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2025年辽宁省初中学业水平模拟考试定心卷（数学）
(本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟)
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本
试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 一部分 选择题 ( 共 3 0 分 )
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的)
1. 如图是由5个棱长为1的小正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是
正面 A B C D
( 第 1 题 )
2.2025年4月23日，我国首次实现地月距离尺度的卫星激光测距，标志着我国在深空卫星激
光测距技术领域取得重大突破.科研团队测出星地距离约350000公里.将数据350000用
科学记数法表示为
A.35×10 B.3.5×10 C.3.5×10 D.0.35×10
3. 下列图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A B C D
4. 在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图
1.正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅的运行.其示意图如图2,若
在某一时刻AB//DE,∠BAC=35°,∠CDE=135°, 则∠ACD的度数为
(图1) (图2)
(第4题)
A.60° B.70° C.80° D.85°
1
5. 下列运算正确的是
A.(a ) =a B.a(a-b)=a-ab C.a ÷a =a D.a ·a=a
6. 两所学校计划共同组织春季研学活动，目前给出的研学路线共有3条，分别为：红色研学路
线、科普研学路线和国防教育研学路线.若两校均从中随机选择一条路线进行研学活动，则
两校选择同一路线进行研学活动的概率为
A B C D
7. 下列命题正确的是
A. 正方形的对角线相等且互相平分 B. 对角互补的四边形是平行四边形
C. 矩形的对角线互相垂直 D. 一组邻边相等的四边形是菱形
8.《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表.已知圭
的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为x 尺，表的长度为y
B C
9. 如图，在口ABCD中，E为边AB延长线上一点，连接DE交对角线AC于点F, 过点F作 FG//
BC交AB于 点G, 若AG=BE=2, 则CD的长为
A.2 B. 2 2 C.3 D.1+ 5
(第9题) (第10题)
10. 如图，已知反比例函数 的图象与菱形OABC相交于A(3,n),D 两点，点C在x
轴上.连接AD,OD,则△OAD的面积为
A.6 B.8 C.10 D.12
第二部分 非选择题(共90分)
二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)
11.分式方 的解为
12.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(1,3),将点A先向下平移2个单位长度，再向左
平移4个单位长度，得到点A′,则点A′的坐标为
13.已知a+2b=1, 则代数式a -4b +4b的值为
14. 已知直线y=m与抛物线y=x2-2x-3存在两个交点,横坐标分别为x1,,x2,与y=-x交
点
的横坐标为x3 ,并且x1定心卷·数学 第2页(共8页)
15. 如图，在△ABC中 ，AB=AC,∠BAC=20°,以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D. 以
点B 为圆心，BC长为半径画弧交AC于点E. 连接CD,BE, 则∠ACD的度数为
(第15题)
三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16 . (10分)
(1)(5分)计算：
(2)(5分)化简：
17 . (8分)
随着AI技术的高速发展，无人配送车在快递领域迅速普及，某快递运营区有若干揽投
员，无人车3辆.若每位揽投员的日均投递量是每辆无人车的35%,若2位揽投员和3辆无
人车每天可配送快递4810件.
(1)求1辆无人车的日均投递量；
(2)旺季期间，该运营区有揽投员50人，要求日均投递总量不低于40000件，求至少需要
增加无人车多少辆.
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18. (8分)
北京时间2025年4月24日神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射.该日
期具有特殊的意义，既是中国第一颗人造卫星“东方红一号”成功发射55周年纪念日，也
是第十个“中国航天日”.为庆祝这个特殊的日子，某校开展了校园航空航天知识竞赛，满
分100分，七年级学生参加了本次活动.为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了七年级
部分学生的竞赛成绩(成绩用x 表示，单位：分，成绩均为不小于50的整数).并对数据(成
绩)进行统计整理.数据分为五组：A:50≤x<60; B:60≤x<70; C:70≤x<80; D:80≤x
<90; E:90≤x≤100.
下面给出了部分信息：
信息一：
C组的数据：70,71,71,72,72,72,74,74,75,76,76,76,78,78,79,79.
信息二：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下：
学生竞赛成绩频数分布直方图 学生竞赛成绩扇形统计图
(第18题)
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求随机抽取的七年级学生人数；
(2)求扇形统计图中B 组对应扇形的圆心角的度数；
(3)抽取的七年级学生竞赛成绩的中位数是多少
(4)该校七年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校七年级参加此次竞赛活动成
绩达到80分及以上的学生人数.
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19. (8分)
电影《哪吒之魔童闹海》成为首部进入全球票房榜前5、登顶动画票房榜榜首的亚洲电
影!与之相关的周边衍生品也在市场上热销起来.已知某种哪吒手办玩偶的成本价为10
元/件，若售价不低于成本价，且相关部门规定售价不能高于16元.市场调查发现，该玩偶
每天的销量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)求每天的销售利润 W (元)与售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件玩偶售价
为多少元时，每天的销售利润最大 最大利润是多少 (销售利润=销量×每件的利润)
y ( 件 )
40-
30
0 10 15 x(元/件)
(第19题)
20 . (8分)
某学校开展综合实践活动，如图，AB,CD 为两栋楼房，山坡 EF 长为15m,∠EFH=
60°,楼房AB位于山坡顶部平地 EM上，底部A到 E点的距离为4m.楼房CD底层窗台P 处
至地面C 处的高度为0.9m,在点P 处观察点B 的仰角为39°,底部C 距F处距离为30.75m. 图
中所有点均在同一平面内，CF//EM.
(1)求山坡EF 的垂直高度EH;
(2)求楼房AB 的高度.
(参考数据：sin 39°≈0.63, cos 39°≈0.78, tan 39°≈0.81, 3 ≈1.73,结果精确到0.1m)
(第20题)
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21. (8分)
如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB是⊙0的直径，D是AB延长线上一点，CD为⊙0的
切线，过点C作CE⊥AB于点E.
(1)求证：CB平分∠DCE;
(2)若AC=CD= 2 3 , 求 的长.
(第21题)
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22 . (12分)
如图1,在矩形ABCD 中 ，AB=4,BC=6, 点M 在线段BC 上，连接AM. 将线段AM 绕点A
逆时针旋转α(0°<α<90°)得到线段AN.线段AB绕点A逆时针旋转α得到线段AE,连接
NE 并延长交BC 于点F,连接ND.
(1)连接BE,当α=60°时.
①求证：△ABM≌△AEN;
②若点M在线段BF上，猜想MF,EF,EN 的数量关系为 ;若点M 在线段CF
上，猜想MF,EF,EN 的数量关系，并证明；
③若BM=1,求△AND的面积；
(2)如图2,若 ,△AND的面积为 ,请直接写出线段BM的长.
(图1) (图2) (备用图)
(第22题)
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23. (13分)
在平面直角坐标系中，对于点 P(x ,y ), 当 点Q(x ,y ) 满足x +x =y +y2 时，称点
Q(x ,y ) 是点P(x1,y1) 的“差反点”.
(1)判断点Q (1,2), Q (4,3), Q (-3,-2), 哪个是点P (2,1) 的“差反点”
(2)若直线y=2x+3 上的点A是点P (1,0) 的“差反点”,求点A的坐标；
(3)抛物线y=x -2x+3 上存在两个点是点P (p,0) 的“差反点”,求p的取值范围；
(4)对于点P (1,0), 若抛物线 上存在唯一的“差反点”,且当
-1≤m≤3 时 ，n的最大值为3-t,求t 的值.
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参考答案
第 一 部 分 选择题(共30分)
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B C D C A B D C
第 二 部 分 非选择题(共90分)
二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)
11.x=4 12. (-3,1) 13.1 15.10°
三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16. 解：(1)原式=4+(-3)+2√3+2-√3
=3+√3;……………………………………………… …………… ………………………5分
(2)原
=x 10 分
17. 解：(1)设1辆无人车日均投递量为x,则1位揽投员的日均投递量为0.35x,
根据题意可得3x+2×0.35x=4810,
解得x=1300,
答：1辆无人车的日均投递量为1300件；…………… ………………… ……………………………4分
(2)设需要增加无人车m辆，根据题意可得50×0.35×1300+1300(m+3)≥40000,
解得
∵m 为整数，
∴m=11,
答：至少需要增加11辆无人车.……………………………………………………………………… … … 8 分
18. 解：(1)3÷5%=60(人),
答：随机抽取的七年级学生人数为60人；…………………………………… ………………………2分
(2) 9
答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数为90°;…………………… … … … … … …… …4分
(3)∵抽取的七年级学生人数为60人，
∴中位数是按从小到大(或从大到小)排列，排在第30位学生的竞赛成绩和第31位学生的竞赛成绩的平
均数，
∴
答：抽取的七年级学生竞赛成绩的中位数是77;…… … … … … … … … … 6 分
(4)∵60-3-15-16=26(人),
答：估计该校七年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数为390人.……………………8分
19. 解：(1)设y 与x 之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
把(10,40),(15,30)代入，
解
∴y 与x 之间的函数表达式为y=-2x+60(10≤x≤16);………………… … 3分
(2)根据题意得W=(x-10)(-2x+60)=-2(x-20) +200,
∵-2<0,
∴ 当x<20 时 ，W 随x的增大而增大，
∴ 当x=16 时，W取得最大值，最大值为-2×(16-20) +200=168,
答：每件玩偶售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是168元.…………………………………8分
20. 解：(1)∵在Rt△EFH中，∠EHF=90°,
即山坡EF 的垂直高度EH 约为13.0m; 3 分
(2)如解图，过点B作 BQ⊥CF交直线CF 于点Q, 过点P 作 PG⊥BQ于点G,
第20题解图
由题意知，∠BPG=39°,AE=HQ=4m,CP=GQ=0.9m.
在Rt△EFH 中，∠EHF=90°,
∴CQ=CF+FH+HQ=30.75+7.5+4=42.25m,
∴PG=CQ=42.25m,
在 Rt△BPG中，∠BGP=90°,
∴BG=PG·tan∠BPG=42.25xtan 39°≈42.25×0.81≈34.22m,
∵EH=AQ=13.0m,
∴AB=BG+GQ-AQ=34.22+0.9-13.0≈22.1m,
答：楼房 AB 的高度约为22.1m.…… … … …… …8 分
21. (1)证明：如解图，连接OC,
∵OA=0C,
∴∠A=∠ACO,
∵AB 是⊙0的直径，
∴∠ACB=90°,
∴∠ACO+∠OCB=90°,∠A+∠OBC=90°,
∵CD 与⊙0相切，OC 为⊙0的半径，
∴OC⊥DC,
∴∠OCD=90°,
∴∠DCB+∠OCB=90°,
∴∠ACO=∠DCB,
∴∠A=∠DCB,
∵CE⊥AB,
∴∠OBC+∠BCE=90°,
∴∠A=∠BCE,
∴∠DCB=∠BCE,
∴CB平分∠DCE;……………………………………………… 4 分
第21题解图
(2)解：∵AC=CD,
∴∠A=∠D,
由(1)知∠ A=∠BCE,CB 平分∠DCE,
∴∠D=∠BCE=∠BCD,
∵CE⊥AB,
∴∠D+∠BCE+∠BCD=90°,
∴∠D=∠BCE=∠BCD=30°,
∴∠A=30°,
∴∠BOC=60°,
∵AC=2√3,
∴CE=√3,
在Rt△OCE中
∴.BC的
∴BC的长 ……… ……………………………………………………………………………… … 8 分
22. (1)①证明：∵线段AM绕点A逆时针旋转60°得到线段AN,
∴AM=AN,∠MAN=60°,
∴∠EAN+∠MAE=60°,
∵线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,
∴AB=AE,∠BAE=60°,
∴∠BAM+∠MAE=60°,
∴∠BAM=∠EAN,
在△ABM和△AEN中
∴△ABM≌△AEN(SAS);…………………………………………………………………………… ……3 分
②解：MF+EN=EF;………………………………………………………………… 4分
若点M在线段CF 上时，MF+EF=EN, 5 分
证明如下：如解图①,由①可知，△ABM≌△AEN,
∴∠ABM=∠AEN=90°,BM=EN,
∴∠AEF=90°,
∵线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,
∴AB=AE,∠BAE=60°,
∴△ABE为等边三角形，
∴∠ABM-∠ABE=∠AEF-∠AEB,
∴∠EBF=∠BEF,
∴BF=EF,
∴MF+EF=MF+BF=BM=EN;…………………………………………………………………………… 7分
第22题解图①
③解：如解图②,过点E 作EI⊥AB 交AB 于点I,过点N 作HG⊥AD 交AD 于点H,交 IE 的延长线于点G,
由②得△ABE为等边三角形，∠ AEN=90°,BM=NE,
∵AB=4,
,∠AEI=30°,
易得HG=AI=2,
∴∠NEG=180°-∠AEI-∠AEN=60°,NE=1,
在Rt△NEG中，
∵AD=BC=6,
………………… ………………………………………10分
第22题解图②
(2)解：线段BM的长为5豆 …………… …………………………………………………………12分
23. 解：(1)∵1+2=2+1,4+2≠3+1,-3+2=-2+1,
结合“差反点”的定义，得Q (1,2),Q (-3,-2) 是点P (2,1) 的“差反点”;………… ……………2分
(2)∵点A是直线y=2x+3 上的点，设点A(a,2a+3),
∵ 点A是点P (1,0) 的“差反点”,∴ a+1=2a+3, 解得a=-2,
∴2a+3=-1,
∴A(-2,-1);…………………………………………………………… …… 4 分
(3)设抛物线y=x -2x+3 上满足题意的“差反点”为(z,z -2z+3),
∴z+p=z -2z+3,
整理，得z -3z+3-p=0,
∵抛物线上存在两个满足题意的“差反点”,
∴△=b -4ac=(-3) -4(3-p)>0,
………………………………………………………………………………………………………6分
(4)设抛物线 上满足题意的唯一的“差反点”为[1
整理，得
∵抛物线上存在唯一的“差反点”,
整理，得n=-(m-t) +t-2,
∴n 关于m的函数图象开口向下，其对称轴为直线m=t 7 分
分类讨论如下：
①如解图①,当t≥3 时 ，
∵-1≤m≤3,
∴函数在m=3 时，取得最大值，
最大值为-(3-t) +t-2=3-t,
解得t =4+√2,t =4-√2 (舍去);
第23题解图①
②如解图②,当t≤-1 时 ，
∵-1≤m≤3,
∴函数在m=-1 时，取得最大值，
∴-(-1-t) +t-2=3-t,
化简得t =-6, 无解；
③如解图③,当-1∵-1≤m≤3,
∴函数在m=t 时，取得最大值，
∴t-2=3-t,
解得
综上所述，t的值为4+√2或 · ……………………………………………………………………………13分
图② 图③
第23题解图

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