资源简介

2025年辽宁省初中学业水平模拟考试（三）
数学试卷
（本试卷共 23 小题满分 120 分考试时长 120 分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上
无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

y ax bx c b , 4ac b
2
参考公式：抛物线 的顶点坐标是
2a 4a


第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（ ）
A． 22 B．｜ 2｜ C． 2 D． ( 2)2
2．米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器，如图 1是一种无盈米斗，其示图（不
计厚度）如图 2所示，则其俯视图是（ ）
（图1） （图2）
A． B． C． D．
3．“嫦娥六号”返回器携带来自月背的月球样品安全着陆，历时 53天，38万公里的太空往返之旅，数据 380000
用科学记数法表示为（ ）
A．38 104 B．0.38 105 C．3.8 104 D．3.8 105
4．在平面直角坐标系中，点 P 1,2 关于坐标原点的对称点 P 的坐标为（ ）
A． 1, 2 B． 1,2 C． 1, 2 D． 1,2
5 x 2．将分式方程 3化为整式方程，正确的是（ ）
x 2 2 x
A． x 2 3 B． x 2 3 C． x 2 3 x 2 D． x 2 3 x 2
6．在一个不透明袋子中有红球和黑球共 10个球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球是红
3
球的概率是 ，则袋子中红球的个数是（ ）
5
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，菱形 ABCD的对角线 AC,BD交于点 O，若 1 65 29 ，则 2为（ ）
A．34 29 B．34 31 C． 24 31 D．25 31
k
8．如图，正比例函数 y1 k1x的图象与反比例函数 y 22 的图象相交于 A、B两点，其中 A点的横坐标为 3，x
当 y1 y2 时，x的取值范围是（ ）
A． x 3或 x 3 B． x 3或0 x 3 C． 3 x 0或0 x 3 D． 3 x 0或 x 3
9．如图，△ABC与△DEF 是以点 O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF 的面积比为 4 :9，则
OB :OE的值为（ ）
A．4 :9 B．3:1 C． 2 :1 D．2 :3
10．如图，将抛物线C1 : y x 1
2 2 2平移到抛物线C2 : y x 2 1，点 P m,n1 ,Q m,n2 分别
在抛物线C ,C 上．下列结论：①无论 m取何值，都有 n2 0；②若点 P平移后的对应点为 P ，则PP 3 2；
③当 3 m 1时，线段 PQ的长随着 m的增大而减小．其中正确的结论为（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11．x的 2倍与 3的差为正数，用不等式表示为______．
12．古代建筑中的榫卯结构精妙绝伦，体现了古人的智慧．如图，这是一种古代建筑构件“榫头”的示意图，
其中两直角边长分别为6cm和8cm，斜面（阴影部分）为长方形，其中长方形的一边长为3cm，则此长方形
2
的面积为______cm ．
13．在登山过程中，海拔每升高1km，气温下降6℃，某登山大本营所在的位置的气温是12℃，登山队员从
大本营出发登山，当海拔升高 xkm时（ x 0），所在位置的气温是 y℃，则 y与 x的函数表达式是______．
14．《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：今有空车日行八十里，重车日行六十里；今载太仓粟输
上林，五日三返，问太仓去上林几何 译文如下：有人用车把米从太仓运到上林，空车时每天行驶 80里，装米
时每天行驶 60里，载货去，空车返回，5天往返 3次问太仓到上林的距离是______里．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点 C，A分别在 x轴，y轴上，其中点 A 0,4 ，点 D为
OA的中点，连接 BD．点 P为OC边上一点，连接DP，先以点 P为圆心，DP长为半径作弧，交 BD于点
1
E，再分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线 PF 交DE于点G．若DG DO，
2
则点 P的坐标为______．
三、解答题（本题共 8 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
1 1
16．（10 分）（1）（5分）计算： 2 3
( 4) ( 8) 12 | 3 1|；

a 12 5 2a 3（ ）（ 分）计算： 1 ．
a 2 a2 4
17．（8分）某苹果园种植一种优质苹果，随着果树的成长，该苹果园的总产量从 2022年的 30吨增加到 2024
年的 43.2吨．
（1）求这个苹果园总产量平均每年增产的百分率；
（2）若平均每年增产的百分率率不变，2025年该苹果园的总产量能突破 50吨吗 请说明理由．
18．（8分）某中学为了解学生每周在校零花钱的数量，随机抽取校内若干名学生某一周零花钱总金额 x（元）
进行了调查，并将收集的数据分成四组，部分信息如下：
信息一：
一周零花钱费用调查频数分布表 一周零花钱费用调查扇形统计图
组别 总金额x/元 频数
A 0 x 30 9
B 30 x 60 10
C 60 x 90 12
D x 90 m
信息二：60 x 90的数据如下：62，64，65，68，70，70，72，74，75，78，84，88．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的方式属于______（选填“全面调查”或“抽样调查”）；统计表中的m ______；
（2）求本次调查数据的中位数；
（3）若该校学生有 1600名，请估计这周零钱消费的总金额在 60元以上的学生人数．
19．（8分）太阳能热水器作为一种高效利用太阳能的设备，是绿色能源的重要组成部分．它通过将太阳能转
化为热能，减少了对传统化石燃料的依赖，从而降低了碳排放，对环境保护具有重要意义．如图 2是安装热水
器的侧面示意图．已知屋面 AE的倾斜角 EAD为 22 ，长为 4m的真空管 AB与水平线 AD的夹角为30 ，
安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5m．
（1）求真空管上端 B到水平线 AD的距离；
（2）求安装热水器的铁架水平横管 BC的长度（结果精确到0.1m）．
3
（参考数据： sin22 , cos 22 15 2 , tan , 3 1.73）
8 16 5
20．（8分）商场销售一种商品，成本价为 20元/千克，经市场调查，每天销售量 y（千克）与销售单价 x（元/
千克）之间的关系如图所示，规定该商品每千克售价不能低于 30元，且不高于 50元．
（1）根据图象求出 y与 x之间的函数关系式，并直接写出 x的取值范围；
（2）商场销售该商品每天的利润能否达到 4000元 如果能，求出每千克的售价；如果不能，请说明理由．
21．（8分）如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径，BD平分 ABC的外角交 O于点 D，DE BC
交CB的延长线于点 E．
（1）如图 1，求证：DE是 O的切线；
（2）如图 2，若 AB 10， tan BDE 1 ，求 BC的长．
2
22．（12分）如图，在Rt△ABC中， ACB 90 ，D为 BC边上一点．DE AB于 E，连接CE．
（1）如图 1，求证： BDE A；
（2）如图 2，作 ACB的平分线交 AB于 F，连接 FD， CDE BDF．
①求证： AC DC；
②求证： AE DE 2CE．
（3）如图 3，若 B 30 ，将△BCE 沿CE折叠，得到△MCE，MC与 AB边交于点 G，连接 AD,MD，
若 AGC 90 DE，求 的值．
AD
23 13 y x2．（ 分）如图，抛物线 bx c的对称轴为直线 x 1，抛物线与 x轴一个交点为 A 3,0 ，另
一个交点为 B，与 y轴交于点 C，抛物线的顶点为 D．
（图1） （图2） （图3）
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图 1，点 E在抛物线的对称轴上， BEC 90 ，求点 E的坐标；
（3）如图 2，连接 AC,DC，延长DC交 x轴于点 F，点 G在线段 AC上，连接 FG，将线段FG绕点 F逆
时针旋转90 得到线段 FG ，当点G 在抛物线上时，求点G 的坐标；
（4）如图 3，点 H在第一象限的抛物线上，过 H作HM x轴于 M，交 BD于点 N，点 Q在线段 AD上，
连接 NQ，满足 ABD DNQ 45 ，NQ与抛物线的对称轴交于点 P．
①求 DPQ的度数；
②若 BN DQ，求点 H的坐标．
2025 年辽宁省初中学业水平模拟考试数学（三）
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．A 2．B 3．D 4．A 5．D 6．C 7．C 8．B 9．D 10．A
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11．2x 3 0 12．30 13． y 6x 12 x 0 40014． 15． 5 1,07
三、解答题（本题共 8 小题，共 75 分）
16．（1）解：原式 3 ( 2) 2 3 3 1································································4分
2 3；············································································································5分
a 1 a 2 (a 2)(a 2)
（2）解：原式

····························································8分
a 2 a 2 2a 3
2a 3 (a 2)(a 2)
····························································································9分
a 2 2a 3
a 2．···············································································································10分
17．解：（1）设这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是 x，
根据题意得：30(1 x)2 43.2 ，···········································································2分
解得： x1 0.2 20%, x2 2.2（不符合题意，舍去）．·············································4分
答：这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是 20%；···············································5分
（2）2025年该苹果园的总产量能突破 50吨．···························································6分
理由： 43.2 (1 20%) 51.84吨，·····································································7分
51.84 50， 2025年该苹果园的总产量能突破 50吨．··········································8分
18．解：（1）抽样调查；························································································1分
9；·····················································································································2分
（2） 共调查了10 25% 40人，将这 40个数据从小到大排列，第 20，21两个数据为 C组的 62，64，
························································································································3分
62 64
中位数为 63元，·················································································4分
2
答：这组数据的中位数为 63元；·············································································5分
（3）1600 12 9 840（名），···········································································7分
40
答：估计一周零钱消费的总金额在 60元以上的学生人数大约为 840名．··························8分
19．解：（1）如图，过 B作BF AD于 F， AFB DFB 90 ，························1分
AB 4 m, BAD 30 1 , BF AB 2m，······················································2分
2
答：点 B到 AD的距离为 2m；··············································································3分
（2）在Rt△ABF 中， AFB 90 , BAF 30 , cos BAF AF ，
AB
AF AB cos BAF 4 cos30 2 3m ，······················································4分
BF AD,CD AD,BC∥FD, BFD CDF BCD 90 ，
四边形 BFDC是矩形， CD BF 2m,BC FD，············································5分
CE 0.5m, DE CD CE 2 0.5 1.5m，
在Rt△ADE DE中， ADE 90 , DAE 22 , tan DAE ，
AD
AD DE DE 1.5 3.75m，·························································6分
tan EAD tan 22 2
5
BC DF AD AF 3.75 2 3 3.75 2 1.73 0.29 0.3m ．·································7分
答： BC的长度约为0.3m．····························································································8分
20．解：（1）设每天销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）之间的关系为 y kx b k 0 ，将点
150 30k b30,150 ， 40,140 分别代入得： ，····························································1分
140 40k b
k 1
解得： ，········································································································3分
b 180
y x 180(30 x 50)；·······················································································4分
（2）商场销售该商品每天的利润不能达到 4000元，···························································5分
设商场销售该商品每天利润心元，根据题意得，
w (x 20)( x 180) x 2 200x 3600 (x 100) 2 6400 ，·····································6分
1 0，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线 x 100，
30 x 50时，在对称轴左侧，w随 x的增大而增大，
当 x 50时，w最大，最大值为 3900元，······································································7分
3900 4000，∴商场销售该商品每天的利润不能达到 4000元．·········································8分
21．解：（1）证明：如图 1，连接OD． OD OB, OBD ODB．································1分
BD平分 ABC的外角， OBD EBD. ODB EBD. OD∥BE．···················2分
DE CB交CB的延长线于 E． BED 90 , ODE 90 ．
OD DE． OD为 O半径． DE是 O的切线；····················································3分
（2）如图 2，连接OD, AD，过 O作OF BC于 F． AB是 O的直径．
ADB 90 . ADB DEB, ABD DBE．
△DBE∽△ABD, AD DE ．·················································································4分
BD BE
在Rt△BDE中， tan BDE BE 1 AD 2．设 BD a, AD 2a．
DE 2 BD
2
根据勾股定理得． AB AD BD2 5a. AB 10. a 2 5．·································5分
BD 2 5 ．在Rt△BDE中，DE 2BE ，根据勾股定理得，
BD BE 2 DE 2 5BE . 5BE 2 5. BE 2,DE 4 ．·································6分
OF BC, OFB 90 . OFB DEF ODE 90 ． 四边形ODEF 为矩
形． OF DE 4．
在Rt△OBF OB 1中， AB 5 2，根据勾股定理得 BF OB OF 2 52 42 3．······7分
2
OF BC. BC 2BF 6．·················································································8分
22．解：（1）证明： DE AB于 E， BED 90 , B BDE 90 ，···················1分
ACB 90 A B 90 , BDE A；························································2分
（2）①证明： CDE BDF , CDE EDF BDF EDF ，
即 BDE CDF. BDE A, A CDF ．·····················································3分
CF 平分 ACB． ACF DCF ．又 CF CF．
△ACF≌△DCF(AAS), AC DC；·····································································4分
②证明：如图 1，过 C作CM CE交 ED延长线于 M． ECM 90 ，
ACB 90 , ACE DCM 90 DCE．······················································5分
BDE CDM , BDE A. A CDM ，又 AC DC．
△ACE≌△DCM (ASA). CE CM , AE DM ，·····················································6分
△ECM 是等腰直角三角形． EM 2CE. EM DM DE，
AE DE 2CE．·······························································································7分
（3）如图 2，连接 AM ．
ACB 90 , B 30 , BAC 60 , AB 2AC，
设 AC a 2，则 AB 2a，根据勾股定理得，BC AB AC2 3a．
AGC 90 , ACG 90 60 30 ． △BCE沿CE翻折得到△MCE，
BCE MCE 90 30 30 ．······························································8分
2
ACE ACG MCE 60 , ACE CAE 60 ， △ACE是等边三角形．
AE AC CE a, BE AB AE 2a a a．··········································9分
在Rt△BDE 3中， B 30 , DE a,BD 2 3 a．
3 3
CD BC BD 3a 2 3 a 3 a，
3 3
3 a
tan CAD CD 3 2 3 3 , CAD 30 , AD 2CD a ．··················10分
AC a 3 3
在Rt△BCG中， BC 2CG， 翻折， BC MC. MC 2CG．
AGC 90 , AG MC, AM AC a, MAB CAB 60 ．····················11分
CAD 30 , BAD CAB CAD 60 30 30 ．
MAD MAB BAD 60 30 90 ．
在Rt△MAD中，根据勾股定理得，
2 21

MD AM 2 AD 2 2 3 21 DM 7 a 2 a3
a . 3 ．···················12分
3 AD 2 3 2
3
b
1 b 2
23．解：（1 2）根据题意得 2 ( 1) ，解得 ， y x 2x 3；··················2分
c 3 9 3b c 0

（2）如图 1，过 C作CM 直线 x 1于 M． CME 90 ，
BEC BNE 90 . CEM BEN BEN EBN 90 ．
CEM EBN ．································································································3分
CME BNE, △CME∽△ENB．
CM ME
． A( 3,0)．抛物线对称轴为直线 x 1． B(1,0)．
EN BN
BN 2, C(0,3), OC MN 3. CM 1 3 EN 1. ．
EN 2
EN 2 3EN 2 0,EN 2或EN 1， E1( 1,1)或 E2 ( 1,2)；····································5分
（3）当 x 1时， y 1 2 3 4, D( 1,4). C(0,3)．∴直线CD的解析式为 y x 3，
F (3,0). OA OF. CO AF. CA CF ．
OA OC, CAO 45 . AFC 45 ．·································································6分
如图 2，过 F作 FM AF 交 AC延长线于 M，连接 AG ．则 FM FA, M 45 ．
MFA GFG 90 , MFG AFG ，又 FG FG ，
△MFG≌△AFG (SAS). FAG 45 , AG ∥FC．·············································7分
设直线 AG 的解析式为 y x n，代入 A( 3,0)． n 3．∴直线 AG 的解析式为 y x 3．联立
y x 3 x1 3 x2 2
．解得 ． ．
y x
2 2x 3 y

1 0 y2 5
G (2, 5)；·········································································································8分
（4）① HM x轴， HM∥PD. MNB BDP．设 MNB BDP ．
ABD 90 MNB 90 . ABD BNQ 45 , DNQ ABD 45 90 45
45 ． DPQ DNQ BDP 45 45 ；·······································9分
②如图 3．过 Q作QJ DP于 J，过 N作 NI DP于 I，设DP交 AB于 R．
AD BD,DR AB. ADR BDR BNM ．又 BN DQ．
△BNM≌△QDJ (AAS). BM QJ ,MN DJ ．····················································10分
设H t, t 2 2t 3 BM QJ 1 t, AR 2 1 ．DR 4 2
DQ 1
. DJ MN 2 2t．···············································································11分
DJ 2
DPQ BPR 45 . PJ QJ 1 t,NI MR PI t 1，
RI MN 2 2t, DR DJ PJ PI RI 4．
2 2t 1 t t 1 1 2 2t 4. t ．····································································12分
2
x 1
2
y 1 1 7 1 7 当 时，
2
2 3 . H , ．···················································13分
2 2 4 2 4

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