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2024-2025学年甘肃省兰州市城关区弘毅绿地实验学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务.其活跃用户数在上线21天后达到了3370万.将3370万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
2.用5个相同的小正方体搭成的立体图形，左视图不相同的立体图形为( )
A. B. C. D.
3.下列运算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
4.已知，则a的值是( )
A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数
5.使式子有意义的x的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 且
6.如图①是某相框支架的实物图，其示意图如图②所示，已知若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知一次函数的图象如图所示，则k，b的取值范围( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
8.如图，在中，，CF是AB边上的中线，DE是的中位线，若，则DE的长( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
9.《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛斛：古代容量单位；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，则可列方程组是( )
A. B. C. D.
10.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是( )
A. B. 1 C. D.
11.现有四张正面印有神舟载人航天飞行任务标识的卡片，它们除内容标识之外其他完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的概率为( )
A. B. C. D.
12.如图，等腰直角三角形ABC的腰长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以的速度分别沿和的路径向点B、C运动，设运动时间为单位：，四边形PBCQ的面积为单位：，则y与之间的函数关系可用图象表示为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.分解因式： .
14.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近
其中正确的是______填序号
15.如图，点A，B，C，D在上，，，则______.
16.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD，BC的中点，BE与DF相交于点O，过点O作交AD于点M，若，，则OM的长为______.
三、解答题：本题共12小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题4分
计算：
18.本小题4分
先化简再求值：，其中
19.本小题4分
解不等式组：
20.本小题6分
为了解九年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级的部分学生进行测试，两班抽取的学生人数恰好相同.测试成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有11人的成绩是A级.
学校 平均数/分 中位数/分 众数/分
甲校测试班级 a 90
乙校测试班级 b 80 c
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
直接将甲校测试班级成绩的条形统计图补充完整.
补全表格中的数据：
______，______，______.
若甲校九年级有学生500人，根据以上信息，估计甲校九年级学生中测试成绩为B级及以上的学生有多少人？
21.本小题6分
问题：如图1，，点P是内的一定点，点M、N分别在OA、OB上移动，点P、M、N不在同一直线上，当的周长最小时，求的度数.
此问题是轴对称求最值问题的典型应用，已知点P关于直线OA的对称点C，PC交OA于点请按以下要求依次完成问，以解决上述问题.
尺规作图：请在图2中作出点P关于直线OB的对称点D，并连接CD交OA、OB分别于点M、N，连接PD交OB于点T，连接PN、
综合的作图，将下列解答过程补充完整.
点P关于OA、OB的对称点分别为点C、D，
垂直平分PC，OB垂直平分PD，
，①______，
②______，
当点C、M、N、D在同一直线上时，的值最小.
即的周长最小，
，，
，③______，
由作图得，，
在四边形OTPR中，，
，
，
在中，，
，
④______
⑤______
22.本小题6分
足球训练中球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米.现以O为原点建立如图所示直角坐标系.
求抛物线的函数表达式；
已知球门高OB为米，通过计算判断球能否射进球门忽略其他因素
23.本小题6分
在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量校园外一栋建筑物的高度，同学们设计了两个测量方案，如下：
课题 测量建筑物AB的高度
测量工具 测角仪、皮尺及两根的标杆
测量小组 第一小组 第二小组
测量方案示意图
说明 点C，E，B在同一直线上，CD，EF为标杆 CD为建筑物AB旁边的小楼
测量数据 从点D处测得A点的仰角为，从点F处测得A点的仰角为， 从点D处测得A点的仰角为
根据以上数据请你判断，第______小组无法测量出建筑物 AB的高度；
请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出建筑物AB的高度结果精确到；参考数据：，，
24.本小题6分
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作于点E，延长BC到点F，使得，连接
求证：四边形AEFD是矩形；
连接OE，若，，求OE的长.
25.本小题7分
如图，一次函数为常数，的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且，与反比例函数为常数，且的图象交于C，E两点，过点C作轴于点D，且
求一次函数与反比例函数的解析式；
求的面积；
直接写出不等式的解集.
26.本小题6分
如图，AB为的直径，点F在上，，点D在EF的延长线上，点C在上且，直径AB与DC的延长线相交于点P，AC与OF相交于点
求证：PC是的切线；
若，求AC的长.
27.本小题8分
在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点
连接CF，如图1，求证：；
如图2，过点F作交BC于点G，求证：；
在的条件下，如图3，连接EG，当，时，求EG的长.
28.本小题9分
定义；若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点是函数的图象的“等值点”.
分别判断函数，的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
设函数，的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为当的面积为3时，求b的值；
若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围.
答案
1.C
2.C
3.A
4.C
5.B
6.B
7.D
8.D
9.B
10.D
11.A
12.C
13.
14.①③
15.
16.
17.】解：
18.解：原式
，
当时，原式
19.解：，
由①得：，
由②得：，
则不等式组的解集为
解：乙校参加测试的学生的总人数为人，
甲校参加测试的学生总数也是25人，
甲校成绩为C级的人数为人，
补全甲校测试班级成绩统计图如下：
甲校参加测试的共有25人，按照成绩从高到低排列第13名学生应在B级，
甲校测试班级的中位数是90分，
即，
乙校测试成绩获得A组的人数为人，获得B级的有人，
获得C级的有人，获得D级的有人，
乙校测试成绩的平均数为：，
乙校测试成绩中获得A级的人数最多，
乙校测试成绩的众数是，
故答案为：90，，100；
甲校测试成绩为A级的人数占测试总人数的，
甲校测试成绩为B级的人数占测试总人数的，
甲校测试成绩为B级及以上的人数占测试总人数的，
利用样本估计总体，可得：甲校测试成绩达到B级及以上的人数为人，
答：估计甲校八年级学生中测试成绩为B级及以上的学生有360人．
21.解：如图所示．
点P关于OA、OB的对称点分别为点C、D，
垂直平分PC，OB垂直平分PD，
，，
点M、N分别在OA、OB上移动，
当点C、M、N、D在同一直线上时，的值最小．
即的周长最小，
，，
，，
由作图得，，
在四边形OTPR中，，
，
，
在中，，
，
故答案为：①；②点M、N分别在OA、OB上移动；③；④；⑤
22.解：米，由题意可得：
设抛物线，把点代入得：
，
解得，
；
当时，，
球能射进球门．
23.解：第二组没有测量BC的长度，
第二组无法测量出建筑物的高度，
故答案为：二；
根据第一组的测量数据，如图，延长DF交AB于点G，
由题意可得：，，，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
在中，，
即，
，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
24.证明：四边形ABCD是菱形，
且，
，
，
，
，
四边形AEFD是平行四边形，
，
，
四边形AEFD是矩形；
解：四边形ABCD是菱形，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
四边形ABCD是菱形，
，

25.解：当代入得；当代入得，
故，，
，
，
一次函数解析式为：，
，
点C的横坐标为2，将代入得，
即点C的坐标为，将点C的坐标代入得，
，
反比例函数的解析式为：；
故一次函数解析式为：，反比例函数的解析式为：
将一次函数与反比例函数联立得，
解得或，
故点E的坐标为，点E到y轴的距离为5，；
由可知点E的坐标为，点C的坐标为，
，
根据图象可得：或
26.证明：连接OC，BC，如图所示：
为的直径，点C在上，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
，
是的半径，
是的切线；
解：在中，，
设，，
点F在上，点C在上，
，
，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
，
，
为的直径，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
，
连接OC，BC，根据得，根据得，再根据得，进而得，则，由此根据切线的判定即可得出结论；
在中，根据设，，则，，，，在中，由勾股定理可求出，则，，在中，根据得，再由勾股定理得，据此可得AC的长．
27.证明：四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
，，
在与中，
，
≌，
；
证明：连接FC，
四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即；
解：延长CB到H，使，
四边形ABCD是正方形，
，，
≌，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，，

28.在中，令，得不成立，
函数的图象上不存在“等值点”；
在中，令，
解得：，，
函数的图象上有两个“等值点”或；
在函数中，令，
解得：，
，
在函数中，令，
解得：，
，
轴，
，
，
的面积为3，
，
当时，，
解得，
当时，，
，
方程没有实数根，
当时，，
解得：，
综上所述，b的值为或；
令，
解得：，，
函数的图象上有两个“等值点”或，
①当时，，两部分组成的图象上必有2个“等值点”或，
：，
：，
令，
整理得：，
的图象上不存在“等值点”，
，
，
，
②当时，有3个“等值点”、、，
③当时，，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，
④当时，，两部分组成的图象上恰有1个“等值点”，
⑤当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，或

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