出发，当点 N到达点 B时，两点同时停止
运动．
①当 DM＝DA时，求 MN的长．
②当以 M，C，E，N为顶点的四边形是平行四边形时，求 t的值．
23(13 分)．如图 1，抛物线 y＝ax2+bx+3与 x轴交于 A（﹣1，0）、B（3，0），与 y轴交于
点 C．直线 y＝﹣x+3与抛物线交于点 B与点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 2，点 D是第一象限抛物线上一点，设 D点横坐标为 m．连接 OD，将线段
OD绕 O点逆时针旋转 90°，得到线段 OE，过点 E作 EF∥x轴交直线 BC于 F．求线段
EF的最大值；
（3）如图 3，将抛物线 y＝ax2+bx+3在 x轴上方的图象沿 x轴翻折到 x轴下方，与原抛
物线在 x轴下方部分的图象组成新图象．若直线 y＝5x+n与新图象有且只有两个交点，
请你直接写出 n的取值范围．
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．
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2025 数学参考答案
一．选择题（每题 3 分，共 30 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A D D C C B A
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11. x＝3 ． 12． m（m+4）（m﹣4） 13．3 14． （3，2）或（﹣9，﹣2）
15．8
三、解答题（共 8题，共 75 分）
5
16.(10分)（1） ；
4
（2）x﹣3y．
17 (8 分).解：（1）设销售量 y与定价 x之间的函数关系式为 y=kx+b（k≠0），
由图象可知：，
∴销售量 y 与定价 x 之间的函数关系式是：y=-2x+38；
（2）由题意得：（x-8）（-2x+38）=56，
2
整理得：x -27x+180=0，
解得：x1=12，x2=15（不符合题意，舍去），
答：该糖果的定价应为 12 元．
18.(8 分)解：（1）被调查的总人数为 12÷30%=40（人），
D等级的人数为：40-4-12-10=14（人）；
（2）把所抽取的学生成绩的从小到大排列，排在中间的两个数分别是：76 分，76 分，
所以所抽取的学生成绩的中位数为：=76（分）；
（3）1500×=150（人），
答：估计成绩为 A 等级的人数为 150 人．
19.(8 分)解：（1）设 A产品的销售单价为 x元，B产品的销售单价为 y元，
30 + 20 = 680
根据题意得： 50 + 40 = 1240，
= 12
解得： = 16．
答：A产品的销售单价为 12元，B产品的销售单价为 16元；
（2）设销售 A产品 m件，则销售 B产品（300﹣m）件，
8
根据题意得：12m+16（300﹣m）≤4000，
解得：m≥200，
∴m的最小值为 200．
答：最少要销售 A产品 200件．
20. (8 分)解：（1）如图，作 QH⊥AB，垂足为 H，
根据题意和作图可知四边形 EMHS为矩形，∠PES＝53°，
∴∠PEN＝90﹣53°＝37°；
故答案为：37；
（2）由 i＝1：2.4，可得 QH：HA＝5：12，
设 QH＝5x米，则 HA＝12x米，
在 Rt△AQH中，由勾股定理可得 QH2+AH2＝AQ2，
∴（5x）2+（12x）2＝132，
解得 x＝1，
∴QH＝5x＝5（米），HA＝12x＝12（米），
∴ES＝HA+AM＝12+8＝20，
∵∠PES＝53°，
在 Rt△PES中，tan ∠PES= ，

即 tan53°= ，
20
∴PS≈20×1.3＝26.0（米），
∴PQ＝PS+EM﹣QH＝26.0+9﹣5＝30.0（米）．
21.(8 分)（1）证明：过 C作圆的直径 CM，连接 AM，
∴∠MAC＝90°，
9
∴∠M+∠ACM＝90°，
∵∠ACD＝∠ABC，∠ABC＝∠M，
∴∠ACD＝∠M，
∴∠ACD+∠ACM＝90°，
∴直径 CM⊥DC，
∴CD是⊙O切线；
（2）由（1）知∠M＝∠ACD＝30°，
∴∠AOC＝2∠M＝60°，
∴∠COE＝180°﹣60°＝120°，
∵OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴OA＝AC＝5，
= 120 ×5 = 10 ∴ 的长 ．
180 3
22 (12 分)解：（1）MA＝MB．
理由：∵四边形 ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝2，∠D＝∠C＝90°，CD＝AB＝3．
= 3当 秒时， = 3 × 2 = 3 3，则 = = ，
4 4 2 2
∴DM＝CM．
在△DAM和△CBM中，
=
∠ = ∠ ，
=
∴△DAM≌△CBM（SAS），
∴MA＝MB．
（2）①如图，过点 M作 MP⊥AB于点 P，
10
则∠MPA＝∠MPN＝90°．
∵四边形 ABCD为矩形，
∴∠D＝∠DAP＝90°，
∴四边形 DAPM为矩形．
∵DM＝DA，
∴四边形 DAPM为正方形，
∴DM＝AP＝PM＝DA＝2，
∴t＝2÷2＝1秒，则 NE＝1×1＝1，
∴PN＝AB+BE﹣AP﹣NE＝4．
在 Rt△MPN中， = 2 + 2 = 22 + 42 = 2 5．
②由题意，得 EN＝t，DM＝2t．
∵四边形 ABCD是矩形，
∴MC∥NE，
∴当 MC＝NE时，则以 M，C，E，N为顶点的四边形是平行四边形．
3
当点 M在 DC上时，即 0 ≤ ≤ 时，DC＝AB＝3，
2
∴CM＝3﹣2t，得 3﹣21＝t，解得 t＝1；
3
当点 M在点 C的右侧时，即 ＜ ≤ 4时，CM＝2t﹣3，
2
∴2t﹣3＝t，解得 t＝3．
综上所述，t的值为 1或 3．
23.(13 分)解：（1）把 A（﹣1，0），B（3，0）代入 y＝ax2+bx+3，
+ 3 = 0
得 9 + 3 + 3 = 0，
= 1
解得 = 2 ，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3；
（2）把 x＝0代入 y＝﹣x2+2x+3，得 y＝3，
∴点 C的坐标为（0，3），
11
设点 D的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
过点 D和点 E作 DG⊥x轴，EH⊥x轴，垂足分别为点 G，H，
得 OG＝m，DG＝﹣m2+2m+3，
由线段 OD绕 O点逆时针旋转 90°，得 OE＝OD，∠DOE＝90°，
∵∠DOE＝∠DGO＝90°，
∴∠DOG+∠EOH＝90°，∠DOG+∠ODG＝90°，
∴∠EOH＝∠ODG，
∵∠EHO＝∠OGD＝90°，OE＝OD，
∴△EOH≌△ODG（AAS），
∴EH＝OG＝m，OH＝DG＝﹣m2+2m+3，
∴点 E的坐标为（m2﹣2m﹣3，m），
∵EF∥x轴，
∴点 F的坐标为（﹣m+3，m），
∴EF＝（﹣m+3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+6，
当 m= 1 = 1时，EF 25取得最大值，最大值为 ；
2×( 1) 2 4
（3）由翻折可知，x轴下方的抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x﹣3（﹣1≤x≤3），
当 y＝5x+n与 y＝﹣x2+2x+3只有一个交点时，y＝5x+n与新图象只有一个交点，
= 5 +
联立 = 2 + 2 + 3，
得 5x+n＝﹣x2+2x+3，
整理得 x2+3x+n﹣3＝0，
得Δ＝32﹣4 1 （n﹣3）＝0，
21
解得 = ，
4
得 2 + 3 + 21 3 = 0，
4
12
解得 = 3，
2
得 y＝5x+n与 y＝﹣x2+2x+3的交点在点 A的左侧，
将直线向下平移直至 y＝5x+n经过点 B之前时，y＝5x+n与新图象有 2个交点，
当 y＝5x+n经过点 B时，15+n＝0，
解得 n＝﹣15，
= 5 15
联立 = 2 2 3，
= 3 = 4
解得 = 0， = 5（不合题意，舍去），
∴当 y＝5x+n经过点 B时，直线与新图象仍有 2个交点，
将直线继续向下平移直至直线与 y＝x2﹣2x﹣3（﹣1≤x≤3）只有一个交点时，
= 5 +
联立 = 2 2 3，
得 5x+n＝x2﹣2x﹣3，
整理得 x2﹣7x﹣n﹣3＝0，
得Δ＝（﹣7）2﹣4 1 （﹣n﹣3）＝0，
61
解得 = ，
4
2 7 + 61得 3 = 0，
4
解得 = 7，
2
交点位于点 B的右侧上方部分，
∴此时直线与新图象仍有 2个交点，
继续往下平移，y＝5x+n与新图象有 2个交点，
21
综上所述，当 ＜ 时，直线 y＝5x+n与新图象有且只有两个交点．
4
13

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